等比数列高一数学教案模板.docx
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等比数列高一数学教案模板
等比数列_高一数学教案_模板
教学目标
1.理解等比数列的概念,掌握等比数列的通项公式,并能运用公式解决简单的问题.
(1)正确理解等比数列的定义,了解公比的概念,明确一个数列是等比数列的限定条件,能根据定义判断一个数列是等比数列,了解等比中项的概念;
(2)正确认识使用等比数列的表示法,能灵活运用通项公式求等比数列的首项、公比、项数及指定的项;
(3)通过通项公式认识等比数列的性质,能解决某些实际问题.
2.通过对等比数列的研究,逐步培养学生观察、类比、归纳、猜想等思维品质.
3.通过对等比数列概念的归纳,进一步培养学生严密的思维习惯,以及实事求是的科学态度.
教学建议
教材分析
(1)知识结构
等比数列是另一个简单常见的数列,研究内容可与等差数列类比,首先归纳出等比数列的定义,导出通项公式,进而研究图像,又给出等比中项的概念,最后是通项公式的应用.
(2)重点、难点分析
教学重点是等比数列的定义和对通项公式的认识与应用,教学难点在于等比数列通项公式的推导和运用.
①与等差数列一样,等比数列也是特殊的数列,二者有许多相同的性质,但也有明显的区别,可根据定义与通项公式得出等比数列的特性,这些是教学的重点.
②虽然在等差数列的学习中曾接触过不完全归纳法,但对学生来说仍然不熟悉;在推导过程中,需要学生有一定的观察分析猜想能力;第一项是否成立又须补充说明,所以通项公式的推导是难点.
③对等差数列、等比数列的综合研究离不开通项公式,因而通项公式的灵活运用既是重点又是难点.
教学建议
(1)建议本节课分两课时,一节课为等比数列的概念,一节课为等比数列通项公式的应用.
(2)等比数列概念的引入,可给出几个具体的例子,由学生概括这些数列的相同特征,从而得到等比数列的定义.也可将几个等差数列和几个等比数列混在一起给出,由学生将这些数列进行分类,有一种是按等差、等比来分的,由此对比地概括等比数列的定义.
(3)根据定义让学生分析等比数列的公比不为0,以及每一项均不为0的特性,加深对概念的理解.
(4)对比等差数列的表示法,由学生归纳等比数列的各种表示法.启发学生用函数观点认识通项公式,由通项公式的结构特征画数列的图象.
(5)由于有了等差数列的研究经验,等比数列的研究完全可以放手让学生自己解决,教师只需把握课堂的节奏,作为一节课的组织者出现.
(6)可让学生相互出题,解题,讲题,充分发挥学生的主体作用.
教学设计示例
课题:
等比数列的概念
教学目标
1.通过教学使学生理解等比数列的概念,推导并掌握通项公式.
2.使学生进一步体会类比、归纳的思想,培养学生的观察、概括能力.
3.培养学生勤于思考,实事求是的精神,及严谨的科学态度.
教学重点,难点
重点、难点是等比数列的定义的归纳及通项公式的推导.
教学用具
投影仪,多媒体软件,电脑.
教学方法
讨论、谈话法.
教学过程
一、提出问题
给出以下几组数列,将它们分类,说出分类标准.(幻灯片)
①-2,1,4,7,10,13,16,19,…
②8,16,32,64,128,256,…
③1,1,1,1,1,1,1,…
④243,81,27,9,3,1,,,…
⑤31,29,27,25,23,21,19,…
⑥1,-1,1,-1,1,-1,1,-1,…
⑦1,-10,100,-1000,10000,-100000,…
⑧0,0,0,0,0,0,0,…
由学生发表意见(可能按项与项之间的关系分为递增数列、递减数列、常数数列、摆动数列,也可能分为等差、等比两类),统一一种分法,其中②③④⑥⑦为有共同性质的一类数列(学生看不出③的情况也无妨,得出定义后再考察③是否为等比数列).
