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导学单
6.3坐标平面内的图形变换
(2)
一、学习目标:
1.感受坐标平面内图形变换时坐标的变化.
2.了解当坐标平面内图形左、右或上、下平移时对应点之间的坐标关系.
3.会求已知点左、右或上、下平移后所得的像的坐标.
4.会利用平移(左、右或上、下)后对应点之间的坐标关系,分析已知图形的平移变换.
二、学习重点:
坐标平面内图形左、右或上、下平移后对应点之间的坐标关系.
学习难点:
利用平移(左、右或上、下)后对应点之间的坐标关系,分析已知图形的平移变换中,所需要的较强的空间想像能力.
三、课前自习:
1.自学指导:
(1)图形上点的纵坐标不变,横坐标分别增加k个单位,原图形将发生怎样变化?
(2)图形上点的横坐标不变,纵坐标分别增加k个单位,原图形将发生怎样变化?
(3)图形上点的横坐标不变,纵坐标分别乘以-1,所得图形是原图形的什么图形变换?
(4)图形上点的纵坐标不变,横坐标分别乘以-1,所得图形是原图形的什么图形变换?
2.自学检测:
1.将点P(1,3)向左平移2个单位后所得对应点Q的坐标为,再把点Q向下平移4个单位后所得坐标为.
2.将点P(-2,-5)先向上平移6个单位,再向右平移3个单位后所得对应点Q的坐标为.
3.将点P(-2,3)关于y轴对称后再向左平移个单位,其对应点落在y轴上.
四、探究活动:
.
1.【探究活动1】
如图,在直角坐标系中,平行于
x轴的线段AB上所有点的纵坐标都
是-2横坐标的x取值范围是1≤x≤5,
则线段AB上任意一点的坐标可以用
(x,-2)(1≤x≤5)表示,按照这
样的规定,回答下面的问题:
(1)怎样表示线段CD上任意一
点的坐标?
(2)把线段AB向上平移3个单
位,作出所得的像.像上任意一点的
坐标怎样表示?
(3)把线段CD向左平移3.5个
单位,作出所得的像.像上任意一点的
坐标怎样表示?
2.【探究活动2】如图
(1)分别求出点A,A’和B,B’的坐标,
并比较A与A’,B与B‘之间的坐标变化;
(2)从图甲到图乙可以看作经过怎样
的图形变换?
从图甲到图乙可以看作只经过一次平移变换?
请描述这个平移变换.
3.【概括提炼】
(1)坐标平面内的点(a,b)与平移h(h
0)个单位后所得的像的坐标的关系如下:
(a,b+h)
向上
向左向右(a-h,b)(a,b)(a+h,b)
向下
(a,b-h)
归纳:
左、右平移时,纵坐标,横坐标右,左;
上、下平移时,横坐标,纵坐标上,下.
(2)坐标的变化图象的变化
(x,y)
(x+a,y+b)沿x轴方向平移︱a︱个单位,沿y轴方向平移︱b︱个单位;(x,y)
(-x,y)关于y轴对称;
(x,y)
(x,-y)关于x轴对称;
五、夯实基础
1.设点P(5,-8)沿x轴正方向平移3个单位后所得对应点Q的坐标是.
2.以A(-3,7)和B(-3,-2)为端点的线段向右平移了5个长度,平移后的线段上任意一点的坐标是.
3.将某图形的各顶点的横坐标减去2,纵坐标保持不变,可将该图形().
A.向左平移2个单位B.向右平移2个单位
C.向上平移2个单位D.向下平移2个单位
4.在同一直角坐标系中,图形M是由图形N向上平移2个单位得到的,如果图形M上某点A的坐标为(5,-3),那么图形N上与A对应的点A1的坐标是().
A.(5,-5)B.(5,5)C.(3,-3)D.(-3,3)
5.在平面直角坐标系中,已知点A(m,n),将点A沿x轴正方向平移8个单位得到点B,把点B沿y轴正方向平移6个单位得到点C,下列结论不正确的是().
A.△ABC是直角三角形B.AC=10
C.△ABC的面积是24D.△ABC的面积是48
6.已知点A(2,4),B(-2,1),先把A向下平移9个单位得C点,再把B向右平移5个单位得D点,顺次连接A、B、C、D得四边形ABCD.
⑴写出C、D两点的坐标;
⑵求四边形ABCD的面积.
六、智能提升
1.x轴上的点到点A(-1,1)和点B(2,3)的距离之和的最小值是.
