人教A版高中数学必修4刷题练习函数yAsinωx+φ的图象.docx
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人教A版高中数学必修4刷题练习函数yAsinωx+φ的图象
1.5 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
第13课时 函数y=Asin(ωx+φ)的图象
对应学生用书P29
知识点一
平移变换
1.要得到函数y=sin的图象,只要将函数y=sin2x的图象( )
A.向左平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向右平移个单位长度
答案 C
解析 因为y=sin=sin2x+,所以将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度,就可得到函数y=sin2x+=sin2x+的图象.
2.将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度,再向上平移1个单位长度,所得到的图象对应的函数是( )
A.y=cos2xB.y=1+cos2x
C.y=1+sinD.y=cos2x-1
答案 B
解析 将函数y=sin2x的图象向左平移个单位长度,得到函数y=sin2x+的图象,即y=sin2x+=cos2x的图象,再向上平移1个单位长度,所得到的图象对应的函数为y=1+cos2x.
3.为了得到函数y=sin2x-的图象,可以将函数y=cos2x的图象( )
A.向右平移个单位长度
B.向右平移个单位长度
C.向左平移个单位长度
D.向左平移个单位长度
答案 B
解析 y=sin2x-=cos-2x-=cos-2x=cos2x-=cos2x-.故选B.
知识点二
伸缩变换
4.把函数y=f(x)的图象向左平移个单位长度,向下平移1个单位长度,然后再把所得图象上每个点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标保持不变),得到函数y=sinx的图象,则y=f(x)的解析式为( )
A.y=sin+1B.y=sin+1
C.y=sin-1D.y=sin-1
答案 B
解析 将函数y=sinx的图象上每个点的横坐标缩短到原来的(纵坐标保持不变),得到函数y=sin2x的图象,将所得图象向上平移1个单位长度,得到函数y=sin2x+1的图象,再将所得图象向右平移个单位长度,得到函数y=sin2x-+1=sin2x-+1的图象.故选B.
5.将函数y=sin2x的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍,然后纵坐标缩短为原来的,则所得图象的函数解析式为________.
答案 y=sinx
解析 y=sin2xy=sin2x=sinxy=sinx.即所得图象的解析式为y=sinx.
知识点三
图象变换的综合应用
6.要得到函数y=cosx的图象,只需将函数y=
sin2x+图象上的所有点的( )
A.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
B.横坐标缩短到原来的(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度
C.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度
D.横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度
答案 C
解析 ∵y=cosx=sinx+,
∴y=sin2x+
y=sinx+
y=sinx+=cosx.
7.使函数y=f(x)图象上每一点的纵坐标保持不变,横坐标缩小到原来的,然后再将其图象沿x轴向左平移个单位得到的曲线与y=sin2x的图象相同,求f(x)的表达式.
解 解法一:
(正向变换)
y=f(x)y=f(2x)
y=f2x+,即y=f2x+,
∴f2x+=sin2x.
令2x+=t,则2x=t-,
∴f(t)=sint-,即f(x)=sinx-.
解法二:
(逆向变换)
根据题意,y=sin2x
y=sin2x-
y=sinx-.
8.已知函数f(x)=sin(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值;
(2)用“五点法”作出函数f(x)在一个周期内的图象;
(3)函数f(x)的图象可以由函数y=sinx的图象经过怎样的变换得到?
写出变换过程.
解
(1)ω===2.
(2)由
(1)可知f(x)=sin.列表:
2x-
0
π
2π
x
sin
0
1
0
-1
0
作图(如图所示).
(3)把函数y=sinx的图象上的所有点向右平行移动个单位长度,纵坐标不变,得到函数y=sin的图象,再把函数y=sin的图象上的所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变,得到函数y=sin2x-的图象.
9.将函数y=lgx的图象向左平移一个单位长度,可得函数f(x)的图象;将函数y=cos2x-的图象向左平移个单位长度,可得函数g(x)的图象.
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象;
(2)判断方程f(x)=g(x)解的个数.
解 函数y=lgx的图象向左平移一个单位长度,
可得函数f(x)=lg(x+1)的图象,即图象C1;函数y=cos2x-的图象向左平移个单位长度,可得函数g(x)=cos2x+-=cos2x的图象,即图象C2.
(1)在同一直角坐标系中画出函数f(x)和g(x)的图象如下图所示.其中C1表示函数f(x)的图象,C2表示函数g(x)的图象.
(2)由图象可知:
两个函数的图象共有5个交点.
即方程f(x)=g(x)解的个数为5.
对应学生用书P31
一、选择题
1.为了得到y=cos4x,x∈R的图象,只需把余弦曲线上所有点的( )
A.横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变
B.横坐标缩短为原来的,纵坐标不变
C.纵坐标伸长到原来的4倍,横坐标不变
D.纵坐标缩短为原来的,横坐标不变
答案 B
解析 因为ω=4>1,因此只需把余弦曲线上所有点的横坐标缩短为原来的,纵坐标不变.
