第6章--经典MATLAB数据分析与多项式计算.ppt
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MATLAB数据分析与多项式计算1数据统计处理2数据插值3曲线拟合4离散傅立叶变换5多项式计算,6.1数据统计处理6.1.1最大值和最小值MATLAB提供的求数据序列的最大值和最小值的函数分别为max和min,两个函数的调用格式和操作过程类似。
1求向量的最大值和最小值求一个向量X的最大值的函数有两种调用格式,分别是:
(1)y=max(X):
返回向量X的最大值存入y,如果X中包含复数元素,则按模取最大值。
(2)y,I=max(X):
返回向量X的最大值存入y,最大值的序号存入I,如果X中包含复数元素,则按模取最大值。
求向量X的最小值的函数是min(X),用法和max(X)完全相同。
例6-1求向量x的最大值。
命令如下:
x=-43,72,9,16,23,47;y=max(x)%求向量x中的最大值y,l=max(x)%求向量x中的最大值及其该元素的位置,2求矩阵的最大值和最小值求矩阵A的最大值的函数有3种调用格式,分别是:
(1)max(A):
返回一个行向量,向量的第i个元素是矩阵A的第i列上的最大值。
(2)Y,U=max(A):
返回行向量Y和U,Y向量记录A的每列的最大值,U向量记录每列最大值的行号。
(3)max(A,dim):
dim取1或2。
dim取1时,该函数和max(A)完全相同;dim取2时,该函数返回一个列向量,其第i个元素是A矩阵的第i行上的最大值。
求最小值的函数是min,其用法和max完全相同。
例6-2分别求34矩阵x中各列和各行元素中的最大值,并求整个矩阵的最大值和最小值。
3两个向量或矩阵对应元素的比较函数max和min还能对两个同型的向量或矩阵进行比较,调用格式为:
(1)U=max(A,B):
A,B是两个同型的向量或矩阵,结果U是与A,B同型的向量或矩阵,U的每个元素等于A,B对应元素的较大者。
(2)U=max(A,n):
n是一个标量,结果U是与A同型的向量或矩阵,U的每个元素等于A对应元素和n中的较大者。
min函数的用法和max完全相同。
例6-3求两个23矩阵x,y所有同一位置上的较大元素构成的新矩阵p。
6.1.2求和与求积数据序列求和与求积的函数是sum和prod,其使用方法类似。
设X是一个向量,A是一个矩阵,函数的调用格式为:
sum(X):
返回向量X各元素的和。
prod(X):
返回向量X各元素的乘积。
sum(A):
返回一个行向量,其第i个元素是A的第i列的元素和。
prod(A):
返回一个行向量,其第i个元素是A的第i列的元素乘积。
sum(A,dim):
当dim为1时,该函数等同于sum(A);当dim为2时,返回一个列向量,其第i个元素是A的第i行的各元素之和。
prod(A,dim):
当dim为1时,该函数等同于prod(A);当dim为2时,返回一个列向量,其第i个元素是A的第i行的各元素乘积。
例6-4求矩阵A的每行元素的乘积和全部元素的乘积。
6.1.3平均值和中值求数据序列算术平均值的函数是mean,求数据序列中值的函数是median。
两个函数的调用格式为:
mean(X):
返回向量X的算术平均值。
median(X):
返回向量X的中值。
mean(A):
返回一个行向量,其第i个元素是A的第i列的算术平均值。
median(A):
返回一个行向量,其第i个元素是A的第i列的中值。
mean(A,dim):
当dim为1时,该函数等同于mean(A);当dim为2时,返回一个列向量,其第i个元素是A的第i行的算术平均值。
median(A,dim):
当dim为1时,该函数等同于median(A);当dim为2时,返回一个列向量,其第i个元素是A的第i行的中值。
例6-5分别求向量x与y的平均值和中值。
6.1.4累加和与累乘积在MATLAB中,使用cumsum和cumprod函数能方便地求得向量和矩阵元素的累加和与累乘积向量,函数的调用格式为:
cumsum(X):
返回向量X累加和向量。
cumprod(X):
返回向量X累乘积向量。
cumsum(A):
返回一个矩阵,其第i列是A的第i列的累加和向量。
cumprod(A):
返回一个矩阵,其第i列是A的第i列的累乘积向量。
cumsum(A,dim):
当dim为1时,该函数等同于cumsum(A);当dim为2时,返回一个矩阵,其第i行是A的第i行的累加和向量。
cumprod(A,dim):
当dim为1时,该函数等同于cumprod(A);当dim为2时,返回一个向量,其第i行是A的第i行的累乘积向量。
例6-6求s的值。
6.1.5标准方差与相关系数1求标准方差在MATLAB中,提供了计算数据序列的标准方差的函数std。
对于向量X,std(X)返回一个标准方差。
对于矩阵A,std(A)返回一个行向量,它的各个元素便是矩阵A各列或各行的标准方差。
std函数的一般调用格式为:
Y=std(A,flag,dim)其中dim取1或2。
当dim=1时,求各列元素的标准方差;当dim=2时,则求各行元素的标准方差。
flag取0或1,当flag=0时,按1所列公式计算标准方差,当flag=1时,按2所列公式计算标准方差。
区别:
1就是最后除以n,而不是n1。
缺省flag=0,dim=1。
例6-7对二维矩阵x,从不同维方向求出其标准方差。
2相关系数MATLAB提供了corrcoef函数,可以求出数据的相关系数矩阵。
corrcoef函数的调用格式为:
corrcoef(X):
返回从矩阵X形成的一个相关系数矩阵。
此相关系数矩阵的大小与矩阵X一样。
它把矩阵X的每列作为一个变量,然后求它们的相关系数。
corrcoef(X,Y):
在这里,X,Y是向量,它们与corrcoef(X,Y)的作用一样。
例6-8生成满足正态分布的100005随机矩阵,然后求各列元素的均值和标准方差,再求这5列随机数据的相关系数矩阵。
命令如下:
X=randn(10000,5);M=mean(X)D=std(X)R=corrcoef(X),6.1.6排序MATLAB中对向量X是排序函数是sort(X),函数返回一个对X中的元素按升序排列的新向量。
sort函数也可以对矩阵A的各列或各行重新排序,其调用格式为:
Y,I=sort(A,dim)其中dim指明对A的列还是行进行排序。
若dim=1,则按列排;若dim=2,则按行排。
Y是排序后的矩阵,而I记录Y中的元素在A中位置。
例6-9对二维矩阵做各种排序。
6.2数据插值6.2.1一维数据插值在MATLAB中,实现这些插值的函数是interp1,其调用格式为:
Y1=interp1(X,Y,X1,method)函数根据X,Y的值,计算函数在X1处的值。
X,Y是两个等长的已知向量,分别描述采样点和样本值,X1是一个向量或标量,描述欲插值的点,Y1是一个与X1等长的插值结果。
method是插值方法,允许的取值有linear、nearest、cubic、spline。
method是最邻近插值,linear线性插值;spline三次样条插值;cubic立方插值缺省时表示线性插值注意:
所有的插值方法都要求x是单调的,并且xi不能够超过x的范围。
注意:
X1的取值范围不能超出X的给定范围,否则,会给出“NaN”错误。
例6-10用不同的插值方法计算在/2点的值。
MATLAB中有一个专门的3次样条插值函数Y1=spline(X,Y,X1),其功能及使用方法与函数Y1=interp1(X,Y,X1,spline)完全相同。
例6-11某观测站测得某日6:
00时至18:
00时之间每隔2小时的室内外温度(),用3次样条插值分别求得该日室内外6:
30至17:
30时之间每隔2小时各点的近似温度()。
设时间变量h为一行向量,温度变量t为一个两列矩阵,其中第一列存放室内温度,第二列储存室外温度。
命令如下:
h=6:
2:
18;t=18,20,22,25,30,28,24;15,19,24,28,34,32,30;XI=6.5:
2:
17.5YI=interp1(h,t,XI,spline)%用3次样条插值计算,6.2.2二维数据插值在MATLAB中,提供了解决二维插值问题的函数interp2,其调用格式为:
Z1=interp2(X,Y,Z,X1,Y1,method)其中X,Y是两个向量,分别描述两个参数的采样点,Z是与参数采样点对应的函数值,X1,Y1是两个向量或标量,描述欲插值的点。
Z1是根据相应的插值方法得到的插值结果。
method的取值与一维插值函数相同。
X,Y,Z也可以是矩阵形式。
同样,X1,Y1的取值范围不能超出X,Y的给定范围,否则,会给出“NaN”错误。
例6-12设z=x2+y2,对z函数在0,10,2区域内进行插值。
例6-13某实验对一根长10米的钢轨进行热源的温度传播测试。
用x表示测量点0:
2.5:
10(米),用h表示测量时间0:
30:
60(秒),用T表示测试所得各点的温度()。
试用线性插值求出在一分钟内每隔20秒、钢轨每隔1米处的温度TI。
命令如下:
x=0:
2.5:
10;h=0:
30:
60;T=95,14,0,0,0;88,48,32,12,6;67,64,54,48,41;xi=0:
10;hi=0:
20:
60;TI=interp2(x,h,T,xi,hi),6.3曲线拟合在MATLAB中,用polyfit函数来求得最小二乘拟合多项式的系数,再用polyval函数按所得的多项式计算所给出的点上的函数近似值。
polyfit函数的调用格式为:
P,S=polyfit(X,Y,m)函数根据采样点X和采样点函数值Y,产生一个m次多项式P及其在采样点的误差向量S。
其中X,Y是两个等长的向量,P是一个长度为m+1的向量,P的元素为多项式系数。
polyval函数的功能是按多项式的系数计算x点多项式的值,将在6.5.3节中详细介绍。
例6-14已知数据表t,y,试求2次拟合多项式p(t),然后求ti=1,1.5,2,2.5,9.5,10各点的函数近似值。
6.4离散傅立叶变换6.4.1离散傅立叶变换算法简要6.4.2离散傅立叶变换的实现一维离散傅立叶变换函数,其调用格式与功能为:
(1)fft(X):
返回向量X的离散傅立叶变换。
设X的长度(即元素个数)为N,若N为2的幂次,则为以2为基数的快速傅立叶变换,否则为运算速度很慢的非2幂次的算法。
对于矩阵X,fft(X)应用于矩阵的每一列。
(2)fft(X,N):
计算N点离散傅立叶变换。
它限定向量的长度为N,若X的长度小于N,则不足部分补上零;若大于N,则删去超出N的那些元素。
对于矩阵X,它同样应用于矩阵的每一列,只是限定了向量的长度为N。
(3)fft(X,dim)或fft(X,N,dim):
这是对于矩阵而言的函数调用格式,前者的功能与FFT(X)基本相同,而后者则与FFT(X,N)基本相同。
只是当参数dim=1时,该函数作用于X的每一列;当dim=2时,则作用于X的每一行。
值得一提的是,当已知给出的样本数N0不是2的幂次时,可以取一个N使它大于N0且是2的幂次,然后利用函数格式fft(X,N)或fft(X,N,dim)便可进行快速傅立叶变换。
这样,计算速度将大大加快。
相应地,一维离散傅立叶逆变换函数是ifft。
ifft(F)返回F的一维离散傅立叶逆变换;ifft(F,N)为N点逆变换;ifft(F,dim)或ifft(F,N,dim)则由N或dim确定逆变换的点数或操作方向。
例6-15给定数学函数x(t)=12sin(210t+/4)+5cos(240t)取N=128,试对t从01秒采样,用fft作快速傅立叶变换,绘制相应的振幅-频率图。
在01秒时间范围内采样128点,从而可以确定采样周期和采样频率。
由于离散傅立叶变换时的下标应是从0到N-1,故在实际应用时下标应该前移1。
又考虑到对离散傅立叶变换来说,其振幅|F(k)|是关于N/2对称的,故只须使k从0到N/2即可。
程序如下:
N=128;%采样点数T=1;%采样时间终点t=linspace(0,T,N);%给出N个采样时间ti(I=1:
N)x=12*sin(2*pi*10*t+pi/4)+5*cos(2*pi*40*t);%求各采样点样本值xdt=t
(2)-t
(1);%采样周期f=1/dt;%采样频率(Hz)X=fft(x);%计算x的快速傅立叶变换XF=X(1:
N/2+1);%F(k)=X(k)(k=1:
N/2+1)f=f*(0:
N/2)/N;%使频率轴f从零开始plot(f,abs(F),-*)%绘制振幅-频率图xlabel(Frequency);ylabel(|F(k)|),6.5多项式计算6.5.1多项式的四则运算1多项式的加减运算2多项式乘法运算函数conv(P1,P2)用于求多项式P1和P2的乘积。
这里,P1、P2是两个多项式系数向量。
例6-16求多项式x4+8x3-10与多项式2x2-x+3的乘积。
3多项式除法函数Q,r=deconv(P1,P2)用于对多项式P1和P2作除法运算。
其中Q返回多项式P1除以P2的商式,r返回P1除以P2的余式。
这里,Q和r仍是多项式系数向量。
deconv是conv的逆函数,即有P1=conv(P2,Q)+r。
例6-17求多项式x4+8x3-10除以多项式2x2-x+3的结果。
6.5.2多项式的导函数对多项式求导数的函数是:
p=polyder(P):
求多项式P的导函数p=polyder(P,Q):
求PQ的导函数p,q=polyder(P,Q):
求P/Q的导函数,导函数的分子存入p,分母存入q。
上述函数中,参数P,Q是多项式的向量表示,结果p,q也是多项式的向量表示。
例6-18求有理分式的导数。
命令如下:
P=1;Q=1,0,5;p,q=polyder(P,Q),6.5.3多项式的求值MATLAB提供了两种求多项式值的函数:
polyval与polyvalm,它们的输入参数均为多项式系数向量P和自变量x。
两者的区别在于前者是代数多项式求值,而后者是矩阵多项式求值。
1代数多项式求值polyval函数用来求代数多项式的值,其调用格式为:
Y=polyval(P,x)若x为一数值,则求多项式在该点的值;若x为向量或矩阵,则对向量或矩阵中的每个元素求其多项式的值。
例6-19已知多项式x4+8x3-10,分别取x=1.2和一个23矩阵为自变量计算该多项式的值。
2矩阵多项式求值polyvalm函数用来求矩阵多项式的值,其调用格式与polyval相同,但含义不同。
polyvalm函数要求x为方阵,它以方阵为自变量求多项式的值。
设A为方阵,P代表多项式x3-5x2+8,那么polyvalm(P,A)的含义是:
A*A*A-5*A*A+8*eye(size(A)而polyval(P,A)的含义是:
A.*A.*A-5*A.*A+8*ones(size(A)例6-20仍以多项式x4+8x3-10为例,取一个22矩阵为自变量分别用polyval和polyvalm计算该多项式的值。
6.5.4多项式求根n次多项式具有n个根,当然这些根可能是实根,也可能含有若干对共轭复根。
MATLAB提供的roots函数用于求多项式的全部根,其调用格式为:
x=roots(P)其中P为多项式的系数向量,求得的根赋给向量x,即x
(1),x
(2),x(n)分别代表多项式的n个根。
例6-21求多项式x4+8x3-10的根。
命令如下:
A=1,8,0,0,-10;x=roots(A)若已知多项式的全部根,则可以用poly函数建立起该多项式,其调用格式为:
P=poly(x)若x为具有n个元素的向量,则poly(x)建立以x为其根的多项式,且将该多项式的系数赋给向量P。
例6-22已知f(x)
(1)计算f(x)=0的全部根。
(2)由方程f(x)=0的根构造一个多项式g(x),并与f(x)进行对比。
命令如下:
P=3,0,4,-5,-7.2,5;X=roots(P)%求方程f(x)=0的根G=poly(X)%求多项式g(x),
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