自习教室开放的优化管理论文.docx
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自习教室开放的优化管理论文
自习教室开放的优化管理
摘要
针对大学生上晚自习教室开放不合理造成浪费的问题,本文就某学校收集的数据,巧妙运用数学方法来解决下面三个问题,从而达到用电节约,自习教室安排最合理,学生满意度最高的目的。
基于问题一,学生上自习是相互独立的,而且有70%的可能性,依据概率论的知识,上自习的学生数符合二项分布,那么就有5600名学生会上晚自习。
我们运用数学建模的思想可以将自习教室开放与不开放问题看做是一个0-1整数规划,依据题目中给出的条件,我们构造相应的目标函数(即用电最省)和相应的约束条件,利用lingo软件编程进行求解,求出的结果为:
开放的教室为第3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,17,18,19,20,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,43间。
最省的总用电量为75005瓦。
基于问题二,首先对每个自习区的单位座位用电功率以及学生的满意程度(宿舍区到自习区的距离与宿舍区至自习区的最短距离的比值)进行了数据的归一化处理,再对这两者进行赋值0.7和0.3,构造出一个满意函数F,其中
(因为单位座位用电功率越低,函数值越小;学生的满意度越高,函数值也越小,所以以相减的形式来达到本文的目的)依据此满意函数算出每一个宿舍区到每一个自习区的满意函数值,如果满意函数值的总和最小,那么我们既节约了用电,又提高了学生上自习的满意度。
我们运用指派问题中的匈牙利算法解决,然后再根据各个自习区能够容纳的学生人数,对其进行调整,调整之后,我们选择关闭的教室依次为第26,41,42,43,44和45教室。
基于问题三,
关键词:
自习教室0-1整数规划满意度归一化处理
1.问题的重述
1.1问题的背景
近年来大学生用电浪费情况比较严重,尤其体现在大学生上晚自习上,一种情况是去某个教室上自习的人比较少,但是教室内的灯却全部打开,第二种情况是晚上上自习的总人数比较少,但是开放的教室比较多,这些情况造成了电量的严重浪费。
从学校的角度上讲,本着节约的原则,应该尽可能地依据上晚自习的人数减少自习教室的开放;但是还要站在学生的角度上想,如果一个教室的占座率过高,就达不到学生的满意程度。
综合以上两点的考虑,这就要求我们利用数学方法来提供一种最节约、最合理的管理方法。
1.2问题的重述
管理人员只需要每天晚上开一部分教室供学生上自习,每天晚上从7:
00---10:
00开放(如果哪个教室被开放,则假设此教室的所有灯管全部打开)。
依据某学校收集的数据解决以下三个问题:
(1)假如学校有8000名同学,每个同学是否上自习相互独立,上自习的可能性为70%.要使需要上自习的同学满足程度不低于95%,开放的教室满座率不低于80%,同时尽量不超过90%。
问该安排哪些教室开放,能达到节约用电的目的.
