苏科版八年级数学上册轴对称图形.docx
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苏科版八年级数学上册轴对称图形
§2.1轴对称与轴对称图形
【知识点总结】
一、轴对称的概念
把一个图形沿着一条直线折叠,如果它能够与另一个图形重合,那么称这两个图形关于这条直线对称,也称这两个图形成轴对称,这条直线叫做对称轴,两个图形中的对应点叫做对称点。
例1:
如图,观察下面的图形,它们有什么共同特点?
二、轴对称图形
把一个图形沿着有一条直线折叠,如果直线两旁部分能够互相重合,那么称这个图形是轴对称图形,这条直线就是对称轴。
例2:
下列表情图中,属于轴对称图形的是()
A.
B.
C.
D.
三、轴对称与轴对称图形的区别与联系
区别:
轴对称是两个图形之间的对称关系,而轴对称图形是一个图形自身的对称性.
联系:
(1)在这两个概念中,都有一条直线,都是沿着这条直线折叠后能够重合;
(2)如果把成轴对称的两个图形看成一个整体,那么这个整体就是轴对称图形;如果把一个轴对称图形位于对称轴两旁的部分看成两个图形,那么两部分图形就成轴对称.
如图就是一个轴对称图形,也可以看成是直线AB两侧的图形关于直线AB成轴对称.
例3:
如图,在长方形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,适用折叠的方法判断.
(1)图中哪几对三角形成轴对称?
画出它们的对称轴.
(2)图中哪几对三角形是轴对称图形?
画出它们的对称轴.
【典例展示厅】
题型一识别轴对称图形
例1:
下列图形中,不是轴对称图形的是()
A.
B.
C.
D.
题型二确定对称轴的条数
例2:
如图,正方形地砖的图案是轴对称图形,该图形的对称轴有()
A.1条B.2条C.4条D.8条
题型三生活中的对称
例3:
小亮在镜子中看到身后墙上的时钟如图所示,你认为实际时间最接近8:
00的是()
A.
B.
C.
D.
题型四实践操作题
例4:
把一张正方形纸片如图①、②对折两次后,再如图伞挖去一个三角形小孔,则展开后的图形是()
例4图
A.
B.
C.
D.
题型五探索规律题
例5:
如图,认真观察下列图形,从轴对称的角度去分析这些图形所蕴含的内在规律,并在空白处设计一个恰当的图形
题型六开放型问题
例6:
如图①是由三个小正方形组成的体验.请你在图中②~⑤上分别补画一个小正方形,使补画后的图形为轴对称图形.
①②③④⑤
题型七探究性问题
例7:
数的运算中有一些又去的对称式,如12×231=132×21,请你仿照这个等式填空:
×462=×
【误区警示】
误点1不能正确识别轴对称图形,导致错误
例1:
如图,下列四个汽车标志图案中,是轴对称图案的有()
A.1个B.2个C.3个D.4个
误点2不能正确找出轴对称图形的对称轴,导致出现错误
例2:
下列美丽的图案中,对称轴最多的是()
§2.2轴对称的性质
【知识点梳理】
一、线段垂直平分线的概念
垂直并平分一条线段的直线,叫作这条直线的垂直平分线.
例1:
如图,直线MN垂直平分线段AB,垂足是O.如果AB=6cm,那么AO长为多少?
∠MON的度数为多少?
二、轴对称的性质
成轴对称的两个图形中,对应点的连线被对称轴垂直平分.
例2:
如图,两片树叶成轴对称,请你画出它们的对称轴.
三、利用轴对称的性质作轴对称图形
画一个图形关于一条直线对称的图形,关键是确定某些点关于这条直线的对称轴.往往按照下面的步骤.
1.
画轴对称图形,首先应确定对称轴,然后找出对称点.
2.画已知线段关于某条直线的对称线段,或画已知三角形(四边形)关于某条直线对称的三角形(四边形),关键在于画出已知线段的各端点或已知三角形(四边形)的各顶点关于这条直线的对称点.
例3:
如图①是四边形ABCD和直线l,画出四边形ABCD关于直线l对称的四边形A′B′C′D′
【典例展示厅】
题型一求轴对称图形中的角度
例1:
如图,在△ABC中,∠ACB=90°,沿CD折叠△CBD,使点B恰好落在边AC上的点E上,若∠A=22°,则∠BDC的度数为()
A.44°B.60°C.67°D.77°
题型二根据轴对称的性质解题
例2:
如图,正方形纸片ABCD的边长为a8,将其沿EF折叠,则图中①、②、③、④四个三角形的周长之和为
题型三画出轴对称图形的对称轴
例3:
如图是两个轴对称图形,画出它们的对称轴。
题型四补全轴对称图形
例4:
如图,画出以直线MN为对称轴的轴对称图形
题型五游戏中的操作题
例5:
如图是一个跳棋棋盘示意图,其中格点上的黑色点位棋子,剩余的格点上没有棋子,我们约定跳棋游戏的规则是:
把跳棋棋子在棋盘内沿直线隔着棋子对称跳行,跳行一次称为一步,已知点A为乙方一枚棋子,欲将棋子A跳进对方区域(阴影部分的格点),则跳行的最少步数为( )
A.2步B.3步C.4步D.5步
题型六生活中的应用问题
例6:
如图,四边形CDEF是一个长方形台球桌面的示意图,白、黑两球分别位于点A、B处,试问怎样撞击白球A,可以使白球A先碰到桌边DE,再反弹击中黑球B?