2.△OAB的三个顶点的坐标分别为O(0,0),A(5,0),B(2,4)
⑴求△OAB的面积;
⑵若O,A两点的位置不变,P点在什么位置时,S△OAP=2S△OAB
⑶若点B(2,4),O(0,0)不变,M点在x轴上,那么M点在什么位置时,
S△OBM=2S△OAB.
3.如图,在平面直角坐标系中,第一次将△OAB变化成△OA1B1,第二次将△OA1B1变成△OA2B2,第三次将△OA2B2变化成△OA3B3
,已知A(1,3),A1(2,3),A2(4,3),A3(8,3)B(2,0),B1(4,0),B2(8,0),B3(16,0)
⑴观察每次变换前后的三角形有何变化,找出
规律,按此变换规律再将△OA3B3变换成△OA4B4,
则A4的坐标是,B4的坐标是;
⑵若按第⑴题找到的规律将△OAB进行n次变换,得到△OAnBn,推测An的坐标是,Bn的坐标是;
⑶这时三角形的变化了,跟随着三角形的形状也发生了变化,三角形被
(横、纵)向(放大、缩小)到原来的倍,三角形的面积呢?
7.3一次函数
(1)
一、学习目标
1.理解一次函数、正比例函数的概念;
2.会根据数量关系,求正比例函数、一次函数的解析式;会求一次函数的值.
二、学习重点:
一次函数与正比例函数的概念和解析式.
学习难点:
教复杂的情境下的函数有关的计算及理解。
三、课前自习
1.自学指导
问题1写出下列各题中x与y之间的关系式,并判断y是否为x的一次函数?
是否为正比例函数?
(1)冷冻一个0℃的物体,使它每分钟下降2摄氏度,物体的温度y(单位:
℃)随冷冻时间x(单位:
分)的变化而变化;
(2)矩形的周长C一定,长y与宽x;
(3)有人发现,在20~25℃时蟋蟀每分钟鸣叫次数y与温度x(单位:
摄氏度)有关,即y的值约是x的7倍与35的差.
问题2求出下列各题中
与
之间的关系,并判断
是否为
的一次函数,是否为正比例函数:
(1)某农场种植玉米,每平方米种玉米6株,玉米株数
与种植面积
之间的关系.
(2)正方形周长
与面积
之间的关系.(3)假定某种储蓄的月利率是0.16%,存入1000元本金后.本钱
(元)与所存月数
之间的关系.
2.自学检测
1.已知y与x-3成正比例,当x=4时,y=-1,那么当x=-4时,y的值是()
A.1B.3C.7D.-7
2.已知y=nxm-1+n+2,其中m、n是常数,当_______时,y是x的______一次函数,当_____时,y是x的正比例函数.
3.已知一次函数y1=50+2x与y2=5x,回答下列问题:
(1)能否说函数y1的值比函数y2的值大?
为什么?
(2)这2个函数是否都随着x的增大而增大?
当x增加1个单位时,这2个函数的值分别增加多少?
(3)当x<1开始逐渐增大时,哪个函数的值先超过100?
四、探究活动
[活动1]按国家1999年8月30日公布的有关个人所得税的规定,全月应纳税所得额不超过500元的税率为5%,超过500元至2000元部分的税率为10%.
(1)设全月应纳税所得额为
元,且
.应纳个人所得税为
元,求
关于
的函数解析式和自变量的取值范围.
(2)小明妈妈的工资为每月2600元,小聪妈妈的工资为每月2800元.问她俩每月应纳个人所得税多少元?
[活动2]已知
若
是
的正比例函数,求
的值.
2.已知
是
的一次函数,当
时,
;当
时,
(1)求
关于
的一次函数关系式.
(2)求当
时,
的值.
五、夯实基础
1.已知y=(a+1)
为正比例函数,则a的值为()
A.-1B.2C.2或-1D.0或1
2.如果一次函数y=kx-3,当时x=-5,y=7,则k的值为()
A.-
B.
C.-2D.2
3.当m取何值时,函数y=(m-2)
+2+m是一次函数?
它能否成为正比例函数?
4.已知点(-1,a)和(
,b)都在直线y=
x+3上,试比较a和b的大小.你能想出几种判断的方法?
六、智能提升
1.班42名同学假日去环湖风景区游览时准备乘坐游船,游船分两类:
大船坐5人,每次8元;小船坐3人,每次6元.在租船时大家发出争执,如何使每个人都坐到游船,且租船费用最少,不少同学都提出了自己的意见,你能用已有的知识提出一个合理方案吗?
