初三数学二次函数练习题.docx
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初三数学二次函数练习题
二次函数
基础达标验收卷
选择题:
1.
3大连)
抛物线y
2
(x2)2
3的对称轴是(
2.
3.
4.
5.
A.直线x
直线x2
4重庆)
3B.
直线x
D.直线x2
二次函数yax
bx
右图,则点M(b,c)在(
a
A.第一象限
C.第三象限
4天津)已知二次函数
定有(
B.
D.
第二象限
第四象限
C.
c的图象如
yax2bxc,且a0,
bc0,则一
A.b24ac0B.b24ac0C.b24ac0
3杭州)把抛物线yx2bxc向右平移3个单位,
个单位,所得图象的解析式是
2
yx2
3x5,则有
A.b3,c7
C.b3,c3
B.
D.
3南通)已知反比例函数y
D.b24ac≤
再向下平移2
9,
9,
c15
c21
k的图象如右图所示,
x
则二次函数
6.
3哈尔滨)下面所示各图是在同一直角坐标系内,二次函数
yax2(ac)xc与一次函数yaxc的大致图象,有且只有一个是
、填空题:
10.(4河北)将二次函数yx22x3配方成y(xh)2k的形式,则y=.
11.(3甘肃)已知抛物线yax2bxc与x轴有两个交点,那么一元
二次方程ax2bxc0的根的情况是.
12.(3黑龙江)已知抛物线yax2xc与x轴交点的横坐标为1,
则ac=.
13.(3新疆)请你写出函数y(x1)2与yx21具有的一个共同性质:
14.有一个二次函数的图象,三位同学分别说出它的一些特点:
甲:
对称轴是直线x4;乙:
与x轴两个交点的横坐标都是整数;丙:
与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3.请你写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式:
15.(4武汉)已知二次函数的图象开口向上,且与y轴的正半轴相交,请你写出一个满足条件的二次函数的解析式:
16.(5宁夏)如图,抛物线的对称轴是x1,与x轴交于A、B两点,若B点坐标是(3,0),则A点的坐标是.
17.(5江苏)已知抛物线yx26x5的部分图象如图,则抛物线的对称轴为直线x=,满足y0的x的取值范围是
,将抛物线yx26x5向平移
三、解答题:
1)求这个函数的解析式;2)画出它的图象,并指出图象的顶点坐标;
3)当x0时,求使y≥2的x的取值范围.
形,试求点P的坐标.
3.(3辽宁)某公司推出了一种高效环保型洗涤用品,年初上市后,公司经历了从亏损到赢利的过程,下面的二次函数图象(部分)刻画了该公司年初以来累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的关系(即前t个月的利润总和s与t之间的关系).
(1)由已知图象上的三点坐标,求累积利润s(万元)与销售时间t(月)之间的函数关系式;
(2)求截止到几月累积利润可达到3万元;
3)求第8个月公司所获利润是多少万元?
4.(3上海)卢浦大桥拱形可以近似地看作抛物线的一部分.在大桥截面1:
11的比例图上去,跨度AB=5cm,拱高OC=.9cm,线段DE表示大桥拱内桥长,DE∥AB,如图
(1).在比例图上,以直线AB为x轴,抛物线的对称轴为y轴,以1cm作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图
(2).
(1)求出图
(2)上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域;
(2)如果DE与AB的距离OM=.45cm,求卢浦大桥拱内实际桥
长(备用数据:
2≈1.4,计算结果精确到1米).
5.(5武汉)已知二次函数yax2axm的图象交x轴于A(x1,0)、B(x2,0)两点,x1x2,交y轴的负半轴与C点,且AB=3,tan∠BAC=tan∠ABC=1.
(1)求此二次函数的解析式;
2)在.第.一.象.限.,抛物线上是否存在点P,使S△PAB=6?
若存在,请你求出点P的坐标;若不存在,请你说明理由.
能力提高练习
一、学科内综合题
1.(4天津)已知抛物线yx2bxc与x轴只有一个交点,且交点为A(2,0).
(1)求b、c的值;
(2)若抛物线与y轴的交点为B,坐标原点为O,求△OAB的面积(答案可带根号).
、实际应用题
2.(3山西)启明星、公司生产某种产品,每件产品成本是3元,
售价是4元,年销售量为1万件.为了获得更好的效益,公司准
备拿出一定的资金做广告.根据经验,每年投入的广告费是x(万
如果把利润看作是销售总额减去成本费和广告费:
1)试写出年利润S(万元)与广告费x(万元)的函数关系式,并计算广告费是多少万元时,公司获得的年利润最大,最大年利润是多少万元?
2)把
(1)中的最大利润留出3万元做广告,其余的资金投资新项目,现有6个项目可供选择,各项目每股投资金额和预计年收益如下表:
项
目
A
B
C
D
E
F
每股(万元)
5
2
6
4
6
8
收益(万元)
.55
.4
.6
.5
.9
1
如果每个项目只能投一股,且要求所有投资项目的收益总额不得低于1.6万元,问有几种符合要求的投资方式?