2.把函数f(x)=sin的图象向左平移φ(0<φ<π)个单位长度可以得到函数g(x)的图象.若g(x)的图象关于y轴对称,则φ的值为( )
A.B.
C.或D.或
答案 D
解析 由题意,得g(x)=sin2(x+φ)-=sin2x+2φ-.∵g(x)的图象关于y轴对称,
∴g(x)为偶函数,∴2φ-=kπ+(k∈Z),∴φ=+(k∈Z).当k=0时,φ=;当k=1时,φ=,故选D.
3.下列表示函数y=sin2x-在区间-,π上的简图正确的是( )
答案 A
解析 将y=sinx的图象上所有点的横坐标缩短为原来的,再将所有点向右平移个单位长度即得y=sin2x-的图象,依据此变换过程可得到A中图象是正确的.也可以分别令2x-=0,,π,,2π得到五个关键点,描点连线即得函数y=sin2x-的图象.
4.将函数y=sin图象上的点P向左平移s(s>0)个单位长度得到点P′.若P′位于函数y=sin2x的图象上,则( )
A.t=,s的最小值为B.t=,s的最小值为
C.t=,s的最小值为D.t=,s的最小值为
答案 A
解析 因为点P在函数y=sin的图象上,所以t=sin=sin=.
又P′在函数y=sin2x的图象上,所以=sin2-s,则2=2kπ+,k∈Z或2-s=2kπ+,k∈Z,解得s=-kπ+,k∈Z或s=-kπ-,k∈Z.又s>0,故s的最小值为.故选A.
5.已知a是实数,则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是( )
答案 D
解析 当a=0时,f(x)=1,选项C符合;当0<|a|<1时,T>2π,且f(x)的最小值为正数,选项A符合;当|a|>1时,T<2π,且f(x)的最小值为负数,选项B符合;在选项D中,由振幅得|a|>1,则T<2π,而由图象知T>2π,矛盾,故选D.
二、填空题
6.将函数f(x)=sinωx(其中ω>0)的图象向右平移个单位长度,所得图象经过点,0,则ω的最小值是________.
答案 2
解析 把f(x)=sinωx的图象向右平移个单位长度,得y=sinωx-.又所得图象经过点,0,∴sinω-=0.∴sin=0.∴=kπ(k∈Z).∴ω=2k(k∈Z).∵ω>0,∴ω的最小值为2.
7.将函数y=cos的图象向左平移φ(φ>0)个单位长度后所得的函数图象关于坐标原点对称,则φ的最小值是________.
答案
解析 由题意,知y=cos=cos
是奇函数,所以2φ+=+kπ,k∈Z,则φ=+,k∈Z.当k=0时,正数φ取得最小值.
8.给出下列六种图象变换的方法:
①图象上所有点的纵坐标不变,横坐标缩短到原来的;
②图象上所有点的纵坐标不变,横坐标伸长到原来的2倍;
③图象向右平移个单位长度;
④图象向左平移个单位长度;
⑤图象向右平移个单位长度;
⑥图象向左平移个单位长度.
请用上述变换中的两种变换,将函数y=sinx的图象变换为函数y=sin的图象,那么这两种变换正确的标号是________(按变换先后顺序填上一种你认为正确的标号即可).
答案 ④②或②⑥
解析 y=sinxy=siny=sin+或y=sinxy=siny=sinx+=sin.
三、解答题
9.函数f(x)=5sin2x--3的图象是由y=sinx的图象经过怎样的变换得到的?
解 先把函数y=sinx的图象向右平移个单位,得y=sinx-的图象;再把所得函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的(纵坐标不变),得y=sin2x-的图象;然后把所得函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的5倍(横坐标不变)得函数y=5sin2x-的图象,最后将所得函数图象向下平移3个单位,得函数y=5sin2x--3的图象.
10.已知函数f(x)=2cos.
(1)求函数f(x)图象的对称轴;
(2)将函数f(x)的图象上所有的点向左平移1个单位长度,得到函数g(x)的图象,若函数y=g(x)+k在(-2,4)上有两个零点,求实数k的取值范围.
解
(1)f(x)=2cos=2sin,
令x+=+kπ,k∈Z,
解得x=1+4k,k∈Z,
所以函数f(x)图象的对称轴为直线x=1+4k,k∈Z.
(2)依题意,将函数f(x)的图象向左平移1个单位长度后,得到的图象对应函数的解析式为
g(x)=2sin=2cosx,
函数y=g(x)+k在(-2,4)上有两个零点,
即函数y=g(x)的图象与直线y=-k在x∈(-2,4)上有两个交点,如图所示,
所以0<-k<2,即-2 所以实数k的取值范围为(-2,0).
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