等腰三角形最短路径问题教案横版.docx
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等腰三角形最短路径问题教案横版
等腰三角形,最短路径问题
适用学科
初中数学
适用年级
初中二年级
适用区域
全国新课标
课时时长(分钟)
60分钟
知识点
1.等腰三角形的性质
2.等腰三角形的判定
3.等边三角形的性质
4.等边三角形的判定
5.含30°角的直角三角形
6.最短路径问题(剪纸、轴对称——最短路线问题、翻折变换)
教学目标
1.了解等腰三角形和等边三角形的概念,并能判定等腰三角形和等边三角形;
2.正确理解等腰三角形和等边三角形的性质,能运用它们的性质解决相关的问题;
3.借助轴对称图形的性质,得出等腰三角形、等边三角形、有一个角是
的直角三角形的性质。
教学重点
等腰三角形的性质与判定;三角形中相等的角和相等的边的相互转化,利用轴对称作图找出最短路径。
教学难点
综合运用等腰三角形的性质以及有一个角是30°的直角三角形的性质解决问题,最短路径问题。
教学过程
一、复习预习
1、轴对称与轴对称图形:
轴对称图形是指“一个图形”;轴对称是指“两个图形”的位置关系。
2、轴对称与轴对称图形的性质:
轴对称图形(或关于某条直线对称的两个图形)的对应线段(对折后重合的线段)相等,对应角(对折后重合的角)相等。
3、线段的垂直平分线的性质:
经过线段中点并且垂直于这条线段的直线,叫做这条线段的垂直平分线,简称中垂线。
线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。
这是一个证明线段相等的办法。
到一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上。
4、画轴对称图形或成轴对称的两个图形的对称轴:
如果一个图形是轴对称图形或两个图形成轴对称,其对称轴就是任意一对对应点所连线段的垂直平分线。
因此,我们只要找到一对对应点,作出连接它们的线段的垂直平分线,就可以得到这两个图形的对称轴。
5、轴对称变换:
画一个图形关于某条直线对称的图形,只要分别作出这个图形上的关键点关于对称轴的对应点,再连接这些对应点,就可以得到原图形的轴对称图形。
6、用坐标表示轴对称:
在平面直角坐标系中,关于
轴对称的两个点的横坐标相同,纵坐标互为相反数;关于
轴对称的两个点的纵坐标相同,横坐标互为相反数。
如
关于
轴对称的点的坐标为
,关于
轴对称的点的坐标为
。
二、知识讲解
考点/易错点1
等腰三角形的性质:
1.等腰三角形的相关概念
(1)有两条边相等的三角形叫做等腰三角形;
(2)相等的两边叫腰,另一条边叫底边。
如AB、AC叫腰,BC叫底边;
(3)两腰所夹的角,如∠BAC叫做顶角,底边与腰的夹角,如∠ABC和∠ACB叫做底角;
(4)三条边都相等的三角形叫等边三角形。
2.等腰三角形的性质
(1)等腰三角形是轴对称图形;
(2)等腰三角形的两个底角相等(等边对等角)。
∵AB=AC,
∴∠B=∠C。
(3)等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合。
(三线合一)
∵AB=AC,∠1=∠2,
∴BD=CD,AD⊥BC。
3.等边三角形的性质
(1)等边三角形的三个内角都相等,并且每一个角都等于60°;
(2)在直角三角形中,如果有一个锐角等于30°,那么它所对的直角边等于斜边的一半。
4.获得等腰三角形的方法
(1)尺规作图:
作线段的垂直平分线,利用其性质;
(2)折叠方法。
考点/易错点2
1.等腰、等边三角形的性质是证明两个角相等的重要方法,它是把三角形中角的相等关系和边的相等关系相互转化的重要依据,所以在解决问题时要看清条件,打破依赖全等三角形的思维定势,结合具体问题,认真分析,寻找证明方法,选择简便的方法。
2.注意分类讨论思想和方程思想在解题时的运用,注意对结果进行检验看是否满足题意,不符合题意的答案要舍去。
3.证明两条线段相等的方法通常有等边对等角和三角形全等两种。
当两条线段在一个三角形内时,通常考虑等边对等角;当两条线段不在一个三角形内时,通常考虑证明这两条线段所在的三角形全等。
4.等边三角形是特殊的等腰三角形,它具备等腰三角形包括“三线合一”在内的所有性质,解题时要注意挖掘图形中的隐含条件。
考点/易错点3
等腰三角形的判定:
1.判定等腰三角形的方法有两个:
(1)定义法;
(2)如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)。
