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天文学重要公式
1、牛顿运动定律
牛顿第一定律〔惯性定律〕:
任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态,直到其他物体所作用的力迫使它改变这种状态为止。
牛顿第二定律:
物体受到外力作用时,物体所获得的加速度的大小与合外力的大小成正比;加速度的方向与合外力的方向一样。
F=ma牛顿第三定律:
两物体之间的作用力和反作用力在一直线上,大小相等,方向相反。
它们同时产生,同时消失
2、开普勒三定律第一定律:
行星沿椭圆轨道绕日运动,太阳在椭圆轨道的一个焦点上。
第二定律:
行星与太阳的连线〔矢径〕在相等的时间内扫过相等的面积。
即vrsinθ=常数(r:
从太阳中心引向行星的矢径长度;θ:
行星速度与矢径之间的夹角)第三定律:
行星公转周期的平方与轨道长半轴的立方成正比。
即T2/a3=4π2/GM(M:
太阳质量;G:
引力恒量)3、万有引力定律:
任何两质点间都存在着相互吸引力,其大小与两质点的质量乘积成正比,与两质点间的距离平方成反比,力的方向沿着两质点的连线,表示式为F=GMm/R2(G:
引力恒量,大小为6.67×10-11牛·米2/千克2)4、正午太阳高度计算公式:
H=90°-|φ-δ|(φ:
当地地理纬度,永远取正值;δ:
直射点的纬度,当地夏半年取正值,冬半年取负值)5、河外星系退行速度公式:
V=KD(K:
哈勃常数,当前的估算值为每百万秒差距每秒70千米;D:
星系距离)
6、z=90.-h(Z是天顶距,H是天体的地平高度)7、p=90。
-δ〔δ赤纬,P是天体的极距〕8、仰极高度=当地纬度=天顶赤纬
9、天体力学一个重要的公式--活力公式
v2=G(M+m)(2/r-1/a)
〔v为天体再轨道的上的运行速度,r为距离,a为轨道半长径〕
显然:
当a=r时 :
v2=G(M+m)/r, 轨道为正圆
当a=∞时:
v2=2G(M+m)/r,轨道为抛物线
当r<a<∞时:
v2=G(M+m)(2/r-1/a),轨道为椭圆
10、关于逃逸速度的公式,按照天体力学中的活力公式,令a趋向无穷,同时令r等于中央天体的半径,我们就得到了逃逸速度公式,
v2 =2G(M+m)/r
11、
第二宇宙速度的推导
物体脱离地球引力进入行星轨道需要的速度,叫做第二宇宙速度,第二宇宙速度
,推导如下:
用M表示地球的质量,R表示地球的半径,m表示物体的质量,G表示引力常量,把一个物体从地球外表发射到无限远去,对它所需做的功W是
如果物体所具的动能足以到达上述数值,便可以脱离地球引力的控制,即
而
所以
12、有效口径〔D〕
指望远镜的通光直径,即望远镜入射光瞳直径。
望远镜的口径愈大,聚光本领就愈强,愈能观测到更暗弱的天体,它反映了望远镜观测天体的能力,因此,爱好者在经济条件许可的情况下,应选择较大口径的望远镜。
13、焦距〔F〕
望远镜的焦距主要是指物镜的焦距。
物镜焦距F是天体摄影时底片比例尺的主要标志。
对于同一天体而言,焦距越长,天体在焦平面上成的像就越大。
14、相对口径〔A〕:
A=D/F
相对口径又称光力,它是望远镜的有效口径D与焦距F之比,它的倒数叫焦比〔F/D〕。
有效口径越大对观测行星、彗星、星系、星云等延伸天体是非常有利的,因为它们的成像照度与望远镜的口径平方成正比;而流星等所谓线形天体的成像照度与相对口径A和有效口径D的积成正比。
故此,作天体摄影时,应注意选择适宜的相对口径A或焦比。
15、视场〔ω〕
能够被望远镜良好成像的区域所对应的天空角直径称望远镜的视场。
望远镜的视场与放大率成反比,放大率越大,视场越小。
不同的口径、不同的焦距、不同的光学系统与质量〔像差〕,决定了望远镜的视场的大小(CCD的像数尺寸有时也会约束视场的大小);一般科普用反射望远镜的视场小于1度,而施密特望远镜消像差比拟好,故它的视场可达几十度。