二、讲解新课
请学生说出数列②③④⑥⑦的共同特性,教师指出实际生活中也有许多类似的例子,如变形虫分裂问题.假设每经过一个单位时间每个变形虫都分裂为两个变形虫,再假设开始有一个变形虫,经过一个单位时间它分裂为两个变形虫,经过两个单位时间就有了四个变形虫,…,一直进行下去,记录下每个单位时间的变形虫个数得到了一列数这个数列也具有前面的几个数列的共同特性,这是我们将要研究的另一类数列——等比数列.(这里播放变形虫分裂的多媒体软件的第一步)
等比数列(板书)
1.等比数列的定义(板书)
根据等比数列与等差数列的名字的区别与联系,尝试给等比数列下定义.学生一般回答可能不够完美,多数情况下,有了等差数列的基础是可以由学生概括出来的.教师写出等比数列的定义,标注出重点词语.
请学生指出等比数列②③④⑥⑦各自的公比,并思考有无数列既是等差数列又是等比数列.学生通过观察可以发现③是这样的数列,教师再追问,还有没有其他的例子,让学生再举两例.而后请学生概括这类数列的一般形式,学生可能说形如的数列都满足既是等差又是等比数列,让学生讨论后得出结论:
当时,数列既是等差又是等比数列,当时,它只是等差数列,而不是等比数列.教师追问理由,引出对等比数列的认识:
2.对定义的认识(板书)
(1)等比数列的首项不为0;
(2)等比数列的每一项都不为0,即;
问题:
一个数列各项均不为0是这个数列为等比数列的什么条件?
(3)公比不为0.
用数学式子表示等比数列的定义.
是等比数列①.在这个式子的写法上可能会有一些争议,如写成,可让学生研究行不行,好不好;接下来再问,能否改写为是等比数列?
为什么不能?
式子给出了数列第项与第项的数量关系,但能否确定一个等比数列?
(不能)确定一个等比数列需要几个条件?
当给定了首项及公比后,如何求任意一项的值?
所以要研究通项公式.
3.等比数列的通项公式(板书)
问题:
用和表示第项.
①不完全归纳法
.
②叠乘法
,…,,这个式子相乘得,所以.
(板书)
(1)等比数列的通项公式
得出通项公式后,让学生思考如何认识通项公式.
(板书)
(2)对公式的认识
由学生来说,最后归结:
①函数观点;
②方程思想(因在等差数列中已有认识,此处再复习巩固而已).
这里强调方程思想解决问题.方程中有四个量,知三求一,这是公式最简单的应用,请学生举例(应能编出四类问题).解题格式是什么?
(不仅要会解题,还要注意规范表述的训练)
如果增加一个条件,就多知道了一个量,这是公式的更高层次的应用,下节课再研究.同学可以试着编几道题.
三、小结
1.本节课研究了等比数列的概念,得到了通项公式;
2.注意在研究内容与方法上要与等差数列相类比;
3.用方程的思想认识通项公式,并加以应用.
四、作业(略)
五、板书设计
三.等比数列
1.等比数列的定义
2.对定义的认识
3.等比数列的通项公式
(1)公式
(2)对公式的认识
探究活动
将一张很大的薄纸对折,对折30次后(如果可能的话)有多厚?
不妨假设这张纸的厚度为0.01毫米.
参考答案:
30次后,厚度为,这个厚度超过了世界最高的山峰——珠穆朗玛峰的高度.如果纸再薄一些,比如纸厚0.001毫米,对折34次就超过珠穆朗玛峰的高度了.还记得国王的承诺吗?
第31个格子中的米已经是1073741824粒了,后边的格子中的米就更多了,最后一个格子中的米应是粒,用计算器算一下吧(用对数算也行).
教学设计示例教学目标
(1)掌握与()型的绝对值不等式的解法.
(2)掌握与()型的绝对值不等式的解法.
(3)通过用数轴来表示含绝对值不等式的解集,培养学生数形结合的能力;
(4)通过将含绝对值的不等式同解变形为不含绝对值的不等式,培养学生化归的思想和转化的能力;
教学重点:
型的不等式的解法;
教学难点:
利用绝对值的意义分析、解决问题.
教学过程设计
教师活动
学生活动
设计意图
一、导入新课
【提问】正数的绝对值什么?
负数的绝对值是什么?
零的绝对值是什么?
举例说明?
【概括】
口答
绝对值的概念是解与()型绝对值不等值的概念,为解这种类型的绝对值不等式做好铺垫.
二、新课
【导入】2的绝对值等于几?
-2的绝对值等于几?
绝对值等于2的数是谁?
在数轴上表示出来.
【讲述】求绝对值等于2的数可以用方程来表示,这样的方程叫做绝对值方程.显然,它的解有二个,一个是2,另一个是-2.
【提问】如何解绝对值方程.
