小升初数学总复习三长正方体与圆柱体的特征与展开图解析版全国通用版.docx
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小升初数学总复习三长正方体与圆柱体的特征与展开图解析版全国通用版
小升初数学专题突破(三)
长、正方体与圆柱体的特征与展开图
一.正方体展开图
1.下面四个图形中,经过折叠能围成如图所示正方体纸盒的是( )
A.
B.
C.
D.
画龙点睛:
根据正方体展开图的特征以及图中符号所处的位置关系进行解答.
答案与解析:
根据题意可得:
心形图案与圆形相邻,并且心形图案的心底与圆形相邻,圆形图案和正方形图案相邻,心形图案与正方形形相邻;
A、心形图案的左边与圆形相邻,心形图案与正方形形相对,不符合;
B、圆形图案和正方形图案对,不符合;
C、心形图案与圆形相邻,并且心形图案的心底与圆形相邻,符合;
D、心形图案与圆形相邻,但心形图案的心尖与圆形相邻,不符合.
所以选:
C.
2.下面各图中,不能拼成一个完整正方体的是( )
A.
B.
C.
D.
画龙点睛:
根据正方体展开图的11种特征,图A“1﹣4﹣1”结构,图C和图D是同一种结构,属于“1﹣3﹣2”结构,是正方体的展开图,能折成正方体;图B不符全正方体展开图的11种特征,不是正方体的展开图,不能折成正方体.
答案与解析:
根据正方体展开图的特征,图A、图C和图D能折成正方体,图B不能折成正方体;
所以选:
B.
3.从下面长方形纸上剪下一部分,要折成一个棱长3厘米的正方体,可以怎么剪?
设计两种不同的方案,在图中涂色表示
画龙点睛:
正方体展开图有11种特征,分四种类型,
即:
第一种:
“1﹣4﹣1”结构,即第一行放1个,第二行放4个,第三行放1个;
第二种:
“2﹣2﹣2”结构,即每一行放2个正方形,此种结构只有一种展开图;
第三种:
“3﹣3”结构,即每一行放3个正方形,只有一种展开图;
第四种:
“1﹣3﹣2”结构,即第一行放1个正方形,第二行放3个正方形,第三行放2个正方形.
据此设计两种即可.
答案与解析:
如图:
二.长方体展开图
4.如图是一个长方体纸盒的展开图,这个纸盒的表面积是多少平方厘米?
(5分)
画龙点睛:
由展开图得出:
长方体的长是14厘米,宽是10厘米,高是7厘米,根据长方体表面积=长×宽×2+长×高×2+宽×高×2,代数计算即可.
答案与解析:
14×10×2+14×7×2+10×7×2,
=280+196+140,
=616(平方厘米);
答:
这个纸盒的表面积是616平方厘米.
5.如图是一个长方体中的四个面,请你画出其余两个面,使它成为一个完整的展开图.并算出围这个长方体框架要用多少厘米长的铁丝.
画龙点睛:
依据长方体的特征,即相对的面面积相等,从而可以作出符合要求的图;由展开图得出:
长方体的长是20厘米,宽是15厘米,高是5厘米,根据长方体的棱长总和计算公式:
棱长总和=(长+宽+高)×4,把数据代入公式解答即可.
答案与解析:
如图所示,即为所要求的作图:
棱长总和:
(20+15+5)×4=160(厘米)
答:
这个长方体框架要用160厘米长的铁丝.
6.一个长方体,长4厘米,宽3厘米,高2厘米,在下面方格中画出它的表面展开图.(每小格表示1平方厘米)
画龙点睛:
根据长方体的特征,长方体相对面的面积相等,即前后面相等、左右面相等、上下面相等,据此作图即可.
答案与解析:
作图如下:
这个长方体的长是4厘米,宽是3厘米,高是2厘米.
三.展开图与距离最短
7.有一只小蚂蚁沿正方体的表面从A点爬到B点,它走哪条路最近?