题型七最优化问题
例8:
如图,在△ABC中,AB>AC,AD平分∠BAC,P为AD上任意一点,试探索AB-AC-CP的大小关系
【误区警示】
误点1不能灵活运用轴对称的性质,导致出现错误
例1:
如图a是一张长方形纸带,∠DEF=20°,将纸带沿EF折叠(如图b),再沿BF折叠(如图c)则图中∠CFE的度数是
误点2画图漏解,导致出现错误
例2:
如图①,在3×3的正方形网格中,已有两个小正方形被涂色,再将图中其余的任意一个小正方形涂色,使整个图案构成一个轴对称图形的方法有种.
§2.3线段、角的轴对称性
【知识点梳理】
一、线段垂直平分线的性质
1、线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴
2、线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等
3、到线段两端距离相等的点在这条线段AB的垂直平分线上
例1:
(1)如图①,点P在线段AB的垂直平分线
上,若PA=4cm,则PB的长为多少?
A
(2)如图②,线段AB的两侧分别有C、D两点,且满足AC=BC,AD=BD,则直线CD是线段AB的
二、角平分线的性质
1、角是轴对称图形,角平分线所在直线是它的对称轴
2、角平分线上的点到角两边距离相等
3、角的内部到角两边距离相等的点在这个角的平分线上
例2:
如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,交BC于点D,CD=4,则点D到AB的距离为
三、线段的垂直平分线的画法
1、用尺规画此线段的垂直平分线的方法:
(1)分别以点A、B为圆心,大于
AB的长为半径画弧,两弧相交于点C、D;
(2)过点C、D;两点作直线.直线CD就是线段AB的垂直平分线.如图2.4.1所示.
2、利用网格线画线段的垂直平分线:
现在网格上找出两点,使它们到线段两端的距离相等,再过这两点作直线
3、折叠法画线段的垂直平分线:
先对折,再沿折痕画直线,即可得到其对称轴,也就是垂直平分线.
例3:
已知,如图△ABC:
求作△ABC的中线CD
【典例展示】
题型一利用线段垂直平分线、角平分线的性质求值
例1:
如图,在△ABC中,AB+AC=6cm,BC的垂直平分线
与AC相交于点D,则△ABD的周长为cm
例2:
如图,△ABC的外角∠ACD的平分线CE与内角∠ABC的平分线BE交于点E,若∠BAC=70°,则∠CAE=
题型二作图题
例3:
如图,两条直线AB、CD相交于点O,∠AOD的内部有点M和N,先要找一点P,使点P到AB、CD的距离相等,且PM=PN,用尺规作出这个点P的位置(不写作法,保留作图痕迹)
题型三生活中的应用问题
例4:
如图,直线
表示三条相互交叉的公路,现要建加油站,使它到三条公路的距离相等,则可供选择的地点有()A.1个B.2个C.3个D.4个
题型四推力说明题
例5:
如图,在△ABC中,D是BC的中点,DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别是E、F,BE=CF.求证:
AD是△ABC的角平分线.
题型五探究性问题
例6:
如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=13,AC=5,BC=12.O为∠ABC与∠CAB的平分线的交点,求点O到AB的距离.
题型六拓展开放型问题
例7:
如图,在△ABC中,AD是∠BAC的平分线,DE⊥AB,DF⊥AC,E、F为垂足,连接EF交AD于点G,试判断AD与EF的位置关系,并说明理由.
【误区警示】
误点1不能正确掌握线段垂直平分线的性质,导致出现错误
例1:
如图,在△ABC中,AB=AC,DE是AB的垂直平方线,△BCF的周长为14,BC=6,则AB的长为
误点2不能正确掌握角平方线的性质,导致出现错误
例2:
如图,OP平分∠AOB,PA⊥OA,PB⊥OB,垂足分别为A、B.下列结论中,不一定成立的是
()
A.PA=PBB.PO平分∠APBC.OA=OBD.AB垂直平分OP
§2.5等腰三角形的轴对称性
【知识点梳理】
一、等腰三角形的对称性
等腰三角形是轴对称图形,顶角平分线所在直线、底边上的中线所在直线、底边上的高所在直线都是它的对称轴.
