第4讲四年级数学植树问题 廖桥桥 教案.docx
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第4讲四年级数学植树问题廖桥桥教案
精锐教育学科教师辅导讲义
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辅导科目:
学科教师:
授课
类型
C不封闭路线的植树问题
C不封闭路线的植树问题
T方阵问题
授课日期时段
教学内容
【题目回顾知识内容】
1991年1月1日是星期二,
(1)该月的22日是星期几?
该月28日是星期几?
(2)1994年1月1日是星期几?
分析与解答:
(1)一个星期是7天,因此,7天为一个循环,这类题在计算天数时,可以采用“算尾不算头”的方法。
(22-1)÷7=3,没有余数,该月22日仍是星期二;(28-1)÷7=3…6,从星期三开始(包括星期三)往后数6天,28日是星期一。
(2)1991年、1993年是平年,1992年是闰年,从1991年1月2日到1994年1月1日共1096天,1096÷7=156…4,从星期三开始往后数4天,1994年1月1日是星期六。
【专题导入】“植树问题”是借于在一条路上均匀植树现象的研究,分为“两端都栽,两端都不栽,环形问题和方正问题”几种情况,在解决植树问题的过程中,侧重向学生渗透归化思想和解决复杂问题从简单入手的思想,让学生感悟到应用数学解题模型所带来的便利。
不封闭路线的植树问题。
一、专题精讲
例1:
头尾不种
学校教学楼的东侧有一段长20米的小路,学校打算在小路一侧种树。
如果每隔5米种一棵树,路的两端都不种,需要种多少棵树?
分析:
从上图可以看出,如果两端都不植树,那么棵数应比段数少1,
即:
棵数=段数-1。
解:
20÷5-1=3(棵)
答:
需要种3棵树。
例2:
头尾都种
学校教学楼的东侧有一段长20米的小路,学校打算在小路一侧种树。
如果每隔5米种一棵树,路的两端都要种树,需要种多少棵树?
分析:
从上图可以看出,如果两端都种上树,那么要种的棵数应比段数多1棵,
即:
棵数=段数+1。
解:
20÷5+1=5(棵)
答:
需要种5棵树。
例3:
种头不种尾(或种尾不种头)
学校教学楼的东侧有一段长20米的小路,学校打算在小路一侧种树。
如果每隔5米种一棵树,且在路两端的其中一端也上植树,需要种多少棵树?
分析:
从上图可以看出,如果其中一端也要种上树,那么点数和段数是一一对应的关系,要种的棵数等于段数棵,即:
棵数=段数
解:
20÷5=4(棵)
答:
需要种4棵树。
例4:
两侧都种树。
在一座长800米的大桥两边挂彩灯,起点和终点都挂,一共挂了202盏,相邻两盏之间的距离都相等。
求相邻两盏彩灯之间的距离。
分析与解答:
大桥两边一共挂了202盏彩灯,每边各挂202÷2=101盏,101盏彩灯把800米长的大桥分成101-1=100段,所以,相邻两盏彩灯之间的距离是800÷100=8米。
列式:
202÷2=101(盏)
101-1=100(段)
800÷100=8(米)
答:
相邻两盏彩灯之间的距离是8米。
二、专题过关
检测题1:
城中小学在一条大路边从头至尾栽树28棵,每隔6米栽一棵。
这条路长多少米?
分析与解答:
题中已知栽树28棵,28棵树之间有28-1=27段,每隔6米为一段,所以这条大路长6×27=162米。
检测题2:
大头儿子的学校旁边的一条路长400米,在路的一边从头到尾每隔4米种一棵树,一共能种几棵树?
分析与解答:
从图上可以看出,每隔4米种一棵树,如果20米长的路的一边共种了6棵树,这是因为我们首先要在这条路的一端种上一棵,就是说种树的棵树要比间距的个数多1,所以列式为:
400÷4+1=101(棵).
检测题3:
从小熊家到小猪家有一条小路,每隔45米种一棵树,加上两端共53棵;现在改成每隔60米种一棵树.求可余下多少棵树?
分析与解答:
这题是较复杂的植树问题。
我们可以先算出从小熊家到小猪家的距离是:
45×(53-1)=2340(米)
间隔距离变化后,两地之间种树:
2340÷60+1=40(棵),
所以可余下树:
53-40=13(棵),
53-[45×(53-1)÷60+1]=13(棵).