画龙点睛:
把正方形展开,在A,B之间画一条线段,根据两点之间线段最短,即可得出小蚂蚁在正方体表面从A到B的行走路线.
答案与解析:
下图中右图就是小蚂蚁的行走路线.
8.如图,一只蚂蚁要从A点出发,经粘合在一块木板上的正方体的表面爬到B点,请你在图上画出最短的路线。
画龙点睛:
先把正方体展开,根据两点之间线段最短,即可得出由A爬到B的最短途径。
答案与解析:
如图,将正方体展开,连接A、B,
则线段AB这条最短的路线,
理由:
两点之间线段最短。
四.圆锥展开图
9.在正方形铁皮上剪下一个圆形和扇形,恰好围成一个圆锥模型(如图).如果圆的半径为r,扇形半径为R,那么R是r的( )
A.2倍B.3倍C.4倍D.6倍
画龙点睛:
根据围成圆锥后圆锥的侧面展开扇形的弧长等于圆锥的底面周长,列出关系式即可得到两个半径之间的关系.
答案与解析:
因为扇形的弧长等于圆锥底面周长,
所以
2πR=2πr
R=2r
R=4r
答:
R是r的4倍.
所以选:
C.
五.正方体与长方体的表面积
10.把一个棱长为6厘米的正方体框架改做成一个长9厘米,宽5厘米的长方体框架,这个长方体框架的高是多少厘米?
画龙点睛:
根据“正方体的棱长总和=12×棱长,”求出正方体的棱长和,因为长方体框架的棱长总和和正方体框架的棱长总和相等,进而根据“长方体的棱长总和=(长+宽+高)×4”,解答即可.
答案与解析:
12×6=72(厘米)
72÷4﹣9﹣5
=18﹣9﹣5
=4(厘米)
答:
这个长方体框架的高是4厘米.
11.一根铁丝长100厘米,围成一个正方体后剩余16厘米,这个正方体的棱长是多少厘米?
画龙点睛:
根据正方体的特征,12条棱的长度都相等,一根长100厘米的铁丝围成一个正方体后剩余16厘米,这个正方体的棱长总和是100﹣16=84厘米,所以用棱长总和除以12即可求出棱长.
答案与解析:
(100﹣16)÷12
=84÷12
=7(厘米)
答:
这个正方体的棱长是7厘米.
12.工人叔叔用一根56厘米长的铁丝做一个高3厘米的长方体模型,能做成( )种不同的长方体。
(长、宽均为整厘米数)
A.3B.4C.5
画龙点睛:
根据长方体的特征,它的12条棱中互相平行的一组4条棱的长度相等,56就是长方体的棱长总和,用56除以4再减去高即是长加宽的和;再分析即可。
答案与解析:
56÷4=14(厘米)
14﹣3=11(厘米)
因为1+10=11,2+9=11,3+8=11,4+7=11,5+6=11,
所以一共有五种围法。
答:
能做成5种不同的长方体。
所以选:
C。
六.染色问题
13.一个表面涂色的大正方体,每条棱都平均分成6份。
得到若干个小正方体,一面涂色的小正方体有 96 个。
画龙点睛:
(1)小正方体组成的大正方体的每个顶点处的小正方体三面涂色,一个正方体有8个顶点,因此,三面涂色的有8块,且不论由多少个小正方体组成的大正方体,三面粉色的块数是一定的,都是8块。
(2)位于每条棱非两端的都两面涂色,一个正方体有12条棱,每条棱上有n(n≥2)块,两面涂色的就是(n﹣2)块,一共有12(n﹣2)块,即(12n﹣24)块。
进一步发现,这是一个0为首项,公差为12的等差递增数列。
(3)处于每个面非边缘的小正方体一面涂色,即小正方体位于每个面的中间,每条棱上有n(n≥2)块,一面涂色的就是(n﹣2)2块,一共有6(n﹣2)3块。
(4)处于大正方体内部的小正方体没有涂色,由表可以看出,每条棱上有n(n≥2)块,没有涂色的就是(n﹣2)3块,一共有(n﹣2)3块。