∵∠B=∠C,
∴AB=AC。
注意:
(1)要弄清判定定理的条件和结论,不要与性质定理混淆。
判定定理得到的结论为三角形是等腰三角形,性质定理得到的结论是两个底角相等。
(2)不能说“一个三角形两底角相等,那么两腰相等”,因为还未判定它是一个等腰三角形。
2.等边三角形的判定:
定义:
三边相等的三角形是等边三角形。
推论1:
三个角都相等的三角形是等边三角形。
推论2:
有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。
补充推论:
两个内角为60°的三角形是等边三角形。
总结:
证明三角形是等腰三角形的方法:
①等腰三角形定义;②等腰三角形判定定理。
证明三角形是等边三角形的方法:
①等边三角形定义;②推论1;③推论2;④补充推论。
考点/易错点4
最短路径问题:
1.考查知识点:
“两点之间线段最短”,“垂线段最短”,“点关于线对称”,“线段的平移”。
原型——“饮马问题”,“造桥选址问题”。
考得较多的还是“饮马问题”,出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。
2.解题思路——找点关于线的对称点,实现“折”转“直”。
近两年出现对“三折线”转“直”等变式问题的考查。
考点/易错点5
1.求最短路径问题,尤其是涉及到折线问题,一定要考虑点关于线的对称点,实现“折”转“直”。
2.涉及到过桥问题(存在固定长度的线段和角度),要考虑连接成平行四边形,利用平行四边形对边相等的性质转化线段,来实现“折”转“直”。
3.
问题
作法
在
上找一点P,使PA+PB最小。
连接AB,与
的交点即为点P。
在直线
上求点P,使AP+BP最小。
作A关于
的对称点
,连接
,与
的交点即为点P。
在直线
上分别求点M、N,使△PMN的周长最小。
分别作点P关于两直线的对称点
,连接
,与两直线交点即为M,N。
在直线
上分别求点M、N,使四边形PMNQ的周长最小。
分别作点P,Q关于直线
的对称点
,与两直线的交点即为M,N。
三、例题精析
【例题1】
【题干】
(1)若某个等腰三角形有一个外角为50°,则它的底角为__________。
(2)若等腰三角形的两条边长分别为4cm和8cm,则它的周长为()
A.12cmB.16cmC.20cmD.16cm或20cm
【答案】
(1)25
(2)C。
【解析】
(1)要考虑这个外角是顶角的外角还是底角的外角,当顶角的外角是50°时,则底角为
×50°=25°或顶角是180°-50°=130°,则底角是
×(180°-130°)=25°;若它是底角的外角,则底角为130°,但是两个底角的和为260°>180°,所以这种情况构不成三角形,舍去。
(2)根据三角形的三边关系可知当以4cm为腰时,不能组成三角形,所以只能以4cm为底边,8cm为腰,所以其周长为8+8+4=20cm。
【例题2】
【题干】已知:
如图所示,△ABC中,AB=AC,AD=DC=BC。
试求∠A的度数。
【答案】36°。
【解析】设∠A=x,
∵AD=DC,
∴∠DCA=∠A=x(等边对等角)。
∴∠BDC=∠A+∠DCA=2x(三角形一个外角等于和它不相邻的两内角之和)。
又∵DC=BC,
∴∠B=∠BDC=2x(等边对等角)。
∵AB=AC,
∴∠B=∠ACB=2x(等边对等角)。
∵∠A+∠B+∠ACB=180°(三角形内角和等于180°),
∴x+2x+2x=180°,
即x=36°,所以∠A=36°。
【例题3】
【题干】在等腰三角形ABC中,AB=AC,一腰上的中线BD将这个等腰三角形的周长分为15和9两个部分,求等腰三角形的腰长及底边长。
【答案】设△ABC中,AB=AC=2x,
∵BD是中线,
∴AD=CD=x,
∴AB+AD=3x,
由题意得:
3x=15或3x=9
解得x=5或x=3
当x=5时,AB=AC=10,BC=9-5=4,
当x=3时,AB=AC=6,BC=15-3=12,
∵第二种情况不能组成三角形,
∴等腰三角形的腰长是10,底边长是4。
【解析】题目没有给图,所以要简单画个图,可以设AB=AC=2x,这样就能得到AB+AD=3x,然后分类讨论这个3x(也就是AB+AD)等于15和等于9时两种情况,解出答案。
【例题4】
【题干】如图所示,上午9时,一条渔船从A出发,以12海里/时的速度向正北航行,11时到达B处,从A、B处望小岛C,测得∠NAC=15°,∠NBC=30°。
若小岛周围12.3海里内有暗礁,问该渔船继续向正北航行有无触礁危险?