(2)假设这8000名同学分别住在5个宿舍区,现有的45个教室分为9个自习区,按顺序5个教室为1个区,即1,2,3,4,5为第1区,…,41,42,43,44,45为第9区。
这5个宿舍区到9个自习区的距离见表2。
学生到各教室上自习的满意程度与到该教室的距离有关系,距离近则满意程度高,距离远则满意程度降低。
假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。
请给出合理的满意程度的度量,并重新考虑如何安排教室,既达到节约用电目的,又能提高学生的满意程度。
另外尽量安排开放同区的教室。
(3)假设临近期末,上自习的人数突然增多,每个同学上自习的可能性增大为85%,要使需要上自习的同学满足程度不低于99%,开放的教室满座率不低于80%,同时尽量不超过95%。
这时可能出现教室不能满足需要,需要临时搭建几个教室。
假设现有的45个教室仍按问题2中要求分为9个区。
搭建的教室紧靠在某区,每个区只能搭建一个教室,搭建的教室与该区某教室的规格相同(所有参数相同),学生到该教室的距离与到该区任何教室的距离假设相同。
问至少要搭建几个教室,并搭建在什么位置(哪个区),既达到节约用电目的,又能提高学生的满意程度。
1.3问题的分析
问题一就针对开放哪些自习教室以达到最省电的目的的问题分析:
8000名学生有70%的可能性会上晚自习,且每个学生是否上自习时相互独立的,依据二项分布的概率论知识,我们求出会去上晚自习的学生数为5600,对于自习教室而言,哪些开放哪些不开放,这就是个0-1规划问题,构造0-1变量,以达到用电量最省为目标函数,以学生的满足率和教室的占座率为约束条件,问题就转化成求解一线性规划的问题;最后利用lingo软件对问题进行相应的求解。
问题二就在节约用电的基础上如何使各个宿舍区的学生到达自习区距离最近从而满意度最高的问题的分析:
首先引入单位座位功率这个概念,计算公式为
。
如果每个教室的单位座位功率越低,说明用电量越少。
其次需要考虑的就是学生如果去距离自己的宿舍区较近的自习区上晚自习,学生的满意度就高,构造满意度函数,即:
,满意度函数值越大,说明学生的满意度就越高。
问题就转化为求学生去上自习时,使单位座位用电功率低,离自习区的距离近。
可以赋予两者权值建立一个函数来联系两者。
如果满意函数值越小,那么用电功率总和将越少,学生的满意度也越高。
依据题意,我们要使满意函数值的总和最小。
可以运用运筹学中的指派问题,利用匈牙利算法解决这个非标准的指派问题。
当该满意函数值总和最小时,可以得到去各个自习区的学生人数之后,由于每个自习区的人数限制,我们对人数进行调整,再进一步引入0-1变量,同问题一的方法求解出要关闭的教室。
问题三
2.模型的基本假设
1.所有的教室灯管都能正常工作,且配备齐全,不存在电路障碍;
2.每个自习教室的设备齐全,桌子凳子都是完好无损的;
3.上晚自习的学生去任何一个教室都是等可能的,且每个自习教室被开放的概率也是一样的;
4.只要自习教室开放,教室里所有的灯管都会被打开且正常工作;
5.每个学生上自习都是独立的;
6.每个宿舍住宿的学生数都是相同的,每个宿舍区住宿的总学生数也可以看做是相同的;
7.假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同。
3.模型的符号说明
符号
符号说明
yi
0-1变量
pi
自习教室的功率
bi
自习教室的灯管数
ni
自习的人数
ai
自习教室的座位数
i
自习教室的编号
4.模型的分析建立与求解
4.1问题一:
模型的分析建立与求解
4.1.1.0-1整数规划模型
一.模型的分析与假设
模型的分析:
上晚自习的学生数服从二项分布,自习教室的开放与否是一个0-1整数规划的问题,每间教室的灯管功率已经给出,那么我们就可以构造以开放自习教室功率最低的目标函数,依据题干中给出的条件构造出相应的约束条件,就可以运用数学软件进行求解,得出相应的结果。
模型的假设:
1)每间教室被开放的可能性是相等的,学生去任何一间教室也是等可能性的;
2)自习教室的设备都是完善的,桌椅完好,灯管能正常工作,不存在电路的故障问题;
3)每个学生上自习都是相互独立,互不影响的;
4)只要自习教室被开放,所有的灯管都会被打开且正常工作。
2.符号的说明
i:
自习教室的编号(i=1,2,...,45,表示第1到第45间自习教室)
pi:
第i间教室的灯管的功率
yi:
0-1变量,(yi=0,表示第i间自习教室不开放;yi=1,表示第i间自习教室开放)
bi:
第i间自习教室总的灯管数
ni:
第i间教室自习的人数
ai:
第i间教室的座位数
3.模型的建立
1)决策变量:
0-1变量yi
2)目标函数:
3)约束条件:
4.模型的求解