这个正方体每条棱都平均分成6份,一面涂色的有[(6﹣2)2×6]块。
答案与解析:
如图
(6﹣2)2×6
=42×6
=16×9
=96(个)
答:
一面涂色的小正方体有96个。
所以答案为:
96。
14.一个长8厘米,宽6厘米,高4厘米的表面涂色的长方体,分割成棱长1厘米的小正方体。
这些小正方体中两面涂色的有 48 个,一面涂色的有 88 个。
画龙点睛:
两面涂色的数量=(长﹣2)×4+(宽﹣2)×4+(高﹣2)×4,一面涂色的数量=(长﹣2)×(宽﹣2)×2+(长﹣2)×(高﹣2)×2+(宽﹣2)×(高﹣2)×2,代入数据计算即可。
答案与解析:
两面涂色的有:
(8﹣2)×4+(6﹣2)×4+(4﹣2)×4
=6×4+4×4+2×4
=24+16+8
=48(个)
一面涂色的有:
(8﹣2)×(6﹣2)×2+(8﹣2)×(4﹣2)×2+(6﹣2)×(4﹣2)×2
=6×4×2+6×2×2+4×2×2
=48+24+16
=88(个)
答:
这些小正方体中两面涂色的有48个,一面涂色的有88个。
所以答案为:
48,88。
15.将棱长为3厘米、4厘米、5厘米…的正方体的表面刷上红色的漆,再将其分割成棱长为1厘米的小正方体,完成下面表格并探求满足下面条件的小正方体的数量规律.
棱长
两面有红色的小正方体的个数
一面有红色的小正方体的个数
没有涂红色的小正方体的个数
3厘米
12个
6个
1个
4厘米
24个
24个
8个
5厘米
36个
54个
27
…
…
…
…
分析数据并根据你发现的规律,用含有字母的式子填写下表:
棱长
两面有红色的小正方体的个数
一面有红色的小正方体的个数
没有涂红色的小正方体的个数
n厘米
(n﹣2)×12
(n﹣2)(n﹣2)×6
(n﹣2)3
画龙点睛:
(1)根据:
在顶点处的小正方体涂有3面,剩下的在棱上的小正方体涂有2面,在每个漏在外面的面上的中间的小正方体涂有一面,剩下在正方体中间不外漏的小正方体都没有颜色;据此解答即可.
(2)根据上图数据总结得出结论即可.
答案与解析:
(1)如图所示:
棱长
两面有红色的小正方体的个数
一面有红色的小正方体的个数
没有涂红色的小正方体的个数
3厘米
12个
6个
1个
4厘米
24个
24个
8个
5厘米
36个
54个
27个
…
…
…
…
(2)得出结论如图:
棱长
两面有红色的小正方体的个数
一面有红色的小正方体的个数
没有涂红色的小正方体的个数
n厘米
(n﹣2)×12
(n﹣2)(n﹣2)×12
(n﹣2)3
.
所以答案为:
12个、6个、1个;24个、24个、8个;36个、54个、27个;(n﹣2)×12;(n﹣2)(n﹣2)×12;(n﹣2)3.
七.圆柱展开图
16.一个圆柱底面直径是d,它的高πd,沿高剪开,它的侧面积展开图是( )
A.平行四边形B.长方形C.正方形D.梯形
画龙点睛:
根据圆柱侧面展开图的特征,圆柱的侧面沿高展开是一个长方形(或正方形),这个长方形的长等于圆柱的底面周长,这个长方形的宽等于圆柱的高。
当圆柱的底面周长和高相等时,侧面展开是一个正方形。
据此解答。
答案与解析:
根据圆的周长公式:
C=πd,所以一个圆柱底面直径是d,它的高πd,沿高剪开,它的侧面积展开图是正方形。
所以选:
C。
17.图中是一块长方形铁皮(每个方格的边长表示1分米),剪下图中的涂色部分可以围成一个圆柱.这个圆柱的底面积是 3.14 平方分米;侧面积是 12.56 平方分米;表面积是 18.84 平方分米;体积是 6.28 立方分米.