2.对于气温,有的地方用摄氏温度表示,有的地方用华氏温度表示,摄氏温度与华氏温度之间存在着某种函数关系.从温度计上的刻度可以看出,摄氏(℃)温度x与华氏(°F)温度y有如下的对应关系:
x(℃)
…
-10
0
10
20
30
…
y(°F)
…
14
32
50
68
86
…
(1)试确定y与x之间的函数关系式;
(2)某天,南昌的最高气温是8℃,澳大利亚悉尼的最高气温是91°F,问这一天悉尼的最高气温比南昌的最高气温高多少摄氏度?
(结果保留整数).
7.3一次函数
(2)
一、学习目标
1.会用待定系数法求一次函数的解析式;
2.会通过已知自变量的值求相应一次函数的值.
二、学习重点:
待定系数法求一次函数的解析式.
学习难点:
待定系数法求函数解析式的过程。
三、课前自习
自学指导
问题1待定系数法求函数解析式的过程怎样?
问题2已知y+1与2x-3成正比例.
(1)求证:
y是x的一次函数.
(2)当x=2时,y=-2,求y关于x的一次函数关系式.
3.自学检测
1.已知y-3与x成正比,且当x=1时,y=-6;
(1)求y比x之间的函数关系式;
(2)求当x=2时,y的值;(3)求当y=-15时,x的值.
2.已知△ABC中,∠C=90°,BC=6cm,AC=8cm,动点P从C出发,以每秒2cm的速度沿线段CA运动x秒时,△BCP的面积为ycm2.
(1)求y关于x的函数解析式?
(2)从C出发几秒时,S△BCP=
S△ABC.
3.在直线y=-
x+3上分别找出满足下列条件的点,并写出它的坐标:
(1)横坐标是-4的点;
(2)和x轴的距离是2个单位长的点.
四、探究活动
[活动1]某地区从1995年底开始,沙漠面积几乎每年以相同的速度增长。
据有关报道,到2001年底,该地区的沙漠面积已从1998年底的100.6万公顷扩大到101.2万公顷.
(1)可选用什么数学方法来描述该地区的沙漠面积的变化?
(2)如果该地区的沙漠化得不到治理,那么到2020年底,该地区的沙漠面积将增加到多少万公顷?
[活动2]已知y是x的一次函数,且当x=0时,y=2;当x=1时,y=-1.求y关于x的函数解析式.
五、夯实基础
1.已知y是z的一次函数,z是x的正比例函数.
(1)求证:
y是x的一次函数;
(2)若当x=5时,y=-2;x=-3时,y=6,求当x=1时,y的值.
2.某公司在A、B2地分别有库存机器16台和12台,现要运往甲、乙2地,其中甲地15台,乙地13台,从A地运一台到甲地的运费为500元,到乙地为400元;从B地运一台到甲地的运费为300元,到乙地为600元.公司应设计怎样的调运方案,才能使这些机器的总运费最省?
3.已知A、B两地的路程为60km,某人上午7:
30从离开A地12km,并在BA延长线上的C处出发骑去B去,车速不变,他于8:
20到达A地,设t时,他离开A地的路程为Skm.
(1)求S关于t的函数解析式及自变量t的取值范围;
(2)上午8时,他在何处?
(3)到达B地是几点几分?
智能提升
1.一辆出租车的收费方式如下:
4km以内10元,4~15km部分每1km加收1.2元,15km以上部分每1km加收1.6元,某乘客要乘出租车去50km处的某地.
(1)如乘客途中不换车要付车费多少元?
(2)如果乘客中途换乘一辆出租车,在何处换比较合算?
算出总费用并与
(1)比较.
2.某商店出售某商品时,在进价的基础上加一定的利润,其数量x与售价y的关系如下表所示,请根据表中所提供的信息,写出y与x的函数关系式,并求出当变量是2.5千米时的售价.
数量x(千克)
1
2
3
4
…
售价y(千克)
8+0.4
16+0.8
24+1.2
32+1.6
…
7.4一次函数的图象
(1)
一、学习目标
1.了解一次函数图象的意义;
2.会画一次函数图象
3.会求一次函数的图象与坐标轴的交点.
二、学习重点:
一次函数的图象.
学习难点:
点与坐标系函数图象之间的联系.
三、课前自习
自学指导
1、在同一坐标系内画出下列函数的图像,并说出它们有什么关系:
(1)y=
x;
(2)y=
x+2
2、在直线y=3x-4上求出到y轴的距离等于
的点的坐标.
自学检测
1.正比例函数的图像过点A(1,2),B(-2,m-1),则m的值是________.
2.一次函数的图像过点A(-1,2),B(0,2),则它的解析式是________
3.一次函数y1=k1x+b1,利y2=k1x+b2的图像交于y轴上的同一点,则必有()
A.k1=k2B.b1=b2C.k1=b2D.k2=b1
4.一次函数y=ax+b中,a>0,b<0,则它的图像可能是()
四、探究活动
[活动1]已知一次函数y=-
x+3.
