章末质量检测一 三角函数.docx
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章末质量检测一三角函数
章末质量检测
(一) 三角函数
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.已知扇形的圆心角为2 rad,弧长为4 cm,则这个扇形的面积是( )
A.4 cm2 B.2 cm2
C.4π cm2 D.1 cm2
解析:
设半径为R,由弧长公式得4=2R,即R=2 cm,则S=×2×4=4 (cm2),故选A.
答案:
A
2.已知cos=,则sin的值等于( )
A. B.-
C. D.±
解析:
因为+=.所以sin=sin=cos=.
答案:
A
3.tan(-1 560°)=( )
A.- B.
C.- D.
解析:
tan(-1 560°)=-tan 1 560°=-tan(4×360°+120°)=-tan 120°=-tan(180°-60°)=tan 60°=.
答案:
D
4.在平面直角坐标系中,已知角α的终边经过点P(a,a-3),且cos α=,则a等于( )
A.1 B.
C.1或 D.1或-3
解析:
由题意得=,
两边平方化为a2+2a-3=0,
解得a=-3或1,而a=-3时,点P(-3,-6)在第三象限,cos α<0,与题不符,舍去,选A.
答案:
A
5.设α是第二象限角,且|cos|=-cos,则是( )
A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角 D.第四象限角
解析:
由题意知2kπ+<α<2kπ+π(k∈Z),则kπ+< 答案: C 6.若sin(π+α)+cos=-m,则cos+2sin(6π-α)的值为( ) A.-m B.-m C.m D.m 解析: ∵sin(π+α)+cos=-m, 即-sin α-sin α=-2sin α=-m,从而sin α=, ∴cos+2sin(6π-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-m. 答案: B 7.方程|x|=cos x在区间(-∞,+∞)内( ) A.没有根 B.有且仅有一个实根 C.有且仅有两个实根 D.有无穷多个实根 解析: 在同一坐标系内画出函数y=|x|和y=cos x的图象(图略),由图象可知,函数y=|x|的图象与y=cos x的图象有且只有两个公共点. 答案: C 8.将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( ) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin 解析: 函数y=2sin的周期为π,所以将函数y=2sin的图象向右平移个单位长度后,得到函数y=2sin=2sin的图象. 答案: D 9.已知cos(60°+α)=,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( ) A.- B. C.- D. 解析: 由-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.因为(30°-α)+(60°+α)=90°,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-=-=-. 答案: A 10.函数y=2|x|sin 2x的图象可能是( ) 解析: 因为y=2|x|sin 2x为奇函数,所以排除A,B;因为2|x|>0,且当0 答案: D 11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向左平移个单位后,得到的图象对应的函数解析式为( ) A.y=-cos 2x B.y=cos 2x C.y=sin D.y=sin 解析: 由题图知A=1,=-=,即T=π, ∴=π,解得ω=2. 易知x=时,ωx+φ=+2kπ,k∈Z,因此2×+φ=+2kπ,k∈Z, ∴φ=+2kπ,k∈Z,∵|φ|<,∴φ=. 因此f(x)=sin. 将f(x)的图象向左平移个单位后,所得图象对应的函数解析式为y=sin=sin,故选C. 答案: C 12.已知函数y=4sin的图象与直线y=m有三个交点,其横坐标分别为x1,x2,x3(x1 A. B. C. D. 解析: 函数y=4sin的图象如图所示. 由图象知,x1+x2=2×=,x2+x3=2×=, 故x1+2x2+x3=+=,选项C正确. 答案: C 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.已知tan α=-,则=________. 解析: ======-. 答案: - 14.sin,sin,sin,从大到小的顺序为________. 解析: ∵<<<<π, 又函数y=sin x在上单调递减, ∴sin>sin>sin. 答案: sin>sin>sin 15.