画龙点睛:
结合图形,找出底面半径和圆柱的高,利用底面积S=πr2,侧面积S=长×宽,V=Sh即可解决问题.
答案与解析:
底面积为:
S=πr2=3.14×12=3.14平方分米,
侧面积为:
S=长×宽=6.28×2=12.56平方分米,
表面积为:
12.56+3.14×2=12.56+6.28=18.84平方分米,
体积为:
V=Sh=3.14×2=6.28立方分米
答:
这个圆柱的底面积是3.14平方分米;侧面积是12.56平方分米;表面积是18.84平方分米;体积是6.28立方分米.
所以答案为:
3.14;12.56;18.84;6.28.
八.长方体、正方体、圆柱体的表面积
18.一个正方体形状的木块,棱长为1,如图所示,将其切成两个长方体,这两部分的表面积总和是多少?
如果在此基础上再切4刀(如图所示),将其切成大大小小共18块长方体,这18块长方体表面积总和又是多少?
画龙点睛:
通过观察图形可知,每切一刀,表面积就增加两个切面的面积,根据正方体的表面积公式:
S=6a2,原来正方体的表面积是1×1×6=6,将其切成两个长方体,这两部分的表面积总和是6+2=8;在此基础上再切4刀,又增加8个切面的面积。
据此解答即可。
答案与解析:
原来正方体的表面积是:
1×1×6=6
切一刀切成两个长方体,这两部分的表面积总和是:
6+2=8
再切4刀,表面积总和是:
8+8=16
答:
切成两个长方体,这两部分的表面积总和是8,这18块长方体表面积总和是16。
19.一个长方体,如果高减少3厘米,就变成一个正方体,这时表面积比原来减少72平方厘米.原来长方体的表面积是多少?
画龙点睛:
根据高减少3厘米,就变成一个正方体可知,这个正方体比原长方体表面积减少的4个面是相同的,这4个面的宽即为3厘米,根据已知表面积减少72平方厘米,用72÷4÷3=6厘米,求出减少面的长,也就是剩下的正方体的棱长,然后用6+3=9厘米求出原长方体的高,据此原长方体的长宽高分别为6厘米、6厘米、9厘米,再由长方体的表面积公式即可解决.
答案与解析:
减少的面的长(即剩下正方体的棱长)为:
72÷4÷3=6(厘米);
原长方体的高为:
6+3=9(厘米);
因此原长方体的长宽高分别为6厘米、6厘米、9厘米,
所以原长方体的表面积为:
6×6×2+6×9×4
=36×2+54×4
=72+216
=288(平方厘米).
答:
原长方体的表面积是288平方厘米.
20.用橡皮泥做一个圆柱体学具,做出的圆柱底面直径4厘米,高6厘米.如果再做一个长方体纸盒,使橡皮泥圆柱正好装进去,至少需要多少平方厘米硬纸?
画龙点睛:
至少能进去意味着长方体的体积在是最小的情况下也要比圆柱大,由至少得知,直径4厘米也就是圆柱最宽的长度为4厘米,那么长方形的长和宽就可以此为标准,得长方形的长、宽均为4厘米,体积最小的情况也就是剩余的空间最少则长方形的高与圆柱的高相等,即为6厘米,从而可以求出纸盒的表面积,也就是至少需要的硬纸的面积.
答案与解析:
纸盒的表面积:
(4×4+4×6+6×4)×2,
=(16+24+24)×2,
=64×2,
=128(平方厘米);
答:
至少需要128平方厘米硬纸.