【答案】作CD⊥BN于D。
AB=12×(11-9)=24(海里)。
∵∠NAC=15°,∠NBC=30°,
∴∠BCA=∠NBC-∠NAC=30°-15°=15°。
∴∠BCA=∠BAC,
∴BC=AB=24(海里)(等角对等边)。
在△CDB中,∠CDB=90°,∠DBC=30°,
∴CD=BC=12(海里)。
∵12<12.3,
∴该渔船继续向正北航行,有触礁危险。
【解析】作CD⊥BN于D,该渔船有无触礁危险,关键是看CD与12.3的大小关系,若CD>12.3,则无触礁危险;若CD≤12.3,则有触礁危险。
故解决本题的关键是计算CD。
【例题5】
【题干】(江苏徐州中考)如图,将矩形纸片ABCD按如下顺序进行折叠:
对折、展平,得折痕EF(如图①);沿GC折叠,使点B落在EF上的点
处(如图②);展平,得折痕GC(如图③);沿GH折叠,使点C落在DH上的点
处(如图④);沿
折叠(如图⑤);展平,得折痕
、GH(如图⑥)。
(1)求图②中∠BCB’的大小;
(2)图⑥中的△GCC’是正三角形吗?
请说明理由。
【答案】
(1)连接BB’,由折叠可知,EF是线段BC的对称轴,
∴BB'=B'C,又BC=B'C,
∴BB'=B'C=BC,
∴△B’BC是等边三角形,
∴∠BCB'=60°
(2)根据题意,GC平分∠BCB',
∴∠GCB=∠GCB'=
∠BCB'=30°,
∴∠GCC'=∠BCD-∠BCG=60°,
由折叠知,GH是线段CC'的对称轴,
∴GC'=GC
∴△GCC'是等边三角形(有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形)。
【解析】第
(1)小问,虽然翻折的是△BCG,但是若能发现FB’是△BB’C的垂直平分线,这道题就能很简单地做出来了,连接
,证明BB'=B'C=BC,即可得出△
BC是等边三角形,所以∠BCB'=60°。
第
(2)小问,利用第
(1)问结论求出∠GCB=∠GCB'=
∠BCB'=30°,得出∠GCC'=∠BCD-∠BCG=60°,然后继续利用垂直平分线性质,证出GC'=GC,最终证明出△GCC'是等边三角形。
【例题6】
【题干】如图,正方形ABCD,AB边上有一点E,AE=3,EB=1,在AC上有一点P,使EP+BP为最短。
画出EP+BP是最短距离时P的位置。
【答案】如图,连接ED交AC于点P,则点P为所求作的点。
【解析】根据正方形沿对角线的对称性,可得无论P在什么位置,都有PD=PB;故均有EP+BP=PE+PD成立;所以原题可以转化为求PE+PD的最小值问题,分析易得连接DE,其与AC的交点就是要求的点的位置。
【例题7】
【题干】如图,某城市护城河在CC′处直角转弯,从A处到达B处,须经两座桥:
DD′,EE′(桥宽不计),设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的,恰当地架桥可使ADD′E′EB的路程最短,求此情况下的架桥方案?
