湖北省黄冈市届高三新高考备考监测联考 数学带答案.docx
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湖北省黄冈市届高三新高考备考监测联考数学带答案
高三新高考备考监测联考
数学2019.10
考生注意:
1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分.考试时间120分钟.
2.请将各题答案填写在答题卡上.
3.本试卷主要考试内容:
集合与常用逻辑用语,函数与导数,三角函数与解三角形,平面向量,数列.
第Ⅰ卷
一、选择题:
本大题共13小题,每小题4分,共52分.在每小题给出的四个选项中,第1~10题只有一项符合题目要求;第11~13题,有多项符合题目要求,全部选对的得4分,选对但不全的得2分,有选错的不得分.
1.若集合M={x|-1<2-x≤1},N={x|x2-6x+8<0},则M∪N=
A.(2,3]B.(2,3)C.[1,4)D.(1,4)
2.若
=(1,2),
=(1,0),则
=
A.(2,2)B.(2,0)C.(0,2)D.(0,-2)
3.函数f(x)=
+ln|x|的定义域为
A.[-1,+∞)B.[-1,0)∪(0,+∞)
C.(-∞,-1]D.(-1,0)∪(0,+∞)
4.若{an}是首项为1的等比数列,则“
>9”是“a2>3”的
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
5.已知两个单位向量e1,e2的夹角为60°,向量m=5e1-2e2,则|m|=
A.
B.
C.2
D.7
6.在△ABC中,AC=3,AB=4,BC=6,则△ABC的最大内角的余弦值为
A.
B.-
C.-
D.-
7.已知cos27°≈0.891,则
(cos72°+cos18°)的近似值为
A.1.77B.1.78C.1.79D.1.81
8.函数f(x)=
在[-π,π]上的图象大致为
9.将曲线y=2sin(4x+)上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变),再将所得曲线关于y轴对称,最后得到的曲线的对称轴方程为
A.x=
+
(k∈Z)B.x=-
+
(k∈Z)
C.x=
+
(k∈Z)D.x=-
+
(k∈Z)
10.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x)=f(2-x),且f(x)的图象关于点(3,0)对称,当1≤x≤2时,f(x)=2x+log3(4x+3),则f(
)=
A.-4B.4C.-5D.5
11.下列有四个关于命题的判断,其中正确的是
A.命题“∃x0∈(0,+∞),3x0+cosx0<1”是假命题
B.命题“若xy≠100,则x≠4或y≠25”是真命题
C.命题“∀x∈N,lg(x+1)>0”的否定是“∃x0∉N,lg(x0+1)>0”
D.命题“在△ABC中,若
·
<0,则△ABC是钝角三角形”是真命题
12.已知函数f(x)=
则
A.f(x)的最小正周期为πB.f(x)的最大值为2
C.f(x)的值域为(-2,2)D.f(x)的图象关于(-
0)对称
13.若函数f(x)=2x3-ax2(a<0)在(,
)上有最大值,则a的取值可能为
A.-6B.-5C.-4D.-3
第Ⅱ卷
二、填空题:
本大题共4小题,每小题4分,共16分.把答案填在答题卡中的横线上.
14.设函数f(x)=
则f(-f(10))=▲.
15.直线2y+1=0与曲线y=cosx在(-
)上的交点的个数为▲.
16.张军自主创业,在网上经营一家干果店,销售的干果中有松子、开心果、腰果、核桃,价格依次为120元/千克、80元/千克、70元/千克、40元/千克,为增加销量,张军对这四种干果进行促销:
一次购买干果的总价达到150元,顾客就少付x(2x∈Z)元.每笔订单顾客网上支付成功后,张军会得到支付款的80%.
①若顾客一次购买松子和腰果各1千克,需要支付180元,则x=▲;
②在促销活动中,为保证张军每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折,则x的最大值为▲.(本题每空2分)
17.《九章算术》“竹九节”问题:
现有一根9节的竹子,自上而下各节的容积成等差数列,上面4节的容积共3升,下面3节的容积共4升,则自上而下的第1节的容积为▲,这9节竹子的总容积为▲.(本题每空2分)
三、解答题:
本大题共6小题,共82分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.
18.(12分)
△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知A=30°,a=8,b=8
.
(1)求tanB;
(2)若△ABC不是直角三角形,求△ABC的面积.
19.(12分)
已知函数f(x)=x-aeax(a>0).
(1)求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;
(2)若f(x)<0恒成立,求a的取值范围.
20.(14分)
设数列{an}的前n项和为Sn,且2Sn=3an-1.
(1)求{an}的通项公式;
(2)若bn=
求{bn}的前n项和Tn,并比较Tn与
的大小.