21.一个棱长为1的正方体,按水平向任意尺寸切成3段,再竖着按任意尺寸切成4段,求所有立体图形的表面积.
画龙点睛:
根据题干分析可得:
每切一刀,就增加2个正方体的面的面积,由此只要求出一共切了几刀,即可求出一共增加了几个正方体的面的面积,再加上原来正方体的表面积,就是这些块长方体的表面积之和.按水平向任意尺寸切成3段,是切割了2刀,再竖着按任意尺寸切成4段,是切割了3刀,所以一共切了2+3=5刀,所以表面积一共增加了5×2=10个正方体的面,由此即可解答问题.
答案与解析:
1×1×6+(3+2)×2×(1×1)
=6+5×2×1
=6+10
=16
答:
表面积是16.
22.一个圆柱侧面展开是一个正方形,它的高是半径的( )倍。
A.2B.πC.3D.2π
画龙点睛:
根据圆柱侧面展开图的特征,如果圆柱的侧面沿高展开是一个正方形,那么这个圆柱的底面周长和高相等,根据圆的周长公式:
C=2πr,那么r=C÷(2π),据此解答即可。
答案与解析:
C=2πr
r=C÷(2π)
答:
它的高是半径是2π倍。
所以选:
D。
23.如图:
一个底面直径为4分米,高为5分米的圆柱,把的底面平均分成若干个扇形,然后切开拼成一个近似的长方体,这个长方体的长是 6.28 分米,宽是 2 分米,表面积比原来增加了 20 平方分米。
画龙点睛:
根据圆柱体积公式的推导过程可知,把一个圆柱切拼成一个近似长方体,这个长方体的长等于圆柱底面周长的一半,宽等于圆柱的底面半径,长方体的高等于圆柱的高。
这个长方体的表面积比圆柱的表面积增加了两个切面的面积,根据长方形的面积公式:
S=ab,把数据代入公式解答。
答案与解析:
长方体的长:
3.14×4÷2=6.28(分米)
长方体的宽:
4÷2=2(分米)
表面积增加:
2×5×2
=10×2
=20(平方分米)
答:
这个长方体的长是6.28分米,宽是2分米,表面积增加20平方分米。
所以答案为:
6.28、2、20。
24.一个圆柱的侧面积是188.4cm2,底面周长是18.84cm,它的高是 10 cm。
画龙点睛:
根据圆柱的侧面积=底面周长×高,那么高=侧面积÷底面周长,把数据代入公式解答。
答案与解析:
188.4÷18.84=10(厘米)
答:
它的高是10厘米。
所以答案为:
10。
25.有一种筒装的包装纸(如图)(纸卷得很紧,没有空隙),量得它的外直径是80厘米,内直径是20厘米,纸的厚度是0.1毫米,那么这筒纸全部卷开,总长度是多少米?
画龙点睛:
根据环形面积公式:
S=π(R2﹣r2),求出纸筒的底面积,然后圆纸筒的底面积除以纸的厚度就是总长度。
答案与解析:
80厘米=0.8米
20厘米=0.2米
0.1毫米=0.0001米
3.14×[(0.8÷2)2﹣(0.2÷2)2]÷0.0001
3.14×[0.16﹣0.01]÷0.0001
=314×0.15÷0.0001
=0.471÷0.0001
=4710(米)
答:
总长度是4710米。
26.一根长2米的长方体木料,它的底面是一根周长为120厘米的正方形,这根木料的表面积是多少?
画龙点睛:
首先根据正方形的周长公式:
c=4a,那么a=c÷4,据此求出底面边长,再根据长方体的表面积公式:
s=(ab+ah+bh)×2,因为底面是正方形,所以它的4个侧面的面积等于底面周长乘高,把数据代入公式公式解答.
答案与解析:
2米=200厘米,
120÷4=30(厘米),
30×30×2+120×200
=900×2+24000
=1800+24000
=25800(平方厘米),
答:
这根木料的表面积是25800平方厘米.
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