答:
如果改成每隔60米种一棵树,可余下13棵树。
检测题4:
阜城门桥的两边从一头起,每隔50米安装一盏路灯,两边一共安装了8盏路灯。
两头都有,桥全长多少米?
分析与解答:
我们可以把这道题看成植树问题来解决,我们可以先算出一边有几盏路灯8÷2=4(盏)
因为两端都有路灯,所以段数=灯数—1=4-1=3(棵)桥全长是50×3=150(米)
三、学法提炼
1、专题特点:
植树问题是生活中一种常见的现象,一般会出现两端都不种树、两端都种树和只种一端的情况。
2、解题方法
在一条不封闭的路线(如:
一条线段、一条折线、半圆等)上植树,有三种情况:
①若题目中要求在植树的线路两端都植树,则棵数比段数多1.
全长、棵数、株距三者之间的关系是:
棵数
段数
全长
株距
全长
株距
(棵数
)
株距
全长
(棵数
)
②如果题目中要求在路线的一端植树,则棵数就比在两端植树时的棵数少1,即棵数与段数相等.全长、棵数、株距之间的关系就为:
全长
株距
棵数;
棵数
段数
全长
株距;
株距
全长
棵数.
③如果植树路线的两端都不植树,则棵数就比②中还少1棵.
棵数
段数
全长
株距
.
株距
全长
(棵数
).
全长
株距
(棵数+1)
3、注意事项
(1)解决类似的问题,要分析植树的方式是一端植、两端都植还是两端都不植,再选择正确的方法解题。
(2)生活中像植树问题的现象有很多,如:
挂灯笼、插彩旗、摆花、电线杆、缝纽扣、排路队、摆桌子等等,都可以采用这种方法进行解决。
封闭路线的植树问题
一、专题精讲
例1:
在一个周长是240米的游泳池周围栽树,每隔5米栽一棵,一共要栽多少棵树?
分析与解答:
这道题是封闭线路上的植树问题,植树的棵数和段数相等。
240÷5=48(棵)
答:
一共要栽48棵树。
例2:
小强家附近的公园里有一个圆形池塘,它的周长1500是米,每隔3米栽种一棵树.问:
共需树苗多少株?
分析与解答:
因为圆形池塘是一个封闭的模型,所以我们直接运用公式棵数=段数=周长÷株距,从而有树苗:
1500÷3=500(株).
例3:
园林工人要在周长300米的圆形花坛边等距离地栽上树.他们先沿着花坛的边每隔3米挖一个坑,当挖完30个坑时,突然接到通知:
改为每隔5米栽一颗树.这样,他们还要挖多少个坑才能完成任务?
分析与解答:
这道题的关键就在之间每3米一个,已经挖的坑,和后来改成5米挖一个坑,有多少个是重复不需要挖的,那么一步一步分析如下:
(1)从第1个坑到第30个坑,共有多长?
(30—1)×3=87(米)
(2)改为“每5米栽一棵树”,有多少坑仍然有用?
87÷15=5…125+1=6(个)
(3)改为“每5米栽一棵树”,一共应挖多少个坑?
300÷5=60(个)
(4)还要挖多少个?
60—6=54(个)
二、专题过关
检测题1:
一个圆形花坛,周长是180米.每隔6米种一棵芍药花,每相邻的两棵芍药花之间均匀地栽两棵月季花.问可栽多少棵芍药?
多少棵月季?
两棵月季之间的株距是多少米?
分析与解:
①在圆形花坛上栽花,是封闭路线问题,其株数=段数.②由于相邻的两棵芍药花之间等距的栽有两棵月季,则每6米之中共有3棵花,且月季花棵数是芍药的2倍.
解:
共可栽芍药花:
180÷6=30(棵)
共种月季花:
30×2=60(棵)
两种花共:
30+60=90(棵)
两棵花之间距离:
180÷90=2(米)
相邻的花或者都是月季花或者一棵是月季花另一棵是芍药花,所以月季花的株距是2米或4米。
答:
共可栽芍药花30棵,共种月季花60棵,两棵月季之间的株距是2米。
检测题2:
一个街心花园如右图所示.它由四个大小相等的等边三角形组成.已知从每个小三角形的顶点开始,到下一个顶点均匀栽有9棵花.问大三角形边上栽有多少棵花?
整个花园中共栽多少棵花?