【答案】作AF⊥CD,且AF=河宽,作BG⊥CE,且BG=河宽,连接GF,与河岸相交于E′、D′。
作DD′、EE′即为桥。
证明:
由作图法可知,AF∥DD′,AF=DD′,则四边形AFD′D为平行四边形,于是AD=FD′,同理,BE=GE′,由两点之间线段最短可知,GF最小;当桥建于如图所示位置时,即点F、D’、E’、G在同一条直线上时,ADD′E′EB最短。
【解析】分别作出点A、B、C关于对称轴的对称点,然后连接这些对称点就可以得到轴对称变换后的图形。
【例题8】
【题干】某中学八
(1)班举行文艺联欢会,桌子摆成两直条(如图中的AO,BO),AO桌面上摆满了水果,OB桌面上摆满了糖果,站在C处的学生小明先拿水果再拿糖果,然后到D处座位上,请你帮助他设计一条行走路线,使其所走的总路程最短?
【答案】如图所示,以AO为对称轴作点C的对称点C’,以OB为对称轴作点D的对称点D’,连接C’D’,分别交OA,OB于点E,F,则线路CEFD为最短路径。
【解析】由于图形是在直角坐标系中,且坐标比较特殊,所以很容易得
,
边上的高为3。
根据关于
轴对称的点的坐标的特点,很容易求出
三个点的坐标,以点带面,即可作出
。
【例题9】
【题干】如图,
是两条公路,在两条公路夹角的内部有一油库
,现想在两公路上分别建一个加油站,为使运油的油罐车从油库出发先到一加油站,再到另一加油站,最后回到油库的路程最短,问加油站应如何选址?
【答案】
(1)作点A关于
对称的点M、N;
(2)连接M、N,与
分别交于P、Q;点P、Q就是所求的加油站的位置。
【解析】要使油库和加油站组成的三角形的周长最小,可根据两点之间线段最短,只需令三角形的三边之和等于某两点之间的距离,因此考虑作点A关于
对称的点。
四、课堂运用
【基础】
1.(2013•十堰)如图,点D,E在△ABC的边BC上,AB=AC,BD=CE.求证:
AD=AE.
【答案】证明:
∵AB=AC,
∴∠B=∠C,
在△ABD与△ACE中,
∵AB=AC,∠B=∠C,BD=EC
∴△ABD≌△ACE(SAS),
∴AD=AE.
【解析】利用等腰三角形的性质得到∠B=∠C,然后证明△ABD≌△ACE即可证得结论.
2.(2014•无锡)如图,已知:
△ABC中,AB=AC,M是BC的中点,D、E分别是AB、AC边上的点,且BD=CE.求证:
MD=ME.
【答案】证明:
△ABC中,
∵AB=AC,
∴∠DBM=∠ECM,
∵M是BC的中点,
∴BM=CM,
在△BDM和△CEM中,
BD=CE,∠DBM=∠ECM,BM=CM
∴△BDM≌△CEM(SAS),
∴MD=ME.
【解析】根据等腰三角形的性质可证∠DBM=∠ECM,可证△BDM≌△CEM,可得MD=ME,即可解题.
3.(2001•济南)已知等腰△ABC的底边BC=8cm,|AC-BC|=2cm,则腰AC的长为_________.
【答案】解:
∵|AC-BC|=2cm,
∴AC-BC=±2,
而BC=8cm,
∴AC=10cm或6cm.
【解析】已知等腰△ABC的底边BC=8cm,|AC-BC|=2cm,根据三边关系定理可得,腰AC的长为10cm或6cm.
4.(2006•河北)已知:
如图,在△ABC中,AB=AC,点D,E在边BC上,且BD=CE.
求证:
AD=AE.