如图所示的是2018年福建省某市某天中6时至14时的温度变化曲线,其近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,与图中曲线对应的函数的解析式是________. 解析: 从6~14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,∴振幅A=×(30-10)=10,b=×(30+10)=20,∵周期T=2×(14-6)=16,∴=16,∴ω=,∴y=10sin+20.将x=6,y=10代入上式,得10sin+20=10,即sin=-1,由于<φ<π,可得φ=.综上,所求解析式为y=10sin+20,x∈[6,14]. 答案: y=10sin+20,x∈[6,14] 16.设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为________. 解析: 本题主要考查三角函数的性质及其应用. ∵f(x)≤f对任意的实数x都成立, ∴f=1,∴·ω-=2kπ,k∈Z,整理得ω=8k+,k∈Z. 又ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值. 答案: 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知角α的终边经过单位圆上的点P. (1)求sin α的值; (2)求·的值. 解析: (1)∵点P在单位圆上, ∴由正弦的定义得sin α=-. (2)原式=·==, 由余弦的定义得cos α=,故所求式子的值为. 18.(12分)利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小. (1)sin与sin; (2)sin 196°与cos 156°; (3)cos与cos. 解析: (1)∵-<-<-<, ∴sin>sin. (2)sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°, cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°, ∵0°<16°<66°<90°,∴sin 16° 从而-sin 16°>-sin 66°, 即sin 196°>cos 156°. (3)cos=cosπ =cos=cosπ, cos=cosπ =cos=cos. ∵0<<π<π,且y=cos x在[0,π]上是减函数, ∴cosπ 即cos 19.(12分)已知函数f(x)=3tan. (1)求f(x)的定义域、值域; (2)讨论f(x)的周期性,奇偶性和单调性. 解析: (1)由x-≠+kπ,k∈Z, 得x≠2kπ+π,k∈Z, ∴f(x)的定义域为,值域为R. (2)f(x)为周期函数,由于f(x)=3tan=3tan=3tan=f(x+2π),所以最小正周期T=2π.易知f(x)为非奇非偶函数. 由-+kπ ∴函数的单调递增区间为,k∈Z. 20.(12分)函数f(x)=Asin+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求函数f(x)的解析式和当x∈[0,π]时f(x)的单调减区间; (2)设α∈,则f=2,求α的值. 解析: (1)因为函数f(x)的最大值是3, 所以A+1=3,即A=2. 因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为, 所以最小正周期T=π,所以ω=2. 所以f(x)=2sin+1. 令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 因为x∈[0,π],所以f(x)的单调减区间为. (2)因为f=2sin+1=2, 即sin=, 因为0<α<,所以-<α-<, 所以α-=,所以α=. 21.(12分)已知电流I(A)与时间t(s)的关系为I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,|φ|<). (1)如图所示的是该函数在一个周期内的图象,求该函数的解析式; (2)如果t在任意一段s的时间内,电流I都能取到最大值和最小值,那么ω的最小值是多少? 解析: (1)由图可知A=300,周期 T=2=,∴ω==150π. 又当t=时,I=0,即sin=0, 而|φ|<,∴φ=. 故所求的函数解析式为I=300sin(150πt+). (2)依题意,周期T≤,即≤,∴ω≥300π, 故ω的最小值为300π. 22.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π),在同一周期内,当x=时,f(x)取得最大值3;当x=π时,f(x)取得最小值-3. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的单调递减区间; (3)若x∈时,函数h(x)=2f(x)+1-m有两个零点,求实数m的取值范围. 解析: (1)由题意,易知A=3,T=2=π,∴ω==2.由2×+φ=+2kπ,k∈Z,得φ=+2kπ,k∈Z. 