分析与解:
大三角形三条边上共栽花:
(9×2-1-1)×3=48(棵),中间画斜线小三角形三条边上栽花:
(9-2)×3=21(棵),整个花坛共栽花:
48+21=69(棵).
答:
大三角形边上栽有48棵花,整个花园中共栽69棵花。
检测题3:
大雪后的一天,小明和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长.他俩的起点和走的方向完全相同,小明的平均步长是54厘米,爸爸的平均步长是72厘米,由于两人的脚印有重合,并且他们走了一圈后都回到起点,这时雪地上只留下60个脚印,这个花圃的周长是多少厘米?
分析与解:
通过画图使学生明白从第一个重合点(起点)到下一个重合点之间的距离是216厘米,216÷54=4,216÷72=3,从而知在两个重合点之间,爸爸留下脚印3个,小明留下脚印4个,去掉一个重合的脚印,共留下脚印3+4—1=6(个),因为从起点到最后雪地上共留下脚印60个,所以花圃的周长是216×(60÷6)=2160(厘米).
三、学法提炼
1、专题特点:
本专题是植树问题中的封闭路线的植树问题,这类问题的解决也需要根据非封闭路线的植树问题知识方法来解决。
2、解题方法
(1)在圆、正方形、长方形、闭合曲线等上面植树,因为头尾两端重合在一起,所以种树的棵数等于分成的段数.
棵数
段数
周长
株距.
(2)解植树问题的三要素
解决植树问题,首先要牢记三要素:
总路线长、间距(棵距)长、棵数.只要知道这三个要素中任意两个要素,就可以求出第三个.
3、注意事项
解决这类问题首先要分清植树路线形成的形状是圆形、正方形还是长方形,其次要判断植树的方式,是只植一种树还是间隔种了多种树,最后再根据所学方法来解题。
植树问题中的方阵问题
一、专题精讲
例1:
军训的学生进行队列表演,排成了一个7行7列的正方形队列,如果去掉一行一列,要去掉多少人?
还剩下多少人?
分析与解:
如下图:
方法一:
去掉的一行一列的人数为:
7×2—1=13(人)
剩下的人数为:
7×7—13=36(人)
方法二:
去掉后剩下的是6行6列的正方形队列,即6×6=36(人)
去掉的人数为:
7×7—6×6=13(人)
答:
要去掉13人,还剩下36人。
例2:
光明小学四年级原准备排成一个正方形队列参加广播操表演,由于服装不够,只好横竖各减少一排,这样共需去掉27人,问四年级原来准备多少人参加表演?
分析与解:
此题刚好是例1的逆向题,根据正方形队列的特点可知:
原每行人数=(去掉一行一列的人数+1)÷2
即:
原来每行人数是(27+1)÷2=14(人)
原来准备参加表演的人数:
14×14=196(人)
答:
四年级原准备196人参加表演。
例3:
正方形舞厅四周均匀地装彩灯,如果四个角都装一盏,且每边12盏,那么这个舞厅四周共装彩灯多少盏?
分析与解:
如下图:
方法一:
从图
(1)可以看出,角上的四盏灯各属于两行,所以彩灯总数应为:
12×4—4=44(盏)
方法二:
按图
(2)把彩灯分成相等的四部分,因此彩灯总数为:
(12—1)×4=44 (盏)
答:
这个舞厅四周共装彩灯44盏。
例4:
小明用围棋子摆了一个五层的空心方阵,共用了200个棋子,问最外边一层每边有多少个棋子?
分析与解:
方法一:
利用相邻两层之间,每层的总数相差8的特点。
可知最外层共有棋子数:
(200+8+8×2+8×3+8×4)÷5=56(个)
最外层每边的棋子数:
56÷4+1=15(个)
方法二:
如下图,把棋子分成相等的四部分,每一部分的棋子数为:
200÷4=50(个),每一部分每排的棋子数为:
50÷5=10(个)
最外层每边的棋子数为:
10+5=15(个)
列综合算式:
200÷4÷5+5=15(个)
答:
最外层每边有棋子15个。
二、专题过关
检测题1:
运动员入场式要求排成一个9行9列的正方形方阵,如果去掉2行2列,要减少多少运动员?
