浅谈数形结合思想在数学教学中的应用.docx
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浅谈数形结合思想在数学教学中的应用
浅谈数形结合思想在数学教学中的应用
摘要:
数形结合思想即借助数的精确性阐明图形的某种属性。
利用图形的直观性阐明数与数之间的关系,这是沟通数形之间的联系、并通过这种联系产生感知或认知、形成数学概念或寻找解决数学问题途径的思维方式。
介绍了数形结合思想在中学数学教学中的主要应用:
1.在数的计算中的应用。
2.在解方程中的应用。
3.利用数形结合思想解不等式。
4.利用数形结合思想求最值。
5.利用数形结合思想求值域。
6.利用数形结合确定参数取值范围。
7.在几何证明中的应用。
8.在解决复数中的应用。
9.在逻辑推理中的应用
关键词:
数形数形结合
前言
形和数这两个基本概念,是数学的两块基石,在数学教学中,全部教学大体上都围绕着这两个概念的提炼、演变、发展而展开的,在数学教学发展的过程中,形和数常结合在一起,在内容上互相联系,在方法上互相渗透,在一定条件下互相转化。
本来,在现实世界中,形与数是不可分离地结合在一起的,这是直观与抽象的结合,感知与思维相结合的体现。
形与数相结合不仅是数学自身发展的需要,也是加深对数学知识理解、发展智力、培养能力的需要。
一.数形结合思想及其特征
数形结合思想即借助数的精确性阐明图形的某种属性。
利用图形的直观性阐明数与数之间的关系,这是沟通数形之间的联系、并通过这种联系产生感知或认知、形成数学概念或寻找解决数学问题途径的思维方式。
数形结合是解决数学问题的一个有力工具,也是中学数学中极为重要的基本方法之一,通过数形结合可将抽象的数学语言与直观图形相结合,使抽象思维与形象思维相结合,缩短了思维链,简化了思维过程。
数形结合中的数应广义地理解为解析式、函数、复数等;其中的形,可以是点集空间图形,进而使数形结合的思想方法焕发生机和活力,使应用的范围不断拓宽和深化。
因此,由此可见,数形结合对发展学生由抽象到直观,再由直观到抽象的思维是多么重要。
二.中学数学教学中的数形结合及所涉及的两个方而的问题
在数学教学和学习中没有任何东西比几何图形更能直观的让我们很好的去理解。
实际上,从平常看到的读物到数学教材都体现数与形的渗透。
特别是现在中学课本各章开头都有一幅插图,例题、习题多辅以图形,而所有这些图形都体现本章,本题的主要知识和方法。
在数学教学中,我们应充分利用这些图形,结合实际例子,更好的引入概念,进行知识讲解。
在知识讲解的过程中,尽量创设数形结合气氛,使学生能够看到实物,想到实物的形象和特征,这样学生学起来就非常感兴趣,而且记得还很牢固。
因此,我们在教学过程中应把握这一特征,在讲解知识方法时,充分揭示数形结合思想,使学生置身于具体直观的环境中,经历直观图形、形象概括、本质抽象的过程,充分享受数形结合的好处,既深化了对数学问题认识,又掌握了新知识,也加深了对数学学习的兴趣。
数形结合涉及两个方而的问题:
一是如何将图形性质转化成数量关系的问题;一是如何将数量关系的问题转化成图形性质或利用图形性质的问题。
前者比较明显,中学数学教材中配述大量范例,但后者涉及不多。
笔者就如何将数量关系的问题转化成图形性质或利用图形性质的问题做些探讨总结。
三.数行结合思想在中学数学教学中的主要应用
1.数形结合在数的计算中的应用AD
例.计算:
19971996×19961997-19971997×19961996EHG
分析:
构造如图所示的矩形ABCD和EFCG,由图可1996199619961997
知,该问题即是求矩形ABCD和EFCG的面积之差。
FB←19971996→C
故原式=矩形ABCD的面积-矩形EFCG的面积←19971997→
=矩形AHGD的面积-矩形EFBH的面积
=19971996×1-19961996×1=10000.
2.数形结合在解方程中的应用
例1已知关于x,y的两个二元一次方程组mx+2ny=19①和5x-2y=1③
3x+2y=5②2mx+ny=18-n④
有相同的解,求m,n的值。
分析:
如果利用加减消元的方法直接去做,过程十分复杂,而且还容易出错,这时应如何用正确的思维方法去引导学生进行思考呢?