又∵-π<φ<π,∴φ=,∴f(x)=3sin. (2)由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, ∴函数f(x)的单调递减区间为 ,k∈Z. (3)由题意知,方程sin=在区间上有两个实根.∵x∈, ∴2x+∈,∴∈, ∴m∈[1+3,7). 章末质量检测 (一) 三角函数 一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的) 1.已知扇形的圆心角为2 rad,弧长为4 cm,则这个扇形的面积是( ) A.4 cm2 B.2 cm2 C.4π cm2 D.1 cm2 解析: 设半径为R,由弧长公式得4=2R,即R=2 cm,则S=×2×4=4 (cm2),故选A. 答案: A 2.已知cos=,则sin的值等于( ) A. B.- C. D.± 解析: 因为+=.所以sin=sin=cos=. 答案: A 3.tan(-1 560°)=( ) A.- B. C.- D. 解析: tan(-1 560°)=-tan 1 560°=-tan(4×360°+120°)=-tan 120°=-tan(180°-60°)=tan 60°=. 答案: D 4.在平面直角坐标系中,已知角α的终边经过点P(a,a-3),且cos α=,则a等于( ) A.1 B. C.1或 D.1或-3 解析: 由题意得=, 两边平方化为a2+2a-3=0, 解得a=-3或1,而a=-3时,点P(-3,-6)在第三象限,cos α<0,与题不符,舍去,选A. 答案: A 5.设α是第二象限角,且|cos|=-cos,则是( ) A.第一象限角 B.第二象限角 C.第三象限角 D.第四象限角 解析: 由题意知2kπ+<α<2kπ+π(k∈Z),则kπ+< 答案: C 6.若sin(π+α)+cos=-m,则cos+2sin(6π-α)的值为( ) A.-m B.-m C.m D.m 解析: ∵sin(π+α)+cos=-m, 即-sin α-sin α=-2sin α=-m,从而sin α=, ∴cos+2sin(6π-α)=-sin α-2sin α=-3sin α=-m. 答案: B 7.方程|x|=cos x在区间(-∞,+∞)内( ) A.没有根 B.有且仅有一个实根 C.有且仅有两个实根 D.有无穷多个实根 解析: 在同一坐标系内画出函数y=|x|和y=cos x的图象(图略),由图象可知,函数y=|x|的图象与y=cos x的图象有且只有两个公共点. 答案: C 8.将函数y=2sin的图象向右平移个周期后,所得图象对应的函数为( ) A.y=2sin B.y=2sin C.y=2sin D.y=2sin 解析: 函数y=2sin的周期为π,所以将函数y=2sin的图象向右平移个单位长度后,得到函数y=2sin=2sin的图象. 答案: D 9.已知cos(60°+α)=,且-180°<α<-90°,则cos(30°-α)的值为( ) A.- B. C.- D. 解析: 由-180°<α<-90°,得-120°<60°+α<-30°.因为(30°-α)+(60°+α)=90°,所以cos(30°-α)=sin(60°+α)=-=-=-. 答案: A 10.函数y=2|x|sin 2x的图象可能是( ) 解析: 因为y=2|x|sin 2x为奇函数,所以排除A,B;因为2|x|>0,且当0 答案: D 11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)的部分图象如图所示,则将y=f(x)的图象向左平移个单位后,得到的图象对应的函数解析式为( ) A.y=-cos 2x B.y=cos 2x C.y=sin D.y=sin 解析: 由题图知A=1,=-=,即T=π, ∴=π,解得ω=2. 易知x=时,ωx+φ=+2kπ,k∈Z,因此2×+φ=+2kπ,k∈Z, ∴φ=+2kπ,k∈Z,∵|φ|<,∴φ=. 因此f(x)=sin. 将f(x)的图象向左平移个单位后,所得图象对应的函数解析式为y=sin=sin,故选C. 答案: C 12.已知函数y=4sin的图象与直线y=m有三个交点,其横坐标分别为x1,x2,x3(x1 A. B. C. D. 解析: 函数y=4sin的图象如图所示. 由图象知,x1+x2=2×=,x2+x3=2×=, 故x1+2x2+x3=+=,选项C正确. 答案: C 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.请把正确答案填在题中横线上) 13.已知tan α=-,则=________. 解析: ======-. 答案: - 14.sin,sin,sin,从大到小的顺序为________. 解析: ∵<<<<π, 又函数y=sin x在上单调递减, ∴sin>sin>sin. 答案: sin>sin>sin 15.如图所示的是2018年福建省某市某天中6时至14时的温度变化曲线,其近似满足函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,与图中曲线对应的函数的解析式是________. 