写出每种投资方式所选的项目.
3.(3吉林)如图,有一座抛物线形拱桥,在正常水位时水面AB的宽为2m,如果水位上升3m时,水面CD的宽是1m.
1)求此抛物线的解析式;
2)现有一辆载有救援物资的货车从甲地出发需经过此桥开往乙
地,已知甲地距此桥28km(桥长忽略不计).货车正以每小时4km的速度开往乙地,当行驶1小时时,忽然接到紧急通知:
前方连降暴雨,造成水位以每小时.25m的速度持续上涨(货车接到通知时水位在CD处,当水位达到桥拱最高点O时,禁止车辆通行).试问:
如果货车按原来速度行驶,能否安全通过此桥?
若能,请说明理由;若不能,要使货车安全通过此桥,速度应超过每小时多少千米?
4.(5河北)某机械租赁公司有同一型号的机械设备4套.经过一段时间的经营发现:
当每套机械设备的月租金为27元时,恰好全部租出.在此基础上,当每套设备的月租金提高1元时,这种设备就少租出一套,且未租出的一套设备每月需要支出费用(维护费、管理费等)2元,设每套设备的月租金为x(元),租赁公司出租该型号设备的月收益(收益=租金收入-支出费用)为y(元).
(1)用含x的代数式表示未租出的设备数(套)以及所有未租出设备(套)的支出费用;
(2)求y与x之间的二次函数关系式;
(3)当月租金分别为43元和35元时,租赁公司的月收益分别是多少元?
此时应该租出多少套机械设备?
请你简要说明理由;
(4)请把
(2)中所求的二次函数配方成y(xb)24acb的形2a4a式,并据此说明:
当x为何值时,租赁公司出租该型号设备
的月收益最大?
最大月收益是多少?
三、开放探索题
5.(3济南)某校研究性学习小组在研究有关二次函数及其图象性质的问题时,发现了两个重要的结论:
一.是.发.现.抛物线yax22x3(a≠),当实数a变化时,它的顶.点.都在某条直线上;二.是.发.现.当实数a变化时,若把抛物线yax22x3的顶点的横坐标减少1,纵坐标增加1,得到A点的坐标;若把顶点的横坐标aa
增加1,纵坐标增加1,得到B点的坐标,则A、B两点一定仍在aa
抛物线yax22x3上.
(1)请你协助探求实数a变化时,抛物线yax22x3的顶.点.所
在直线的解析式;
(2)问题
(1)中的直线上有一个点不是该抛物线的顶点,你能找出它来吗?
并说明理由;
(3)在他们第二个发现的启发下,运用“一般——特殊——一般”的思想,你还能发现什么?
你能用数学语言将你的猜想表述出来吗?
你的猜想成立吗?
若能成立,请说明理由.
6.(4河南)某市近年来经济发展速度很快,根据统计,该市国内生产总值199年为8.6亿元人民币,1995年为1.4亿元人民币,2年为12.9亿元人民币.
经论证,上述数据适合一个二次函数关系.请你根据这个函数关系,预测25年该市国内生产总值将达到多少?
参考答案
基础达标验收卷
一、选择题:
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
答案
D
D
A
A
D
D
D
B
D
二、填空题:
值)
5,1,4
三、解答题:
得b2.
∴函数解析式为yx22x1
图象略.图象的顶点坐标为(1,2).
根据图象知当x≥3时,y≥2.
∴当x0时,使y≥2的x的取值范围是x≥3.
2.解:
(1)由题意得15n0.∴n4.∴抛物线的解析式为
2yx5x4.
(2)∵点A的坐标为(1,),点B的坐标为(0,4).
∴OA=1,OB=4.
在Rt△OAB中,ABOA2OB217,且点P在y轴正半轴上.
①当PB=PA时,PB17.∴OPPBOB174.
此时点P的坐标为(0,174).
②当PA=AB时,OP=OB=4.此时点P的坐标为(,4).
3.解:
(1)设s与t的函数关系式为sat2btc,
a1,abc1.5,abc1.5,a2,由题意得4a2bc2,或4a2bc2,解得b2,∴25a5bc2.5;c0.c0.
s1t22t.
2
(2)把s=3代入s21t22t,得3021t22t.解得t110,t26(舍去)
答:
截止到1月末公司累积利润可达到3万元.
(3)把t7代入,得s1722710.5.
2
把t8代入,得s1822816.
2
1610.55.5.
答:
第8个月获利润5.5万元.
4.解:
(1)由于顶点在y轴上,所以设这部分抛物线为图象的函数的解析式为yax29.
10
因为点A(5,0)或B(5,0)在抛物线上,所以0a·(5)29,
22210得a18.
125
因此所求函数解析式为y18x29(5≤x≤5).
1251022
(2)因为点D、E的纵坐标为9,所以9189,得x52.
2020125104
所以点D的坐标为(52,9),点E的坐标为(52,9).
420420所以DE52(52)52.
442因此卢浦大桥拱内实际桥长为5211000.012752385
2
(米).