运用lingo软件进行求解(编程及输出的结果见附录),得出的结果如下:
1-45间教室中应该开放的所有开放的自习教室依次为:
第3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,17,18,19,20,22,23,24,25,26,27,28,29,30,31,32,33,34,35,36,37,38,39,40,43间。
最省的总用电量为:
75005w
4.2.问题二:
模型的分析建立与求解
4.2.1.模型的分析与假设
一.模型的分析
首先应该考虑到两个方面,从学校的角度出发,应该达到节约用电的目的,即使电功率总和最小;从学生的角度上讲,应该使宿舍区到自习区的距离近,尽可能地提高学生的满意度。
我们通过构造一个满意函数,用单位座位用电功率和距离这两个指标来作为该函数的因变量。
之后我们对单位座位用电功率和距离进行数据归一化,将归一化的数据带入函数中,得到了一系列的函数值,再运用指派问题来解决。
二.模型的假设
(1)每个宿舍住宿的学生数都是相同的,每个宿舍区住宿的总学生数也可以看做是相同的;
(2)假设学生从宿舍区到一个自习区的距离与到自习区任何教室的距离相同;
(3)对单位座位用电功率和距离,我们考虑要尽量节约用电,假设单位座位用电功率的重要性略高于距离。
4.2.2符号说明
:
归一化之后单位座位的用电功率;
:
归一化后学生的满意度;
4.2.3模型的建立与求解
(1)求解出每个自习区的单位座位用电功率
9个自习区的单位座位用功率如下表所示:
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
总的座位数
666
590
761
720
580
1051
766
1000
670
总的用电功率
9720
8028
10939
9720
7488
12983
9819
11912
10581
单位座位用电功率
14.59
13.61
14.01
13.5
12.91
12.35
12.49
11.91
15.79
(2)对单位座位用电功率进行数据归一化处理
数据归一化处理的公式为:
数据归一化处理之后的数据如下表所示:
区号
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
单位座位用电功率
0.691
0.438
0.541
0.410
0.258
0.113
0.150
0.000
1.000
(3)对每个宿舍区计算到到自习区的距离的满意度,公式为
计算的结果如下表所示:
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
A1
1.16
1
2.16
1.25
1.37
1.85
1.36
1.6
1.07
A2
1.78
1.37
1.2
1.3
1.11
1.21
1
1.36
1.55
A3
1.33
1.45
1
1.18
1.6
1.49
1.26
1.37
1.61
A4
1.06
1.77
1.05
1.52
1.38
2.12
1
1.98
2.25
A5
1.8
1.6
1.23
1.3
1
1.44
1.11
1.77
1.53
(4)对学生的满意度进行归一化处理的公式为
处理的结果如下所示:
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
A1
0.138
0
1
0.216
0.319
0.733
0.31
0.517
0.06
A2
1
0.474
0.256
0.385
0.141
0.269
0
0.462
0.705
A3
0.541
0.738
0
0.295
0.984
0.803
0.426
0.607
1
A4
0.048
0.616
0.04
0.416
0.304
0.896
0
0.784
1
A5
1
0.75
0.288
0.375
0
0.55
0.138
0.963
0.663
(5)建立满意函数以及利用匈牙利算法解决指派问题
对于每一个开放的教室,我们要求其满座率不低于4/5,同时尽量不超过90%,这样的要求9个自习区满足上面的要求,因此我们得到了这9个自习区上自习的学生人数,如表所示:
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
总和
总座位数
666
590
781
720
580
1051
786
1000
670
6844
533
472
625
576
464
841
629
800
536
5476
599
531
702
648
522
945
707
900
603
6157
632
560
741
684
551
998
746
950
636
6598
说明:
对于每一自习区座位数,考虑上限,因为满座率为4/5,我们取大于该数的最小整数,考虑下限,因为满座率为90%和95%,我们取小于该数的最大整数。
进一步分析:
对于单位座位用电功率和学生的满意度进行归一化处理之后,可以看做是我们构造的函数的两个因变量,依据节约用电和达到学生满意度的重要性,我们人为地赋予两个因变量权值,即
=(0.7,0.3),既要节约用电,且使每个学生到自习区的距离越短越好,那么单位座位耗电量取最小值,学生的满意度要取最大值,我们可以建立下列函数:
将经过归一化处理的单位座位用电功率数据和学生满意度数据带入上式,计算的结果如下表所示:
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
A1
0.771
0.7
1.212
0.81
0.863
1.063
0.859
0.965
0.731
A2
0.946
0.817
0.763
0.795
0.735
0.766
0.7
0.813
0.874
A3
0.769
0.794
0.7
0.738
0.826
0.802
0.744
0.777
0.827
A4
0.728
1.054
0.723
0.939
0.875
1.22
0.7
1.151
1.275
A5
0.96
0.895
0.775
0.798
0.7
0.843
0.736
0.95
0.872
函数值越小越能省电且学生的满意度高,依据上述表格我们可以对A1到A5的5个宿舍区到9个自习区的函数值从大到小进行排列,结果如下:
A1:
B3>B6>B8>B5>B7>B4>B1>B9>B2
A2:
B1>B9>B2>B8>B4>B6>B3>B5>B7
A3:
B9>B5>B6>B2>B8>B1>B7>B4>B3
A4:
B9>B6>B8>B2>B4>B5>B1>B3>B7
A5:
B1>B8>B2>B9>B6>B4>B3>B7>B5
作进一步分析可知,每个宿舍区至少要去三个自习区自习,那么我们规定每个宿舍区都有1120名学生,那么A1,A2,A3,A4,A5区要去的自习区如下:
A1:
B2B9B1
A2:
B7B5B3
A3:
B3B4B7
A4:
B7B3B1
A5:
B5B7B3
9个自习区被安排的情况见下表:
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
总和
总座位数
666
590
781
720
580
1051
786
1000
670
6844
533
472
625
576
464
841
629
800
536
5476
599
531
702
648
522
945
707
900
603
6157
632
560
741
684
551
998
746
950
636
6598
自习的人数
747
373
1493
373
747
0
1493
0
373
5600
满意度按照95%来计算,由分析可知,B9区的函数值都比较大,是的单位座位用电功率大,学生的满意度低,不符合条件,为了满足题干中说明的尽量减少自习区的开放,所以第9个自习区的第41,42,43,44,45这5个教室都不开放;由上述表格可以看出,B1,B3,B5,B7这四个自习区座位数都不足以提供给学生上晚自习;且座位数较多的自习区B6和B8上晚自习的人数为0,明显存在不合理的地方,那么需要调整重新分配一下。
我们得到9个宿舍区的函数值总和,见下表:
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
A1
0.771
0.7
1.212
0.81
0.863
1.063
0.859
0.965
0.731
A2
0.946
0.817
0.763
0.795
0.735
0.766
0.7
0.813
0.874
A3
0.769
0.794
0.7
0.738
0.826
0.802
0.744
0.777
0.827
A4
0.728
1.054
0.723
0.939
0.875
1.22
0.7
1.151
1.275
A5
0.96
0.895
0.775
0.798
0.7
0.843
0.736
0.95
0.872
4.174
4.26
4.173
4.08
3.999
4.694
3.739
4.656
4.579
所以做以下处理:
B1
B2
B3
B4
B5
B6
B7
B8
B9
632
560
741
684
551
998
746
950
636
747
373
1493
373
747
0
1493
0
373
-115
187
-752
311
-196
735
-747
950
-373
从上述表格中我们可以看出,除了B6自习区有些教室没开放之外,B1,B2,B3,B4,B5,B7,B8自习区教室都开放了,再根据题目中给出的数据(如下)