【设问】解绝对值不等式,由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗?
这个绝对值不等式的解集怎样表示?
【讲述】根据绝对值的意义,由右面的数轴可以看出,不等式的解集就是表示数轴上到原点的距离小于2的点的集合.
【设问】解绝对值不等式,由绝对值的意义你能在数轴上画出它的解吗?
这个绝对值不等式的解集怎样表示?
【质疑】的解集有几部分?
为什么也是它的解集?
【讲述】这个集合中的数都比-2小,从数轴上可以明显看出它们的绝对值都比2大,所以是解集的一部分.在解时容易出现只求出这部分解集,而丢掉这部解集的错误.
【练习】解下列不等式:
(1);
(2)
【设问】如果在中的,也就是怎样解?
【点拨】可以把看成一个整体,也就是把看成,按照的解法来解.
所以,原不等式的解集是
【设问】如果中的是,也就是怎样解?
【点拨】可以把看成一个整体,也就是把看成,按照的解法来解.
,或,
由得
由得
所以,原不等式的解集是
口答.画出数轴后在数轴上表示绝对值等于2的数.
画出数轴,思考答案
不等式的解集表示为
画出数轴
思考答案
不等式的解集为
或表示为,或
笔答
(1)
(2),或
笔答
笔答
根据绝对值的意义自然引出绝对值方程()的解法.
由浅入深,循序渐进,在()型绝对值方程的基础上引出()型绝对值方程的解法.
针对解()绝对值不等式学生常出现的情况,运用数轴质疑、解惑.
落实会正确解出与()绝对值不等式的教学目标.
在将看成一个整体的关键处点拨、启发,使学生主动地进行练习.
继续强化将看成一个整体继续强化解不等式时不要犯丢掉这部分解的错误.
三、课堂练习
解下列不等式:
(1);
(2)
笔答
(1);
(2)
检查教学目标落实情况.
四、小结
的解集是;的解集是
解绝对值不等式注意不要丢掉这部分解集.
或型的绝对值不等式,若把看成一个整体一个字母,就可以归结为或型绝对值不等式的解法.
五、作业
1.阅读课本含绝对值不等式解法.
2.习题2、3、4
课堂教学设计说明
1.抓住解型绝对值不等式的关键是绝对值的意义,为此首先通过复习让学生掌握好绝对值的意义,为解绝对值不等式打下牢固的基础.
2.在解与绝对值不等式中的关键处设问、质疑、点拨,让学生融会贯通的掌握它们解法之间的内在联系,以达到提高学生解题能力的目的.
3.针对学生解()绝对值不等式容易出现丢掉这部分解集的错误,在教学中应根据绝对值的意义从数轴进行突破,并在练习中纠正这个错误,以提高学生的运算能力.
教学目标:
(1)理解交集与并集的概念;
(2)掌握有关集合的术语和符号,并会用它们正确表示一些简单的集合;
(3)能用图示法表示集合之间的关系;
(4)掌握两个较简单集合的交集、并集的求法;
(5)通过对交集、并集概念的讲解,培养学生观察、比较、分析、概括、等能力,使学生认识由具体到抽象的思维过程;
(6)通过对集合符号语言的学习,培养学生符号表达能力,培养严谨的学习作风,养成良好的学习习惯.
教学重点:
交集和并集的概念
教学难点:
交集和并集的概念、符号之间的区别与联系
教学过程设计
一、导入新课
【提问】
试叙述子集、补集的概念?
它们各涉及几个集合?
补集涉及三个集合,补集是由一个集合及其一个子集而产生的第三个集合.由两个集合产生第三个集合不仅有补集,在实际中还有许多其他情形,我们今天就来学习另外两种.
回忆.
倾听.集中注意力.激发求知欲.
巩固旧知.为导入新课作准备.
渗透集合运算的意识.
二、新课
【引入】我们看下面图(用投影仪打出,软片做成左右两向遮启式,便于同学在“动态”中进行观察).
【设问】
1.第一次看到了什么?
2.第二次看到了什么
3.第三次又看到了什么?
4.阴影部分的周界线是一条封闭曲线,它的内部(阴影部分)当然表示一个新的集合,试问这个新集合中的元素与集A、集B元素有何关系?
【介绍】这又是一种由两个集合产生第三个集合的情况,在今后学习中会经常出现,为方便起见,称集A与集B的公共部分为集A与集B的交集.