16、放大率〔M〕
目视望远镜的放大率等于物镜焦距与目镜焦距之比,也等于物镜入射光瞳与出射光瞳之比。
因此,只要变换不同的目镜就能改变望远镜的放大倍数,但由于受物镜分辨本领,大气视宁静度及出瞳直径不能过小等因素的影响,望远镜的放大倍率也不是可以无限制的增大;一般情况应控制在物镜口径毫米数的1-2倍〔最大不要超过300倍〕。
17、.分辨角分辨角〔δ〕通常以角秒为单位,是指刚刚能被望远镜分辩开的天球上两发光点之间的角距,理论上根据光的衍射原理可得
δ=1.22λ/D〔rad〕
式中λ为入射光的波长,对于目视望远镜而言,以人眼最敏感的波长λ=555纳米来代替,并取物镜口径D以毫米计,那么有:
δ〞=140/D(mm)
由于大气视宁静度与望远镜系统像差等的影响,实际的分辨角要远大于此〔一般介于0.5到2角秒间〕。
18、分辨本领
望远镜的分辨本领由望远镜的分辨角的倒数来衡量,望远镜的分辨率愈高,愈能观测到更暗、更多的天体,所以说,高分辨率是望远镜最重要的性能指标之一。
19、贯穿本领
指在晴朗的夜空将望远镜指向天顶,所能看到的最暗的天体,用星等来表示。
在无月夜的晴朗夜空,我们人的眼睛一般可以看见6等左右的星;一架望远镜可以看见几等星主要是由望远镜的口径大小决定的,口径愈大,看见星等也就愈高〔如50毫米的望远镜可看见10等星,500毫米的望远镜就可看到15等的星〕。
20、第三宇宙速度:
据V2=G〔M+m〕〔2/r-1/a〕推出V=42千米/秒
因借地球公转速度29。
8千米/秒,V3=42-29。
8=12.2千米/秒
V2=11。
22+12。
22,推出V=16。
7千米每秒
21、多普勒效应计算公式的推导
一、普通物理书中的推导方法
大学普通物理学书中用如下方法推导多普勒效应计算公式。
设波源振动频率为f0,周期为T0,以v1表示波S相对于介质的速度,v2表示观察者A相对于介质的速度,波在介质中的传播速度为v0(如图1)。
χ
图1
1、波源不动〔v1=0〕,观察者以v2远离波源。
在这种情况下,观察者在单位时间内接收到的完全波的数目将减少,波相对于观察者的速度为v0-v2,即在单位时间内波通过观察者的总距离为v0-v2,观察者接收的完全波的数目为
f1=
=
=
f0
(1)
⑴式就是接收到的频率。
当波源不动,观察者以速度v2〔大小〕靠近波源时,在单位时间里,波通过观察者的总距离为v0+v2,观察者承受到的频率为
f1=
f0〔1′〕
在这种情况下,我们将观察者的速度取负值代入〔1〕式计算就可以了。
2、观察者不动〔v2=0〕,波源以速度v1向着观察者运动。
由于波源向着观察者运动,在运动方向上波面被压密,使得波长减小,波长减小为
,波在介质中传播速度作为v0,所以观察者接收的频率为f2=
=
=
f0
(2)
当观察者不动,波源以速度v1离开观察者时,在观察者一边的波长增大为
,得到观察者接收的频率为f2=
f0,同样我们在这种情况时将波源的速度取负值,可统一用〔2〕式计算。
3、波源与观察者均相对于介质运动。
如图1所示波源与观察者均沿x轴正方向运动,由于观察者的运动,单位时间内传过观察者的波总距离为v0-v2,又由于波源运动,波长减小为
,所以观察者接收的频率为
f3=
(3)
当波源与观察者均沿x轴负方向运动时,在上式中速度v1、v2均取负值计算。
当波源沿x轴正方向,观察者沿x轴负方向运动时,v1取正值,v2取负值。
当波源沿x轴负方向运动,观察者沿x轴正方向时,v1取负值,v2取正值。
二、多普勒效应计算公式的另一种推导方法
2004年XX省高考物理试题第十六题〔试题及解答略〕,参考答案给出了多普勒效应计算公式的另一种推导方法。
声源S间隔时间△t发出两个声信号,求观察者A接收到这两个声信号的时间间隔△t′〔如图1〕,利用运动学知识,解得的结果是△t′=
△t.