【答案】证明:
过点A作AF⊥BC于点F,
∵AB=AC,
∴BF=CF,
∵BD=CE,
∴DF=EF,
∴AD=AE.
【解析】本题可通过全等三角形来证简单的线段相等.在△ABD和△ACE中,已知了AB=AC,BD=EC且∠B=∠C,由此可证得两三角形全等,即可得出AD=AE的结论.
5、如图,牧童在A处放牛,其家在B处,A、B到河岸的距离分别为AC和BD,且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米,则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家,最短距离是________米.
【答案】解:
作出A的对称点A′,连接A′B与CD相交于M,则牧童从A处把牛牵到河边饮水再回家,最短距离是A′B的长.
易得△A′CM≌△BDM,
AC=BD,所以A′C=BD,则
,
所以CM=DM,M为CD的中点,
由于A到河岸CD的中点的距离为500米,
所以A′到M的距离为500米,
A′B=1000米.
故最短距离是1000米.
【解析】根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”,连接A′B,得到最短距离为A′B,再根据相似三角形的性质和A到河岸CD的中点的距离为500米,即可求出A'B的值.
【巩固】
1.如图,已知△ABC是等边三角形,点B、C,D、E在同一直线上,且CG=CD,DF=DE,则∠E=
【答案】解:
如右图所示,
∵△ABC是等边三角形,
∴∠B=∠1=60°,
∵CD=CG,
∴∠CGD=∠2,
∴∠1=2∠2,
同理有∠2=2∠E,
∴4∠E=60°,
∴∠E=15°.
【解析】由于△ABC是等边三角形,那么∠B=∠1=60°,而CD=CG,那么∠CGD=∠2,而∠1是△CDG的外角,可得∠1=2∠2,同理有∠2=2∠E,等量代换有4∠E=60°,解即可求∠E.
2.如图,已知△ABC中,AB=AC,∠B=2∠A,DE垂直平分AC交AB于点D,交AC于点E.求证:
AD=BC.
【答案】解:
∵△ABC中,AB=AC,∠B=2∠A,
∴∠ACB=∠B=2∠A,
∴5∠A=180°,解得∠A=36°,
∴∠B=72°,
∵DE是线段AC的垂直平分线,
∴AD=CD,
∴∠A=∠ACD=36°,
∴∠CDB=∠A+∠ACD=72°,
∴∠CDB=∠B,
∴CD=BC,
∴AD=BC.
【解析】先根据△ABC中,AB=AC,∠B=2∠A求出∠A的度数,进而得出∠ACB与∠B的度数,再根据线段垂直平分线的性质得出AD=CD,故可得出∠A=∠ACD,再根据三角形外角的性质即可求出∠CDB的度数,进而得出结论.
3.如图,△ABC中,AB=AC=4cm,∠ABC=15°,BD⊥AC于点D,则BD=_________cm.
【答案】解:
∵△ABC中,AB=AC=4cm,∠ABC=15°,BD⊥AC于点D,
∴∠C=∠ABC=15°,
∴∠BAD=∠C+∠ABC=30°,
∴BD=
AB=2cm.
故答案为:
2.
【解析】由已知条件可求出∠BAD=30°,根据含30度角的直角三角形的性质即可求解.
4.如图,∠XOY内有一点P,在射线OX上找出一点M,在射线OY上找出一点N,使PM+MN+NP最短。
【答案】解:
如图所示:
分别以直线OX、OY为对称轴,作点P的对应点P1与P2,连接P1P2交OX于M,交OY于N,则PM+MN+NP最短.
【解析】分别以直线OX、OY为对称轴,作点P的对应点P1与P2,连接P1P2交OX于M,交OY于N,则PM+MN+NP最短.
5.如图,A为马厩,B为帐篷,牧马人某天要从马厩牵出马,先到草地边的某一处牧马,再到河边饮水,然后回到帐篷,请你帮他确定这一天的最短路线.作出图形并说明理由.