【设问】请大家从元素与集合的关系试叙述文集的概念.
【助学】“且”的含义是“同时”,“又”.
“所有”的含义是A与B的公共元素一个不能少.
【介绍】集合A与集合B的交集记作.读做“A交B”·
【助学】符号“”形如帽子戴在头
上,产生“交”的感觉,所以开口向下.切记该符号不要与表示子集的符号“”、“”混淆.
【设问】集A与集B的交集除上面看到的用图示法表示交集外,还可以用我们学习过的哪种方法表示?
如何表示?
【设问】与A有何关系?
如何表示?
与B有何关系?
如何表示?
【随练】写出,的交集.
【设问】大家是如何写出的?
我们再看下面的图.
【设问】
1.第一次看到了什么?
2.第二次除看到集B和外,还看到了什么集合?
3.第三次看到了什么?
如何用有关集合的符号表示?
4.第四次看到了什么?
这与刚才看到的集合类似,请用有关集合的符号表示.
5.第五次同学看出上面看到的集A、集B、集、集、集,它们都可以用我们已经学习过的集合有关符号来表示.除此之外,大家还可以发现什么集合?
6.第六次看到了什么?
7.阴影部分的周界是一条封闭曲线,它的内部(阴影部分)表示一个新的集合,试问它的元素与集A集B的元素有何关系?
【注】若同学直接观察到,第二、三、四次和第五次部分观察活动可不进行.
【介绍】这又是由两个集合产生第三个集合的情形,在今后学习中也经常出现,它给我们由集A集B并在一起的感觉,称为集A集B的并.
【设问】请大家从元素与集合关系仿照交集概念的叙述方法试叙述并集的概念?
【助学】并集与交集的概念仅一字之差,即将“且”改为“或”.或的含义是集A中的所有元素要取,集B中的所有元素也要取.
【介绍】集A与集B的并集记作(读作A并B).
【助学】符号“”形如“碰杯”时的杯子,产生并的感觉,所以开口向上.切记,不要与“”混淆,更不能与“”等符号混淆.
观察.产生兴趣.
答:
图示法表示的集A.
答:
图示法表示集B.集A集B的公共部分·
答:
公共部分出现阴影.
倾听.观察
思考.答:
该集合中所有元素属于集合A且属于集合B.
倾听.理解.
思考.答:
由所有属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合,叫做A与B的交集.
倾听.记忆.
倾听.兴趣记忆.
思考:
“列举法还是描述法?
” 答:
描述法.
思考.议论.
口答结合板书.
想象交集的图示,或回忆交集的概念.
口答结合板书:
是A的子集.A.是
B的子集.
口答结合板书.
口答:
从一个集合开始,依次用其每个元素与另一个集合中的元素对照,取出相同的元素组成的集合即为所求.
答:
图示法表示的集A.
答:
集A中子集A交B的补集.
答:
上述区域出现阴影.
口答结合板书
答:
出现阴影.
口答结合板书
认真、仔细、整体的进行观察、想象.答:
表示集A集B的两条封闭曲线除去表示交集的封闭曲线剩余部分组成一条封闭曲线的内部所表示的集合.
答:
出现阴影.
思考:
答:
该集合中所有元素属于集合A或属于集合B.
倾听,理解.
回忆交集概念,思考.答:
由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A与B的并集.
倾听.比较.记忆.
倾听,记忆.
倾听.兴趣记忆.比较记忆,.
直观性原则.多媒体助学.
用直观、感性的例子为引入交集做铺垫.
渗透集合运算意识.
直观的感知交集.
培养从直观、感性到理性的概括抽象能力.
解决难点.
兴趣激励.比较记忆
培养用描述法表示集合的能力.
培养想象能力.
以新代旧.
突出重点.
概念迁移为能力.
进一步培养观察能力.
培养观察能力
以新代旧.
培养整体观察能力.
培养从直观、感性到理性的概括抽象能力.
解决难点.比较记忆.
兴趣激励,辩易混.比较记忆.
【设问】集A与集B的并集除上面看到的用图示法表示外,还可以用我们学习过的哪种方法表示?
如何表示?
【设问】与A有何关系?
如何表示?
与B有何关系?
如何表示?
【随练】写出,的并集.
【设问】大家是如何写出的?
【例1】设,,求(以下例题用投影仪打出,随用随启).
【助练】本例实为解不等式组,用数轴法找出公共部分,写出即可.