首先,我们可以这样想,两个二元一次组有相同的解,即x,y的值同时满足方程①、②和③、④,那么x,y的值也满足②、③,由②、③组成新方程组的解也是x,y的值,这样我们就把②、③组成方程组,可以解得x,y的值。
然后再由①、④组成新的方程组,带入x,y的值,就可得到关于m,n的方程,解出m,n即可得。
解:
由3x+2y=5②得x=1
5x-2y=1③y=2
由mx+2ny=19①得m+4n=19解得m=3
2mx+ny=18-n④2m+2n=18-nn=4
y
这样做学生明白,但是从本质思想上还是不能理解,3X+2Y=5
这时如果用数形结合思想帮助理解,会起到很好的作用。
Mx+2ny=19
四个方程相当于四条直线,四条直线相交于一点,
这一点即为方程组的解。
(如图)5x-2y=1o2mx+ny=18-nx
注:
这样只能从图形上直观形象的说明,得出其
解的大致范围,而不能得出具体的值。
例2方程sin2x=sinx在区间(0,2π)解的个数()y
(A)1(B)2(C)3(D)4g
分析:
解方程f(x)=g(x)的问题归结为两个函数y=f(x)ofx
与y=g(x)的交点横坐标,特别是求方程近似解时此方法非常有效。
解:
如图在同一坐标系内,作出y=sin2x,x∈(0,2π);g=sinx,x∈(0,2π)的图有三个交点,故方程sin2x=sinx在(0,2π)内有三个解。
3.利用数形结合思想解不等式
例1.解不等式>x+1
分析:
设函数y=,g=x+1,在同一坐标下作出两-52
个函数图象,(如图)依题意得,y>g,则就可得不等式的解集gy
为:
{x|-2.5<x<2}。
注:
本题若按常规的代数解法需要讨论,比较烦琐且易产生遗漏现象,我们这样构造两个函数并利用图象分析,得出答案非常直观简洁。
例2.已知:
a,b,c为正实数。
求证:
(a+b+c)<++<2(a+b+c)。
分析:
由欲证不等式中的联想到勾股定理,DabcC
把看作边长分别为a,b的矩形的对角线,因此,我们c
可以构造如图所示的图形。
以a+b+c为边构成正方形ABCD,b
则AC=(a+b+c),AE=,EF=,FC=,AB
而AC<AE+EF+FC<AD+CD
所以有(a+b+c)<++<2(a+b+c)。
注:
观察、联想是构造图行,创新解题的关键。
4.利用数形结合思想求最值
例1.求+的最小值B
分析:
如图所示.构造直角三角形△PAC,△PBD,使AC=1,BD=2,A
PC=x,CD=4,且PC,PD在直线L上,取点A关于C的对称点A′,连CPDL
BA′,PA′,并作A′E⊥BD交BD延长线与E,显然有:
所求式=PA′A′E
+PB≥BA′===5,故所求最小值为5。
例2.求函数+的最大值。
分析:
观察原题两根号内的数相差为1,即,由此形态联想到等轴双曲线,可设U=,V=,则=1(U≥1,V≥0),而原式可化为V=3U+Y它表示斜率为3,在V轴上截距为y的直线,从而将xoy平面V
内不易解决的问题转化到uov平面上。
当直线v=3u+y与oU
双曲线相切时,可求得y=-2,从图形上看直线与双曲
线有公共交点时y≤-2,所以y的最小值为-2。
5.利用数形结合思想求值域
例.求函数y=2x+的值域。
y
分析:
如图令u=≥0,函数u的图象是以原点为yH
圆心,以为半径的上半圆,函数y=2x+u,即u=-2x+y表示x
斜率为-2截距为y的直线,要求y的值域转化为求过圆上的
点H且斜率为-2的直线截距的最值。
从图象可以看出,当直线
与上半圆相切时,y最大,过(-,0)的直线的截距最小,故-2≤y≤。
6.利用数形结合确定参数取值范围
例.设f(x)是定义在R上以2为周期的函数,对于K∈Z用表示区间(2k-1,2k+1),已知x∈时,有f(x)=。
(1)求f(x)在上的解析式。
(2)对于自然数K,求集合={a1}使方程f(x)=ax在上有两个不相等的实根。
解
(1)如右图从图形可以看出f(x)=。
y
(2)如下图由f(x)=ax,x∈,得=axox
即-(4k+a)x+4=0,考察函数f(x)=-(4k+a)x+4,x∈(2k-1,2k+1)的图象位置,依题意该函数图象在(2k-1,2k+1)内必与x轴有两个不同交点。
则有
△>0y
f(2k-1)>0
f(2k+1)≥02k
2k-1<(4k+a)/2<2k+1o2k-12k+1x
从中解得:
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- 浅谈 结合 思想 数学 教学 中的 应用