【答案】解:
沿AC-CD-DB路线走是最短的路线如图
(1)所示:
证明:
在ON上任意取一点T,在OM上任意取一点R,连接FR、BR、RT、ET、AT,
∵A、E关于ON对称,
∴AC=EC,
同理BD=FD,FR=BR,AT=ET,
∴AC+CD+DB=EC+CD+FD=EF,
AT+TR+BR=ET+TR+FR,
∵ET+TR+FR>EF,
∴AC+CD+DB<AT+TR+BR,
即沿AC-CD-DB路线走是最短的路线.
【解析】作A关于ON的对称点E,B关于OM的对称点F,连接EF交ON于C,交OM于D,连接AC、BD,即可得出答案;根据对称点推出AC=EC,BD=FD,FR=BR,AT=ET,根据两点之间线段最短即可求出答案.
【拔高】
1.(2014•沂源县一模)如图,C为线段AE上一动点(不与点A,E重合),在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O,AD与BC交于点P,BE与CD交于点Q,连结PQ.以下五个结论:
①AD=BE;②PQ∥AE;③AP=BQ;④DE=DP;⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有( )
【答案】解:
①∵等边△ABC和等边△DCE,
∴BC=AC,DE=DC=CE,∠DEC=∠BCA=∠DCE=60°,
∴∠ACD=∠BCE,
在△ACD和△BCE中,
AC=BC,∠ACD=∠BCE,DC=CE,
∴△ACD≌△BCE(SAS),
∴AD=BE;
故①正确;
②∵△ACP≌△BCQ,
∴PC=QC,
∴△PCQ是等边三角形,
∴∠CPQ=60°,
∴∠ACB=∠CPQ,
∴PQ∥AE;
故②正确;
③∵△ACD≌△BCE(已证),
∴∠CAD=∠CBE,
∵∠ACB=∠ECD=60°(已证),
∴∠BCQ=180°-60°×2=60°,
∴∠ACB=∠BCQ=60°,
在△ACP与△BCQ中,
∠CAD=∠CBE,AC=BC,∠ACB=∠BCQ=60°,
∴△ACP≌△BCQ(ASA),
∴AP=BQ;
故③正确;
④∵AD=BE,AP=BQ,
∴AD-AP=BE-BQ,
即DP=QE,
∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ,∠CDE=60°,
∴∠DQE≠∠CDE;
故④错误;
⑤∵∠ACB=∠DCE=60°,
∴∠BCD=60°,
∵等边△DCE,
∠EDC=60°=∠BCD,
∴BC∥DE,
∴∠CBE=∠DEO,
∴∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°.
故⑤正确;
综上所述,正确的结论有:
①②③⑤.
故答案是:
①②③⑤.
【解析】①由于△ABC和△CDE是等边三角形,可知AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=60°,从而证出△ACD≌△BCE,可推知AD=BE;
③由△ACD≌△BCE得∠CBE=∠DAC,加之∠ACB=∠DCE=60°,AC=BC,得到△ACP≌△BCQ(ASA),所以AP=BQ;故③正确;
②根据②△CQB≌△CPA(ASA),再根据∠PCQ=60°推出△PCQ为等边三角形,又由∠PQC=∠DCE,根据内错角相等,两直线平行,可知②正确;
④根据∠DQE=∠ECQ+∠CEQ=60°+∠CEQ,∠CDE=60°,可知∠DQE≠∠CDE,可知④错误;
⑤利用等边三角形的性质,BC∥DE,再根据平行线的性质得到∠CBE=∠DEO,于是∠AOB=∠DAC+∠BEC=∠BEC+∠DEO=∠DEC=60°,可知⑤正确.
2.如图在△ABC中,AB=AC,∠BAC=120°,EF为AB的垂直平分线,EF交BC于F,交AB于E.求证:
BF=
FC
【答案】证明:
连接AF,
∵AB=AC,∠BAC=120°,
∴∠B=∠C=30°,
∵EF为AB的垂直平分线,
∴BF=AF,
∴∠BAF=∠B=30°,
∴∠FAC=120°-3
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- 等腰三角形 路径 问题 教案