【例2】设,
,求
【例3】设,,求
【例4】设,
,求
【助学】数轴法(略).想象前面集A集B并集的图示法,类似地,将两个不等式区域并到一起,即为所求.其中元素2虽不属于集A倮属于集B,所以要取,元素1虽不属于集B但属于集A,所以要取,因此,只要将集A的左端点,集B的右端点组成新的不等式区域即为所求(两端点取否维持题设条件).
【助练】以上例题,当理解并较熟练后,且结果可进一步简化时,中间一步或两步可省略.如例4.
【练习】教材第12页练习1~5.
【助练】
1.全集与其某个子集的交集是哪个集合?
2.全集与其某个子集的并集是哪个集合?
3.两个无公共元素的集合的交集是什么集合?
4.两个无公共元素的集合A、B,它们的并集如何表示?
5.任意集合A与其本身的交集、并集分别是什么集合?
如何表示?
6.任意集A与空集的交集、并集分别是什么集合?
如何表示?
7.与的关系如何表示?
与的关系如何表示?
【例5】设,,求
【助思】
1.集A、集B各是什么集合?
2.如何理解
3.本例实为求两条直线的交点或解二元一次方程组,只不过是从集合的角度提出问题解决问题.
【例6】已知A为奇数集,B为偶数集,Z为整数集,求,,,,
,
【助学】
1.偶数包括哪些数?
任意偶数如何表示?
偶数集(全体偶数的集合)如何表示?
2.奇数包括哪些数?
任意奇数如何表示?
奇数集(全体奇数的集合?
如何表示?
)
【例7】设,,,求,,,.
思考:
“列举法还是描述法?
”
答:
描述法.
思考.议论.
口答结合板书.
或
想象并集的图示,或回忆并集的概念.
口答结合板书:
A和B都是的子集.,
口答结合板书:
口答:
综合考虑两个集合,从最小数开始,哪个集合的元素都取,一个不能丢,相同元素由集合中元素的互异性只取一次.
审清题意.笔练结合板书.
解:
倾听.理解.
审清题意.口答结合板书.
解:
是直角三角形,且是直角三角形是等腰三角形.
审清题意.口答结合板书.
解:
是锐角三角形是钝角三角形是锐角三角形,或是钝角三角形是斜三角形.
审清题意.
画数轴.画出不等式区域.倾听.解:
倾听.理解.
口答结合笔练和板演.
思考.答:
子集.
思考.答:
全集.
思考.答:
空集
思考.议论.答:
,或
思考.答:
A.,
思考.答:
分别是空集和A.
,
思考.答:
审清题意.
思考.议论.答:
分别是直线或直线上的点集.或者分别是二元一次方程和二元一次方程的解集.
思考:
答:
求这两条直线的交点,或求这两个二元一次方程的公共解,即求由这两个二元一次方程组成的二元一次方程组的解.
倾听.理解.掌握.
解:
审题中发现未见过的集合.
思索.
答:
0,,等.()
或{偶数}
答:
,等.()
或(奇数)
解:
{奇数}{偶数}
{奇数}Z={奇数}=A.
{偶数}Z={偶数}=B.
{奇数}{偶数}=Z.
{奇数}
{偶数}
审清题意.口答结合板书.
解:
培养用描述法表示集合的能力.
以新代旧.
培养想象能力.
以新代旧.
突出重点.
概念迁移为能力.
突出重点.培养能力.
落实教学目标.
突出重点.培养能力.
三、课堂练习
教材第13页练习1、2、3、4.
【助练习】第13页练习4
(1)中用一个方向的斜平行线段表示,用另一方向的平行线段表示如图:
凡有阴影部分即为所求.
【讲解】看图,所得结果实际上还可以看作全集U中子集的补集则有第13页练习4
(2)仿上,如图,凡有双向阴影部分即为所求.
【讲解】看图,所得结果实际上还可以看作全集U中子集的补集.则有:
以上两个等式称反演律.简记为“先补后并等于先交后补”和“先补后交等于先并后补”.反演律在今后类似问题中给我们带来方便,因为它将三步工作简化为两步工作.
四、小结
提纲式(略).再一次突出交集和并集两个概念中“且”,“或”的含义的不同.
五、作业
习题1至8.
笔练结合板书.
倾听.修改练习.掌握方法.
观察.思考.倾听.理解.记忆.
倾听.理解.记忆.
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