(1)求该函数的图象与坐标轴围成的图形的面积;
(2)求该函数与两坐标轴交点间的距离;
(3)求原点到直线y=-
x+3的距离.
[活动2]已知y是关于x的一次函数,当x=3时,y=2;当x=2时,y=0;
(1)求这个一次函数的解析式;
(2)在平面直角坐标系中画出所求函数的图象,并求出函数图象与坐标轴所围成图形的面积.
五、夯实基础
1.一次函数y1=k1x1+b1与y2=k2x2+b2交于x轴上同一点,则必有________.
2.y=2x+b与两坐标轴围成的三角形面积为4,则b=________.
3.已知直线y=kx+b与x轴交于点(1,0),与直线y=2x-3和y轴交于同一点,求出这条直线的解析式.
4.
(1)在直角坐标系中作出函数y=2x的图像,再分别将它向上平移4个单位和向左平移2个单位,得到两个函数的图像.你发现了什么?
能否结合函数的解析式给予说明?
(2)如果要平移直线y=3x-6,使平移后的直线经过点(4,0),你能设计出几种方案?
六、智能提升
1.在同一坐标平面内,如果2个一次函数的图像相交,交点可能在象限内,也可能在坐标轴上.
(1)若常数k、b、m、n均是正数且各不相等,试说明函数y=kx+b利y=mx+n的图像必相交,但交点不可能在第四象限内;
(2)在问题
(1)中,就交点在第一、第二、第三象限和坐标轴上的情况,各举出一例,并探索交点在坐标轴上的位置;
(3)在问题
(1)的2个函数中,若有k=n,b=m,k≠b,则交点在第几象限内?
试说明不论k、b取何值,交点都在同一条直线上,并找出这条直线.
7.4一次函数的图象
(2)
一、学习目标
1.利用函数图象了解一次函数的性质;
2.会根据自变量的取值范围求一次函数的取值范围
3.会利用一次函数的图象和性质解决简单实际问题.
二、学习重点:
一次函数图象性质.
学习难点:
较复杂的情境下的函数应用问题。
三、课前自习
自学指导
问题1正比例函数y=(k+1)
的图像过第二、第四象限,则k=________.
问题2正比例函数y=kx的图像经过(-2,4),那么这个正比例函数的关系式是________,它的图象经过第_______象限,y随x的增大而________.
问题3猜猜看:
一次函数y=kx+b(k≠0)中,k的取值与函数变化有什么关系?
自学检测
1.若一次函数y=mx+(m2+m-4)的图像过点(0,8),且y随x的增大而减小,则m=____.
2.一次函数y=kx+b的图象经过第一、第二、第三象限,则下列结论成立的有()
A.k>0,b>0B.k>0,b<0C.k<0,b<0D.k<0,b>0
3.正比例函数y=0.3x,y=-3x,y=(a2+1)x中,y随x增大而增大的个数是()
A.0B.1C.2D.3
4.某市为节约用水,实行价格调控,限定每户每月用水不超过6t时,每t价格为2元;当用水量超过6t时,超过部分每吨价格为3元,则每户每月的水费y(元)与用水量x(t)之间的函数图像是()
5.已知正比例函数y=-(k2+1)x,点(-2,y1)、(-3,y2)、(1,y3)在它的图像上,则()
A.y2 6.在直角坐标系中作出一次函数y1=-x+5与y2=2x-2的图像,并借助图像回答下列问题 (1)当x为何值时,y1=1? 此时y2的值为多少? (2)当x为何值时,y1=y2; (3)当x为何值时,y1>y2. 四、探究活动 [活动1]我国某地区现有人工造林面积12万顷,规划今后10年新增造林61000—62000公顷。 请估算6年后该地区的造林总面积达到多少公顷? [活动2]要从甲、乙两仓库向A,B两工地运送水泥.已知甲仓库可运出100吨水泥,乙仓库可运出80吨水泥;A工地需70吨水泥,B工地需110吨水泥.两仓库到A,B两工地的路程和每吨每千米的运费如下: 路程(千米) 运费(元/吨.千米) 甲仓库 乙仓库 甲仓库 乙仓库 A地 20 15 1.2 1.2 B地 25 20 1 0.8 (1)设甲仓库运往A地水泥x吨,求总运费y关于x的函数解析式,并画出图象; (2)当甲、乙两仓库各运往A,B两工地多少吨水泥时,总运费最省? 最省的总运费是多少? 五、夯实基础 1.一个游泳池的容积为Am3,进水管每分钟进水Pm3,出水管每分钟放水qm3(P>q),一天对空池进行灌水5min后察觉未将水管堵上.随时将出水管堵上,继续灌水.下图中能反映池内水量v(m3)与灌水时间t(min)之间函数关系的是() 2.