21.(14分)
将函数g(x)=4sinxcos(x+)的图象向左平移φ(0<φ≤)个单位长度后得到f(x)的图象.
(1)若f(x)为偶函数,tanα>2,求f(α)的取值范围;
(2)若f(x)在(π,
)上是单调函数,求φ的取值范围.
22.(15分)
已知函数f(x)=x(1-sinx).
(1)求函数f(πx)在(-20,20)上的零点之和;
(2)证明:
f(x)在(0,)上只有1个极值点.
23.(15分)
已知函数f(x)=ax2-x+2a2lnx(a≠0).
(1)讨论f(x)的单调性;
(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,证明:
<
+
.
数学试题参考答案
1.C【解析】本题考查集合的并集与一元二次不等式的解法,考查运算求解能力.
∵M=[1,3),N=(2,4),∴M∪N=[1,4).
2.C【解析】本题考查平面向量的线性运算,考查运算求解能力.
=
+
=
-
=(0,2).
3.B【解析】本题考查函数的定义域,考查运算求解能力.
∵
∴x∈[-1,0)∪(0,+∞).
4.B【解析】本题考查充分条件、必要条件,考查推理论证能力.
若
>9,则q2>9,则a2=q<-3或a2>3;若a2=q>3,则
=q2>9.故选B.
5.A【解析】本题考查平面向量的数量积与模,考查运算求解能力.
|m|=
=
=
=
.
6.D【解析】本题考查余弦定理的应用,考查运算求解能力.
因为BC边最长,所以A最大,且cosA=
=-
.
7.B【解析】本题考查三角恒等变换,考查运算求解能力.
cos72°+cos18°=sin18°+cos18°=
sin(18°+45°)=
sin63°=
cos27°,
(cos72°+cos18°)≈2×0.891=1.782,所以
(cos72°+cos18°)的近似值为1.78.
8.A【解析】本题考查函数图象的识别,考查推理论证能力.
易知f(x)为偶函数,排除C.因为f()<0,f(π)=-
>-
>-1,所以排除B,D,故选A.
9.D【解析】本题考查三角函数图象的周期变换与对称性,考查运算求解能力.
将曲线y=2sin(4x+)上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍后得到曲线y=2sin(2x+),再将所得曲线关于y轴对称,得到曲线y=2sin(-2x+),令-2x+=-kπ(k∈Z),得x=-
+
(k∈Z).
10.C【解析】本题考查函数的对称性与周期性,考查推理论证能力与抽象概括能力.
因为f(x)的图象关于点(3,0)对称,所以f(x)+f(6-x)=0.又f(x)=f(2-x),所以f(2-x)+f(6-x)=0,所以f(x)=-f(x+4),则f(x)=f(x+8),所以f(
)=f(+100×8)=f().因为f()+f(6-)=0,f()=-f()=-(3+log39)=-5,所以f(
)=-5.
11.AB【解析】本题考查命题的否定与命题真假的判断,考查推理论证能力.
设f(x)=3x+cosx(x>0),则f'(x)=3-sinx>0,所以f(x)在(0,+∞)上单调递增,所以f(x)>f(0)=1,从而命题“∃x0∈(0,+∞),3x0+cosx0<1”是假命题.
若x=4且y=25,则xy=100,所以命题“若xy≠100,则x≠4或y≠25”是真命题.
易知选项C是错误的.在△ABC中,若
·
<0,则
·
>0,则B为锐角,从而不能判断△ABC是钝角三角形,所以选项D也是错误的.
12.ACD【解析】本题考查三角恒等变换及三角函数图象的性质,考查运算求解能力.
∵f(x)=
=-2sin(2x+),cos(2x+)≠0,
当且仅当cos(2x+)=0时,|sin(2x+)|=1,∴f(x)的值域为(-2,2),
f(x)的最小正周期为π,f(x)的图象关于(-
0)对称.
13.ABC【解析】本题考查导数的综合应用,考查化归与转化的数学思想及运算求解能力.
令f'(x)=2x(3x-a),得x1=0,x2=(a<0),
当
从而f(x)在x=处取得极大值f()=-
.
由f(x)=-
得(x-)2(2x+)=0,解得x=或x=-.
∵f(x)在(,
)上有最大值,∴<
≤-,∴a≤-4.
14.16【解析】本题考查分段函数求值,考查运算求解能力.
f(-f(10))=f(-2)=42=16.
15.3【解析】本题考查三角函数的图象及函数与方程,考查数形结合的数学方法.
∵cos(-
)=-
<-,∴直线2y+1=0与曲线y=cosx在(-
)上有3个交点.
16.10;18.5【解析】本题考查数学在生活中的实际应用,考查数学建模的数学核心素养.