解:
9×9=81(人)
(9—2)×(9—2)=49(人)
81—49=32(人)
答:
要减少32名运动员。
检测题2:
学校为庆祝“十一”,用盆花摆了一个中实方阵,最外一层有36盆花。
求这个方阵共有花多少盆?
解:
36÷4+1=10(盆)
10×10=100(盆)
答:
这个方阵共有花100盆。
检测题3:
有一个用圆片摆成的两层中空方阵,外层每边有16个圆片,如果把内层的圆片取出来,在外层再摆一层,变成一个新的中空方阵,应再增加多少圆片?
(16+2—1)×4=68(个)
(16—2—1)×4=52(个)
68—52=16(个)
答:
应再增加16个圆片。
5.解放军进行排队表演,组成一个外层有48人,内层有16人的多层中空方阵,这个方阵有几层?
一共有多少人?
(48—16)÷8+1=5(层) (48+16)×5÷2=160(人)
答:
这个方阵有5层,一共有160人。
三、学法提炼
1、专题特点:
日常生活中,往往需要把人或物摆成正方形的形式,如正方形的体操队列,正方形花坛周围摆花盆,插旗子,还有正方形棋盘上摆棋子等问题。
在数学上,人们通常称这类问题为方阵问题。
方阵不论哪一层,每边上的人(或物)数量都相同,每向里一层,每边上的人数就少2。
2、解题方法
(1)四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4
(2)每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1
(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数
(4)空心方阵的总人(或物)数=(最外层每边人(或物)数-空心方阵的层数)×空心方阵的层数×4
3、注意事项
解方阵问题时,应注意观察方阵中行列的排列规律,分清每边人(或物)数和四周人(或物)的关系,找出巧妙的解法。
学法升华
一、知识收获
植树问题中的三种形式及其应用:
(1)非封闭路线的植树问题。
(2)封闭路线的植树问题。
(3)方正问题。
二、方法总结
1、非封闭线段上的植树问题可以分为以下三种情形:
(1)如果植树线路的两端都要植树,那么植树的棵数应比要分的段数多1,
即:
棵数=段数+1;
(2)如果一端植树,另一端不植树,那么棵数与段数相等,
即:
棵数=段数;
(3)如果两端都不植树,那么棵数应比段数少1,
即:
棵数=段数-1。
2.在封闭的路线上植数,棵数与段数相等,
即:
棵数=段数。
3、植树问题中的方正问题
(1)四周人(或物)数=[每边人(或物)数-1]×4
(2)每边人(或物)数=四周人(或物)数÷4+1
(3)中实方阵的总人数(或物)=每边人(或物)数×每边人(或物)数
(4)空心方阵的总人(或物)数=(最外层每边人(或物)数-空心方阵的层数)×空心方阵的层数×4
三、技巧提炼
1、分清题目所讲的植树是属于哪一种植树方法。
2、注意题型的变化和知识的灵活运用。
3、可以通过画图帮助理解题意。
课后作业
作业1:
在一条马路一边从头至尾植树36棵,每相邻两棵树之间隔8米,这长马路有多长?
解:
这是植树问题中的两端都要植的问题,棵数—1=段数
(36-1)××8=280(米)
答:
这条马路有280米长。
作业2:
在圆形的水池边,每隔3米种一棵树,共种树60棵,这个水池的周长是多少米?
解:
这是封闭路线的植树问题,即:
棵数=段数
60×3=180(米)
答:
这个水池的周长是180米。
作业3:
在一座长800米的大桥两边挂彩灯,起点和终点都挂,一共挂了202盏,相邻两盏之间的距离都相等。
求相邻两盏彩灯之间的距离。
解:
大桥两边一共挂了202盏彩灯,每边各挂202÷2=101盏,101盏彩灯把800米长的大桥分成101-1=100段,所以,相邻两盏彩灯之间的距离是800÷100=8米。
202÷2=101(盏)
101-1=100(段)
800÷100=8(米)
答:
相邻两盏彩灯之间的距离是8米。
作业4:
一个木工锯一根19米的木料,他先把一头损坏部分锯下来1米,然后锯了5次,锯成同样长的短木条。
每根短木条长多少米?
解:
根据题意,把长19-1=18米的木条锯了5次,可以锯成5+1=6段,所以每根短木条长18÷6=3米。
【题目思考】
邮递员投递邮件由A村去B村的道路有3条,由B村去C村的道路有2条,那么邮递员从A村经B村去C村,共有多少种不同的走法?
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