如果声源振动的频率为f0周期为T0,声源发出相邻两个声信号的时间间隔△t=T0,观察者接收到两个相邻的声信号的时间间隔为△t′=
T0,这就是观察者接收到的声波振动的周期T,因而接收到的频率f=
(4)
(4)式是用来计算观察者接收脉冲信号频率的表达式,其表达结果与〔3〕式是一样的,这种方法不必考虑观察者接收的完全波的数目,也不便考虑由于波源运动造成波长的变化。
使用〔4〕式求观察者接收的声波的频率,应以S与A的连线为x轴,且规定由S指向A的方向为正方向,当v1,v2与x轴正方向一样时取正值,方向与x轴正方向相反时,取负值,S和A的方向异向时,其正负号规定与上述“一〞中“3”一样。
三、多普勒效应的一般计算公式
上面得到的计算公式中,v1和v2的方向沿x轴才适用,如果v1和v2的方向是任意的,公式应发生怎样的变化呢?
多普勒现象在波源与观察者间的距离发生变化时才出现。
当波源与观察者的速度v1和v2大小相等,方向一样时,由(4)式可知,观察者接收的频率仍为f0。
如果波源不动,即v1=0,观察者的速度v2垂直于x轴〔如图2〕时,接收的频率不变。
如果观察者不动〔v2=0〕,波源的速度v1垂直于x轴,接收的频率仍不变。
〕
A
图2图3
当波源的速度v1观察者的速度v2为任意方向,如图3所示,v1与x轴正方向成α角,v2与x轴正方向成β角时,我们只要将v1和v2正交分解,垂直于x轴的分量不产生多普勒效应,沿x轴的分量产生多普勒效应,声源振动频率为f0时,观察者接收的频率应为
f=
(5)
在(5)式中,0°≤α≤180°,0°≤β≤180°,当夹角取0°时,速度沿x轴正方向,当夹角取180°时,速度沿x轴负方向,这样(5)式就把产生多普勒勒效应的各种情况都概括了,因此(5)式是多普勒效应的一般计算公式。
以上推导,是否妥当,请专家斧正。
22、春分点的时角用来表示恒星时:
S=t(春分点恒星时)
23、S=t★+a★〔S恒星时,t★某恒星时角,a★某恒星赤经〕
24、中天时某一恒星的时角t★=0
25、因此任何时刻的恒星时等于当时中天恒星的赤经S=a★
26、河外星系退行速度公式
V=KD(K:
哈勃常数,当前的估算值为每百万秒差距每秒70千米;D:
星系距离)
27、1等星与6等星,星等相差5等,他们的亮度相差100倍,假设相邻两星等的亮度比率为R,那么有R5=100,推出R=2.512
28、现代强大的望远镜能观25等的暗星
29、假定有两颗恒星,其星等为m和m0〔m>m0〕,亮度E和E0的比率为:
E0/E=2.512m-m0
两边取对数有:
m-m0=2.5㏒〔E0/E〕
30、如果0等星的亮度是1,那么:
m=-2.5㏒E
31、EM表示绝对亮度,Em表示视亮度,那么有:
EM/Em=2.512m-M,EM/Em=d2/102,,推出
M=m+5-5㏒d
〔绝对星等M等于视星等m加5减5倍的d距离的对数,d以秒差距为单位〕
32、多普勒效应红移公式
相邻的两个波峰到达观察者那里所需的时间就为:
T’=T+VT/c
这时到达观察者那里的两个相邻的波列的距离,即波长就变为:
λ’=cT+VT
这两个波长的比值为:
λ’/λ=T’/T=1+V/c
即波长增加了V/c,我们把这个相对增加量就成为红移量,它取决于光源的远离速度。