教室
26
27
28
29
30
总电功率
3375
2304
2500
2304
2500
总的座位数
256
190
210
190
205
单位座位用电功率
13.184
12.126
11.905
12.126
12.195
从单位座位用电功率上考虑可知,B6区应该应该开放的教室为第27,28,29,30教室。
故综上,应该关闭的教室为第26,41,42,43,44,45教室。
4.3问题三:
模型的分析建立与求解
5.模型的评价与推广
5.1模型的评价
5.1.1模型的优点
(1)问题一,运用0-1整数规划来解决用电功率最省的问题,过程简便,用lingo软件求解出的结果清晰明了,使读者一目了然;
(2)问题二,通过构造一个满意函数,首先对不属于同一量纲的用电功率和宿舍区与自习区的距离进行数据的归一化处理,再巧妙运用运筹学的知识来解决,过程有条理,且分析有依据,得出的结果比较有可信度;
(3)问题三,在问题二的基础上,因为期末自习的人数增多,原有开放的自习教室不足以提供学生上晚自习,所以需要扩建教室,
(4)对问题所给的数据进行了大量的仔细分析和全面的统计,分析有依据,求解出的结果较为实用、合理;
(5)针对上述三个问题,引入了单位座位用电功率来代替座位数和用电功率,这样减少了计算分析的指标,使得建立模型更加简便,分析更加简便。
5.1.2模型的缺点
(1)本文模型的建立都是基于题干中所提供的数据上的,而提供的数据不一定真实可靠,但是原理是一样的,在现实生活中还是具有一定的适用性;
(2)构造满意度函数时赋予的权值是人为定义的,可能不具有理论的依据,但是如果处理现实生活中的类似问题,权值可以依据造成损失的大小或者重要程度等因素进行拟合。
5.2模型的推广
6.参考文献
[1]赵静.数学建模与数学实验[M].后勤工程学院.高等教育出版社,1997.
[2]姜启源.数学模型[M].清华大学.高等教育出版社.1993.
[3]胡知能,运筹学[M]北京:
科学出版社,2003.
[4]王正林,精通MATLAB科学计算[M]北京:
电子工业出版社,2012
[5]乐励华,概率论与数理统计[M],江西南昌:
江西高校出版社,2007
7.附录
附录一:
问题一0-1整数规划lingo求解的编程以相应的输出结果:
model:
sets:
row/1..45/:
p,y,b,n,a;
endsets
data:
a=64,88,193,193,128,120,120,120,110,120,64,247,190,210,70,85,
192,195,128,120,120,120,110,160,70,256,190,210,190,205,110,160,
70,256,190,210,190,190,210,200,150,150,180,
70,120;
b=42,42,48,50,36,36,36,36,36,36,27,75,48,50,42,42,48,50,36,36,
36,36,36,36,27,75,48,50,48,50,36,36,27,75,48,50,48,48,50,48,50
48,48,25,45;
p=40,40,50,48,45,45,48,45,40,45,40,45,48,50,40,40,50,48,45,45,
48,45,40,45,40,45,58,50,48,50,40,45,40,45,48,50,48,48,50,48,50,
48,48,50,45;
enddata
min=@sum(row(i):
p(i)*y(i)*b(i));
@sum(row(i):
n(i))>=8000*0.7*0.95;
@for(row(i):
n(i)>=0.8*y(i)*a(i));
@for(row(i):
n(i)<=0.9*y(i)*a(i));
@for(row(i):
@gin(n(i)));
@for(row(i):
@bin(y(i)));
end
Globaloptimalsolutionfound.
Objectivevalue:
75005.00
Extendedsolversteps:
303
Totalsolveriterations:
2112
VariableValueReducedCost
P
(1)40.000000.000000
P
(2)40.000000.000000
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P(7)48.000000.000000
P(8)45.000000.00000
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