某地出租车的收费标准如下: 里程不超过3km时收起步价8元;里程勃勃3km时,超过部分增收1.2元/km.试写出车费y(元)与里程x(km)的函数关系式,并画出这个函数的图像. 3.已知一次函数y=2x-3 (1)当x取何值时,函数y的值在-1与2之间变化? (2)当x从-2到3变化时,函数y的最小值和最大值各是多少? 六、智能提升 1.点P(x,y)在第一象限,且x+y=8,点A的坐标为(6,0),设△OPA的面积为S. (1)用含x的解析式表示S,写出x的取值范围,画出函数S的图像. (2)当点P的横坐标为5时,△OPA的面积为多少? (3)△OPA的面积能大于24吗? 为什么? 2.已知点A(-3,y1),B(1,y2)在直线y=- x+4上. (1)比较y1和y2的大小; (2)若另有一个正比例函数的图像过点B,设在这个正比例函数中使函数值等于y1和y2的自变量分别为x1和x2,试比较x1和x2的大小. 7.5一次函数的简单应用 (1) 一、学习目标 1.了解通过实验获得数据,然后根据数据建立一次函数模型的一般过程; 2.会综合运用一次函数,函数图象以及结合方程(组)等其他数学模型,解决实际问题. 二、学习重点: 利用图象取得函数解析式的基本方法和步骤. 学习难点: 分段定义函数的理解。 三、课前自习 自学指导 问题1判断题 (1)正比例函数是一次函数() (2)一次函数是正比例函数() (3)一次函数图像是一条直线() 问题2小张和小李在一次400m跑测试中的情况如图所示,你能在图中得到哪些信息? (1)求出2人在临近终点一段时间内路程y与时间t的函数关系式; (2)小张在距终点多远时追上小李? 小张在何时开始跑在小李前面? 自学检测 1.小明以200m/min的速度起跑后,先匀加速跑5min,每分提高速度20m/min,又匀速跑10min,试写出这段时间里她的跑步速度y(单位: m/min)跑步时间x(单位: min)变化的函数关系式,并画出函数图像. 2.图中的折线表示一骑车人离家的距离y与时间x的关系.骑车人9: 00离开家,15: 00回家,请你根据这个折线图回答下列问题: (1)这个人什么时间离家最远? 这时他离家多远? (2)何时他开始第一次休息? 休息多长时间? 这时他离家多远? (3)11: 00~12: 30他骑了多少m? (4)他在9: 00~10: 30和10: 30~12: 30的平均速度各是多少? (5)他返家时的平均速度是多少? (6)14: 00时他离家多远? 何时他距家10km? 四、探究活动 [活动1]生物学家测得7条成熟雄性鲸的全长y和吻尖到喷水孔的长度x的数据如下表(单位: m) 吻尖到喷水孔的长度X(m) 1.78 1.91 2.06 2.32 2.59 2.82 2.95 全长y(m) 10.00 10.25 10.72 11.52 12.50 13.16 13.90 问能否利用一次函数刻画这两个变量x和y的关系? 如果能,请求出这个一次函数的解析式 [活动2]沙尘暴发生后,经过开阔荒漠时加速,经过乡镇,遇到防护林带区则减速,最终停止,某气象研究所观察一场沙尘暴从发生到结束的全过程,记录了风速y(km/h)随时间t(h)变化的图像. (1)沙尘暴的最大风速; (2)用恰当的方式表示沙尘暴风速y与时间t的关系 五、夯实基础 1.在验证某个一次函数的实验中,小王测得2个变量的一些对应数据如下表: x 4.5 10 14 20 25 30 y 26 24.5 19 15 12 7.5 小赵在检验的时候发现有一组数据记录错了,你能估计是哪一组吗? 2.如图所示,大拇指与小拇指尽量张开时,2指尖的距离称为指矩.某项研究表明,一般情况下人的身高h是指距d的一次函数.下表是测得的指距与身高的一组数据: 指距d(cm) 20 21 22 23 身高h(cm) 160 169 178 187 (1)求出h与d之间的函数关系式(不要求写出d的取值范围); (2)某人身高196cm,一般情况下他的指距应是多少? 六、智能提升 1.如图所示,在第四象限内的矩形OABC,两边在坐标轴上,一个顶点在一次函数y=0.5x-3的图像上.当点A从左向右移动时,矩形的周长与面积也随之发生变化,设线段OA长为m,矩形的周长为
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