由于一般情况下V< 例如室女座星系团正以约1000公里/秒的速度离开我们的银河系,于是它的频谱上任何谱线的波长都要比正常值大一个比率: λ’/λ=1+V/c=1+10000/300000=1.0033 假设光源是向着观察者运动的,这时只需将以上公式中V改为-V就可以了。 所不同的是,这时将出现光的蓝移现象。 33、红移量Z: Z=V/c z=[(c+V)/(c-V)]1/2-1 天体的光谱红移量定义为 红移如果是由多普勒效应引起的,从红移量z就可以推算出退行速度。 在牛顿力学体系中,计算公式为: v=z·c,显然z不能大于1,否那么v将超过c。 在v较大的情况下,就不能使用这一简单公式,而要使用按相对论推出的公式: 在这一公式下,z可以取任意大的值,v都不会超过c。 类星体的红移量很大, Z=[〔c+v〕/〔c-v〕]^0.5-1≈v/c 33、提丢斯一波得定那么〔到海王星就不准了〕 取一个数列: 0、1、2、4、8、16、32、64,在每个数上乘3加4,再用得到的数除以10,结果就是各大行星离太阳的平均距离。 比方水星〔0×3+4〕÷10=0.4 金星〔1×3+4〕÷10=0.7 地球〔2×3+4〕÷10=1.0 火星〔4×3+4〕÷10=1.6 根据该定那么得到下表: 单位: 天文单位 水星 金星 地球 火星 ? 木星 土星 天王星 行星的实际距离 0.387 0.723 1.000 1.524 5.203 9.539 19.267 定那么的距离 0.4 0.7 1.0 1.6 2.8 5.2 10.0 19.6 0.4水星 〔2n×3+4〕/10条件〔从金星开场依次n=0、1、2、3、、、、注意小行星带〕 34、在天体运动中,以T1、T2……分别表示任意两行星的绕日运动固有周期,那么两行星的会合运动周期1/T1-2=1/T1-1/T2。 35、恒星时=太阳时+太阳赤经-12时 恒星时=〔平时+时差〕+太阳赤经-12时。 36、太阳每年在天球上是运动一周〔360度或24h〕,即太阳每年3月21日〔春分〕开场α。 =0h,逐渐增加,每个月太阳赤经增加2h,约每15天太阳赤经增加1h,每天约增加4m,可按此推算任一天的太阳赤经的约数。 对于太阳的赤经α。 ,如不需要准确度很高时,可以从太阳的几个特殊位置推算任一时期的α。 。 下表列出二分二至四季八个时期的α。 : 节气 日期〔阴历〕 太阳赤经〔时〕 节气 日期〔阴历〕 太阳赤经〔时〕 立春 2月5日左右 21 春分 3月21日左右 0 立夏 5月6日左右 3 夏至 6月22日左右 6 立秋 8月8日左右 9 秋分 9月23日左右 12 立冬 11月8日左右 15 冬至 12月22日左右 18 (5)下面给出一组天体出没,中天的公式,大家应记住: cost=-tanφtanδ cosA=sinδ/cosφ 这是天体上升时时角t当地纬度φ和天体赤纬δ的关系,至于天体上升的时角T和方位角A"由下式求得: T=-t A"=360度-A 以地方恒星时S和S'分别表示上升和下落的地方恒星时时刻由 s=t+a得S=t+aS"=T+a 下面给出天体中天的相关公式: 天体上中天时: A=180度 t=0时 z=φ-δ或z=δ-φ 天体下中天时: A"=0度 T=12时 z"=180度-φ-δ 天体上中天的高度公式还有另一种表达式: 在天顶之南上中天: h=90-φ+δ 在天顶之北上中天: h=90+φ-δ 天体的光谱红移量定义为 (1)式中λ0为谱线位移前的波长,λ为观测到的波长。 