例1:
下列图形中,不一定是轴对称图形的是()
A.等腰三角形B.等腰直角三角形C.等边三角形D.直角三角形
二、等腰三角形的性质
1、等要三角形的两底角相等(等边对等角)
2、等腰三角形底边上的高线、中线及顶角的平分线重合(三线合一)
例2:
(1)如图①,在△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D,若BC=5.则CD的长为
(2)如图②,ACBD相交于嗲你O,AB∥DC,AB=BC,∠D=40°,∠ACB=35°,则∠AOD的度数为
三、等腰三角形的判定方法
1、有两条边相等的三角形是等腰三角形
2、有两个角相等的三角形是等腰三角形(等角对等边)
例3:
在△ABC中,∠BAC=36°,∠ABC=72°,BD平分∠ABC。
试说明图中哪些是等腰三角形,并加以证明。
四、等边三角形的概念和性质
1、三边相等的三角形是等边三角形或正三角形
2、等边三角形是轴对称图形,有三条对称轴
3、等边三角形的各内角等于60°
例4:
如图,一张等边三角形纸片剪去一个角后得到一个四边形,则∠α+∠β的度数是()
A.180°B.220°C.240°D.300°
五、等边三角形的判定
1、三边相等的三角形叫做等边三角形或正三角形
2、三个角都相等的三角形是等边三角形
3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形
例5:
如图,P为∠AOB内一点,∠AOB=30°,点P关于OA、OB的对称点分别为点M、N,则△MON一定是什么三角形?
并证明你的结论。
六、直角三角形斜边上中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例6:
在△ABC中,∠ACB=90°,D为边AB上的中点,如果CD=3cm,那么AB长为多少?
【典例展示】
题型一等腰(边)三角形性质的应用
例1:
如图,△ABC是等边三角形,D是边AB上一点,以CD为边作等边三角形CDE,使点E、A在直线DC的同侧,连接AE,求证:
AE∥BC
例2:
如图,在△ABC中,AB=AC,D是BA延长线上的一点,E是AC上一点,且AD=AE,DE的延长线叫BC于点F,求证:
DF⊥BC
题型二等腰三角形判定的应用
例3:
如图,点E、F在BC上,BE=CF,∠A=∠D,∠B=∠C,AF与DE交于点O,是判断△OEF的形状,并说明理由
题型三等腰(等边)三角形性质和判定的应用
例4:
如图,D为等腰直角三角形ABC内一点,∠CAD=∠CBD=15°,E为AD延长线上的一点,且CE=CA
(1)求证:
DE平分∠BDC
(2)若点M在DE上,且DC=DM,求:
ME=BD
题型四计算求值题
例5:
如图,在△ABC中,AB=AC,∠BAC=54°,∠BAC的平分线与AB的垂直平分线交于点O,将∠C沿EF(点E在BC上,点F在AC上)折叠,点C于点O恰好重合,则∠OEC的度数是多少?
例6:
如图,在△ABC中,,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,E为AC的中点,连接DE,求△CDE的周长.
题型五生活中的数学
例7:
如图,在三角测平架中,AB=AC,在BC的中点D处挂一个重锤自然下垂,调整架身,,使点A恰好在锤线上:
(1)求证:
AD⊥BC;
(2)这时BC处于水平位置,为什么?
题型六阅读理解题
例8:
在面是数学课上的一个学习片段,阅读后,请回答下面的问题
在学习了等腰三角形的有关内容后,张老师请同学们交流讨论这样一个问题:
“已知等腰三角形ABC的角A等于30°,请你求出其余两角”.
同学们经片刻的思考与交流后,李明同学举手讲:
“其余两角是30°和120°”;王华同学说:
“其余两角是75°和75°”.还有一些同学也提出了不同的看法….
(1)假如你也在课堂中,你的意见如何为什么?
(2)通过上面数学问题的讨论,你有什么感受?
(用一句话表示)
题型七操作说明题
例9:
(1)操作发现:
(1)如图①,D是等边三角形ABC上一动点(点D不与B重合),连接DC,以DC为边在BC上方作等边三角形DCF,连接AF.你能发现点短AF与BD之间的数量关系吗?
并证明你的结论.
(2)类比猜想:
如图②,当动点D运动至等边△ABC边BA的延长线上时,其他作法与
(1)相同,猜想AF与BD在
(1)中的结论是否仍然成立?
(3)深入探究:
Ⅰ.如图③,当动点D在等边△ABC边BA上运动时(点D与点B不重合)连接DC,以DC为边在BC上方、下方分别作等边△DCF和等边△DCF′,连接AF、BF′,探究AF、BF′与AB有何数量关系?
并证明你探究的结论.
Ⅱ.如图④,当动点D在等边△边BA的延长线上运动时,其他作法与图③相同,Ⅰ中的结论是否成立?
若不成立,是否有新的结论?
并证明你得出的结论.
题型八开放性问题
例10:
如图,再一次数学课上,王老师在黑板上画出图形,并写出下列四个等式:
①AB=DC;②BE=CE;,③∠B=∠C,④∠BAE=∠CDE.要求同学从这四个等式中选出两个作为条件,推出△AED是等腰三角形.请你试着完成王老师提出的要求,并说明理由.(写出一种即可)
【误区警示】
误点1不能正确识别图中的等腰三角形,导致错误
例1:
如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD、CE分别是△ABC、△BCD的角平分线,则图中的等腰三角形一共有()
A.5个B.4个C.3个D.2个
误点2不能正确把握等腰三角形的性质,导致出现错误
例2:
如图,AB=AC,BD=BC,若∠A=40°,则∠ABD的度数为()
A.20°B.30°C.35°D.40°
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- 苏科版 八年 级数 上册 轴对称 图形