5.解:
(1)∵AB=3,x1x2,∴x2x13.由根与系数的关系有x1x21.
∴x11,x22.
∴OA=1,
OB=2,x1·x2
m2.a
∵tanBAC
tanABC1,
OCOC
∴1
OAOB
∴OC=2.
∴m2,a1.
∴此二次函数的解析式为yx2x2.
2)在第一象限,抛物线上存在一点P,使S△PAC=6.
解法一:
过点P作直线MN∥AC,交x轴于点M,交y轴于N,
连结PA、PC、MC、NA.
MN∥AC,∴S△MAC=S△NAC=S△PAC=6.
由
(1)有OA=1,OC=2.
11
∴1AM21CN16.∴AM=622
CN=12.
∴直线MN的解析式为y2x10.
∴在第一象限,抛物线上存在点P(3,4),使S△PAC=6.解法二:
设AP与y轴交于点D(0,m)(m>)∴直线AP的解析式为ymxm.
yx2x2,
ymxm.
∴x2(m1)xm20.
∴xAxPm1,∴xPm2.
又S△PAC=S△ADC+S△PDC=1CD·AO1CD·xP=1CD(AOxP).
222
12
∴(m2)(1m2)6,m25m60
∴m6(舍去)或m1.∴在第一象限,抛物线上存在点P(3,4),使S△PAC=6.
能力提高练习
1.解:
(1)∵抛物线yx2bxc与x轴只有一个交点,
又点A的坐标为(2,),∴42bc0.②由①②得b4,a4.
(2)由
(1)得抛物线的解析式为yx24x4.当x0时,y4.∴点B的坐标为(,4).
在Rt△OAB中,OA=2,OB=4,得ABOA2OB225.∴△OAB的周长为1425625.
2.解:
(1)S10
x2772
(x)(43)xx26x7.
101010
当x
2
63时,S最大4
(1)76216.
2
(1)最大4
(1)
∴当广告费是3万元时,公司获得的最大年利润是16万元.
(2)用于投资的资金是16313万元.
经分析,有两种投资方式符合要求,一种是取A、B、E各一股,投入资金为52613(万元),收益为.55+.4+.9=1.85(万元)>1.6(万元);另一种是取B、D、E各一股,投入资金为2+4+6=12(万元)<13(万元),收益为.4+.5+.9=1.8(万元)>1.6(万元).
3.解:
(1)设抛物线的解析式为yax2,桥拱最高点到水面CD的距
离为h米,则D(5,h),B(10,h3).
∴抛物线的解析式为y1x2.
25
(2)水位由CD处涨到点O的时间为1÷.25=4(小时),货车按原来速度行驶的路程为4×1+4×4=2<28,∴货车按原来速度行驶不能安全通过此桥.
设货车的速度提高到x千米/时,
当4x401280时,x60.∴要使货车安全通过此桥,货车的速度应超过6千米/时.
4.解:
(1)未出租的设备为x270套,所有未出租设备的支出为
10
(2x540)元.
(2)y(40x270)x(2x540)1x265x540.
1010
∴y1x265x540(.说明:
此处不要写出x的取值范围)10
(3)当月租金为3元时,租赁公司的月收益为114元,此时出租的设备为37套;当月租金为35元时,租赁公司的月收益为114元,此时出租的设备为32套.
因为出租37套和32套设备获得同样的收益,如果考虑减少设备的磨损,应选择出租32套;如果考虑市场占有率,应选择出租37套.
11
(4)yx265x540(x325)211102.5.
1010
∴当x325时,y有最大值1112.5.但是,当月租金为325元时,租出设备套数为34.5,而34.5不是整数,故租出设备应为34套或35套.即当月租金为为33元(租出34套)或月租金为32元(租出35套)时,租赁公司的月收益最
大,最大月收益均为111元.
5.解:
(1)当a1时,yx22x3的顶点坐标为(1,2);当a1时,
yx22x3的顶点坐标为(1,4).
设抛物线yx22x3的顶点在直线ykxb上,将(1,2)、(1,4)
代入,得
kkb.b,解得kb31,.
即抛物线yx22x3的顶点在直线yx3上.
(或由抛物线yax22x3的顶点坐标为(1,31),得其顶aa
点在直线yx3上)
2)直线yx3上有一个点(,3)不是抛物线的顶点抛物线yax22x3的顶点坐标为(1,31),aa当a≠时,顶点横坐标1≠.
a
∴点(,3)不是抛物线的顶点.
3)得出猜想:
对于抛物线yax2bxc(a≠),将其顶点的横坐标增加或减少1,纵坐标增加1,所得到的两个点一定aa
仍在抛物线上.(其他猜想,只要合理也对)
式进行证明,过程同上)
C(10,12.9).
设二次函数解析式为y
ax2bxc,把A、
B、C三点坐标代入,
a0.014,b0.29,
c8.6.
c8.6,
25a5bc10.4,解得
100a10bc12.9.
∴二次函数解析式为y0.014x20.29x8.6.
当x15时,y16.1.
所以25年该市国内生产总值将达到16.1亿元人民币.
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