爱因斯坦喜欢用另一种,把光谱红移定义为 (2)式中v0为谱线位移前的频率,v为观测到的频率。 二者的转换关系为 或 在讨论天体的视向运动时用Z较方便,因为天体的视向 运动速度u与视向运动引起的红移量的关系为 在讨论天体的引力红移时用Ze较方便,因为按广义相对 论天体的质量M及半径R与引力产生的红移量的关系为 (6)式中G为万有引力常数。 当Z>1时,(5)式会产生在u>c的矛盾,有一种相 对论性公式为 可解决这种矛盾。 根据 (2)式的定义在极端的情况观测到的频率v=0 时,有Ze=1,因此Ze是不可能大于1的,但(6)式 的右边却是可大于1的,所以黑洞理论认为当满足(6)式 右边大于1的天体的光是不可能离开该天体的,该天体将 成为一个“黑洞〞。 按相对论中计算视向速度的公式 望远镜的分辨角=140〔角秒〕/D〔毫米〕,D为物镜的有效口径。 例如,XX天文仪器广生产的120折反射天文望远镜的光学性能为: 主镜的有效口径为120mm,焦距为1500mm,相对口径为1/12.5,目镜放大倍率有: 37.5倍,60倍,100倍,200倍,理论分辨角为1"一2",目视极限星等为12等,视场小于10。 它的寻星镜物镜有效口径为35mm,焦距为175mm,放大率为7倍,视场为500。 再次,对于望远镜,其最小分辨角(分辨力)α=Kλ/D,K为修正系数,D为物镜通光孔径 最小分辨角: “恰能分辨〞的两个点光源的两衍射图样中心之间的距离,应等于艾里斑的半径。 此时,两个点光源在透镜处所X的角叫做最小分辨角,以 表示,进一步由理论计算可得 〔1〕 其中 为透镜的直径。 分辨率(分辨本领) 为最小分辨角的倒数 作业 05-19-04-02在迎面驶来的汽车上,两盏前灯相距 。 假设仅考虑人眼圆形瞳孔的衍射效应,试问在汽车离人多远的地方,眼睛才能分辨这两盏前灯。 假设夜间人眼瞳孔直径约为 ,而入射光波长为 。 解: 设两车灯间距为 ,人与车相距为 ,那么 式中, 为瞳孔直径,由上两式可得: 那么 人眼分辨图象的细节能力称为分辨力,可用分辨角来衡量。 它也反映了人眼的视力。 在量值上,分辨角用θ表示,因为实际的θ很小,它大致和可分辨的紧邻的两点间距成正比,和观看距离L成反比,即θ≈d/L〔弧度〕=3438d/L(分),如图1所示。 分辨角的倒数为分辨力。 分辨力还和照度及景物相对比照度有关。 例 设人眼在正常照度下的瞳孔直径约为3mm,而在可见光中,人眼最灵敏的波长为550nm,问 〔1〕人眼的最小分辨角有多大? 〔2〕假设物体放在距人眼25cm〔明视距离〕处,那么两物点间距为多大时才能被分辨。 解〔1〕由式〔15-31〕知,人眼的最小分辨角为 〔2〕设两物点间的距离为 ,它们与人眼的距离 ,此时恰好能够被分辨。 这时,人眼的最小分辨角 ,所以 两物点间的距离大于上述数值时才能分辨清楚。 恒星时=太阳时+太阳赤经-12时
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