顾客一次购买松子和腰果各1千克,需要支付120+70-x=180元,则x=10.
设顾客一次购买干果的总价为M元,当0 17. 升; 升【解析】本题考查数学文化与等差数列,考查运算求解能力与应用意识. 将自上而下各节竹子的容积分别记为a1,a2,…,a9, 依题意可得a1+a2+a3+a4=3,a7+a8+a9=4, 即4a1+6d=3①,3a1+21d=4②,②×4-①×3,得66d=7,解得d= 把d= 代入①,得a1= S9=9a5=9× = 升. 18.解: (1)由 = 得sinB= = 3分 则B=60°或120°,5分 故tanB=± .6分 (2)由 (1)知,当A=30°,B=60°,C=90°时,此时△ABC是直角三角形;8分 当A=30°,B=120°,C=30°时,此时△ABC不是直角三角形.10分 故S△ABC=absinC=×8×8 ×=16 .12分 19.解: (1)f'(x)=1-a2eax,1分 所以f'(0)=1-a2.2分 又f(0)=-a,所以曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y+a=(1-a2)x, 即y=(1-a2)x-a.5分 (2)因为a>0,所以a2>0.令f'(x)=0,得x=- ;6分 令f'(x)>0,得x<- ;7分 令f'(x)<0,得x>- .8分 所以f(x)max=f(- )=- .10分 因为f(x)<0恒成立,所以- <0,因为a>0,所以a> 故a的取值范围为( +∞).12分 20.解: (1)因为2Sn=3an-1,所以2S1=2a1=3a1-1,即a1=1.1分 当n≥2时,2Sn-1=3an-1-1,则2Sn-2Sn-1=2an=3an-3an-1,3分 整理得 =3(n≥2),4分 则数列 是以1为首项,3为公比的等比数列,5分 故an=a1qn-1=3n-1.6分 (2)因为bn= 所以bn= =×( - ),9分 所以Tn=×[( - )+( - )+( - )+…+( - )],11分 即Tn=×(- )=- .12分 因为Tn<< 所以Tn< .14分 21.解: (1)∵g(x)=4sinx( cosx-sinx)= sin2x-(1-cos2x) =2sin(2x+)-1,3分 ∴f(x)=2sin(2x++2φ)-1.4分 又f(x)为偶函数,则+2φ=+kπ(k∈Z),∵0<φ≤,∴φ=,5分 ∴f(x)=2sin(2x+)-1=2cos2x-1= -1= -1.6分 ∵tanα>2,∴f(α)= -3< -3=- 7分 又f(α)= -3>-3,∴f(α)的取值范围为(-3,- ).8分 (2)∵x∈(π, ),∴2x++2φ∈(2π++2φ,2π++2φ).9分 ∵0<φ≤,∴+2φ∈(, ],+2φ∈(, ].10分 ∵f(x)在(π, )上是单调函数,∴ 12分 ∴φ∈[,].14分 22. (1)解: 令f(πx)=πx(1-sinπx)=0,得x=0或sinπx=1,2分 即x=0或πx=+2kπ(k∈Z),即x=0或x=+2k(k∈Z),4分 所以f(πx)在(-20,20)上的零点之和为- - - -…-+0+++…+ = =-10.7分 (2)证明: 设g(x)=f'(x),g'(x)=xsinx-2cosx, h(x)=g'(x),h'(x)=xcosx+3sinx,8分 当x∈(0,)时,h'(x)>0,则h(x)=g'(x)为增函数.9分 因为g'(0)=-2<0,g'()=>0,所以∃m∈(0,),g'(m)=0,10分 所以当x∈(0,m)时,g'(x)<0;当x∈(m,)时,g'(x)>0,11分 从而g(x)在(0,m)上单调递减,在(m,)上单调递增. 又g(0)=1>0,g()=0,所以必存在唯一的x0∈(0,),使得g(x0)=0,13分 当x∈(0,x0)时,g(x)>0;当x∈(x0,)时,g(x)<0.14分 故f(x)在(0,)上只有1个极值点x0.15分 23. (1)解: f'(x)=ax-1+ = x∈(0,+∞).1分 设p(x)=ax2-x+2a2(x>0),Δ=1-8a3, 当a≥时,Δ≤0,p(x)≥0,则f'(x)≥0,f(x)在(0,+∞)上单调递增.3分 x2= 且0 令f'(x)>0,得0 ),( +∞)上单调递增;5分 令f'(x)<0,得x1 )上单调递减.6分 当a<0时,Δ>0,p(x)的零点为 f(x)在(0, )上单调递增, 在( +∞)上单调递减.7分 (2)证明: 由
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