解析: 从6~14时的图象是函数y=Asin(ωx+φ)+b的半个周期的图象,∴振幅A=×(30-10)=10,b=×(30+10)=20,∵周期T=2×(14-6)=16,∴=16,∴ω=,∴y=10sin+20.将x=6,y=10代入上式,得10sin+20=10,即sin=-1,由于<φ<π,可得φ=.综上,所求解析式为y=10sin+20,x∈[6,14]. 答案: y=10sin+20,x∈[6,14] 16.设函数f(x)=cos(ω>0).若f(x)≤f对任意的实数x都成立,则ω的最小值为________. 解析: 本题主要考查三角函数的性质及其应用. ∵f(x)≤f对任意的实数x都成立, ∴f=1,∴·ω-=2kπ,k∈Z,整理得ω=8k+,k∈Z. 又ω>0,∴当k=0时,ω取得最小值. 答案: 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)已知角α的终边经过单位圆上的点P. (1)求sin α的值; (2)求·的值. 解析: (1)∵点P在单位圆上, ∴由正弦的定义得sin α=-. (2)原式=·==, 由余弦的定义得cos α=,故所求式子的值为. 18.(12分)利用三角函数的单调性,比较下列各组数的大小. (1)sin与sin; (2)sin 196°与cos 156°; (3)cos与cos. 解析: (1)∵-<-<-<, ∴sin>sin. (2)sin 196°=sin(180°+16°)=-sin 16°, cos 156°=cos(180°-24°)=-cos 24°=-sin 66°, ∵0°<16°<66°<90°,∴sin 16° 从而-sin 16°>-sin 66°, 即sin 196°>cos 156°. (3)cos=cosπ =cos=cosπ, cos=cosπ =cos=cos. ∵0<<π<π,且y=cos x在[0,π]上是减函数, ∴cosπ 即cos 19.(12分)已知函数f(x)=3tan. (1)求f(x)的定义域、值域; (2)讨论f(x)的周期性,奇偶性和单调性. 解析: (1)由x-≠+kπ,k∈Z, 得x≠2kπ+π,k∈Z, ∴f(x)的定义域为,值域为R. (2)f(x)为周期函数,由于f(x)=3tan=3tan=3tan=f(x+2π),所以最小正周期T=2π.易知f(x)为非奇非偶函数. 由-+kπ ∴函数的单调递增区间为,k∈Z. 20.(12分)函数f(x)=Asin+1(A>0,ω>0)的最大值为3,其图象相邻两条对称轴之间的距离为. (1)求函数f(x)的解析式和当x∈[0,π]时f(x)的单调减区间; (2)设α∈,则f=2,求α的值. 解析: (1)因为函数f(x)的最大值是3, 所以A+1=3,即A=2. 因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为, 所以最小正周期T=π,所以ω=2. 所以f(x)=2sin+1. 令+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z, 即+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, 因为x∈[0,π],所以f(x)的单调减区间为. (2)因为f=2sin+1=2, 即sin=, 因为0<α<,所以-<α-<, 所以α-=,所以α=. 21.(12分)已知电流I(A)与时间t(s)的关系为I=Asin(ωt+φ)(A>0,ω>0,|φ|<). (1)如图所示的是该函数在一个周期内的图象,求该函数的解析式; (2)如果t在任意一段s的时间内,电流I都能取到最大值和最小值,那么ω的最小值是多少? 解析: (1)由图可知A=300,周期 T=2=,∴ω==150π. 又当t=时,I=0,即sin=0, 而|φ|<,∴φ=. 故所求的函数解析式为I=300sin(150πt+). (2)依题意,周期T≤,即≤,∴ω≥300π, 故ω的最小值为300π. 22.(12分)已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π),在同一周期内,当x=时,f(x)取得最大值3;当x=π时,f(x)取得最小值-3. (1)求函数f(x)的解析式; (2)求函数f(x)的单调递减区间; (3)若x∈时,函数h(x)=2f(x)+1-m有两个零点,求实数m的取值范围. 解析: (1)由题意,易知A=3,T=2=π,∴ω==2.由2×+φ=+2kπ,k∈Z,得φ=+2kπ,k∈Z. 又∵-π<φ<π,∴φ=,∴f(x)=3sin. (2)由+2kπ≤2x+≤+2kπ,k∈Z,得+kπ≤x≤+kπ,k∈Z, ∴函数f(x)的单调递减区间为 ,k∈Z. (3)由题意知,方程sin=在区间上有两个实根.∵x∈, ∴2x+∈,∴∈, ∴m∈[1+3,7).
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