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课程开发背景
数学悖论校本课程开发
黄陈平
“悖论”也可叫“逆论”,或“反论”,这个词的意义比较丰富,它包括一切与人的直觉和日常经验相矛盾的数学结论,那些结论会使我们惊异无比。
悖论有三种主要形式。
1.一种论断看起来好像肯定错了,但实际上却是对的(佯谬)。
2.一种论断看起来好像肯定是对的,但实际上却错了(似是而非的理论)。
3.一系列推理看起来好像无懈可击,可是却导致逻辑上自相矛盾。
一、课程开发背景
(一)激发学生对数学的兴趣
悖论是属于领域广阔、定义严格的数学分支的一个组成部分,这一分支以“趣味数学”知名于世,即它带有强烈的游戏色彩。
数学结论悖论的强大魅力就在于它像精彩的悖论表演一样,使人看完之后,几乎所有人都会惊讶得马上就想知道“这套悖论是怎么样变出来的?
”当把变幻的技巧告诉他时,他便不知不觉地被引进深奥而有趣的数学王国中,并以强烈的好奇心去回味、思索。
伟大的数学家欧拉(Euler)就是对七桥问题(Bridge-Crossing)的分析中打下了拓扑学的基础;莱布尼兹·希尔伯特等人也曾经在悖论的引导下,对科学做出了重大贡献。
(二)发起丰富多彩的数学活动
数学悖论包括逻辑学、概率论、数论、几何学、统计学和时间等多个方面内容,其中很多是趣味性的故事,也有逻辑推理等。
悖论以触目惊心的形式向我们展示我们看似合理、有效的“共识”、“前提”、“推理规则”在某些地方出了问题,我们思维的最基本的概念、原理、原则在某些地方潜藏着风险。
揭示问题要比掩盖问题好。
在初等数学教学研究中,关于正面问题的分析研究甚多,而反面问题及其各种原因的分析研究颇少。
事实上,任何事物都有正反两方面,如果仅仅知道正面,而不注意反面的情况,那么我们对事物的认识必然是不够全面的。
数学悖论作为反面问题,在其证明过程中我们能看到惊人的错误结果。
数学悖论的存在,充实了数学的内容,增强了人们证明数学严密性的欲望。
(三)提高学生对现代数学的鉴赏力
悖论的意义悖论是一个涉及数学、哲学、逻辑学、语义学等非常广泛的论题,是一种现时的科学理论体系所解释不了的矛盾。
正因为如此,悖论在“荒诞”中蕴涵着哲理,可以给人以启迪,给人以奇异的美感,沿着它所指引的推理思路,可以使您走上一条繁花似锦的羊肠小道,而又使您在不知不觉中陷入自相矛盾的泥潭。
但经过破译,将会使您感到回味无穷,并且能从中启发思维,提高能力。
逻辑学家赫兹贝格(Herxberger)说:
“悖论之所以具有重大意义,是由于它能使我们看到对于某些根本概念的理解存在多大的局限性,……事实证明,它是产生逻辑和语言中新概念的重要源泉。
”
二、课程目标与内容
(一)课程目标
数学教学中常常因为悖论的复杂性而弃置不用,然而悖论的使用不仅不会增加难度,反而会使问题更富趣味性和研究性,更有利于激发学生对数学学习的兴趣;有利于向学生介绍重要的数学思路;有利于开发丰富多彩的数学学习活动;有利于帮助学生洞察数学问题的解题过程;有利于培养学生辩证的、开创性的、批判性的思维方式;有利于提高学生对现代数学所具有的美妙、多样,甚至幽默性质的鉴赏力。
从这个意义上说,没有悖论的数学学习是危险的,没有悖论思想的数学教学是苍白的。
悖论的教学不是目的,以悖论为手段学会创新才是目标。
通过对悖论的关注和研究,希望可以帮助学生养成一种温和的、健康的怀疑主义态度,教会学生观察和分析观察的结果,引导他们进行科学争论,培养他们论证自己观点的能力,认识到科学本身是矛盾的统一体,形成学生的辩证唯物主义世界观,从而避免教条主义和独断论。
这种健康的怀疑主义态度有利于科学、社会和人生。
1.用悖论突破难点。
数学发展史中人类的数学思维过程不可避免地总会有一些冲突,产生如下一些悖论,如
的悖论、贝克莱悖论、理发师悖论、贝特朗悖论等,经历数学构建过程,有时教学的难点会迎刃而解。
2.妙用悖论完善知识结构。
有些悖论在它荒诞中蕴含着哲理,巧用这些悖论,能够帮助学生完善认知结构,优化知识,使其不仅知其然,而且知其所以然,使学生对概念理解更加深刻。
3.用悖论进行人文教育。
新课程标准指出:
数学是人类一种文化,它的内容、思想、方法和语言是现代文明的重要组成部分。
数学教育应该把数学知识、文化知识的教学和人文精神的培养融为一体,展示数学的科学价值和人文价值。
悖论是数学文化的重要组成部分,许多内容涉及数学史料和数学的发展,有人文教育的价值。
(二)课程内容
初中数学课程包含了代数、根式、统计概率、几何等方面的内容,在校本课程内容的设计中包括了代数悖论、无理数悖论、数论悖论、概率悖论、几何学悖论、统计学悖论和时间悖论、集合悖论等方面的内容。
代数悖论
1.“1=2”悖论
证明:
设b=a,那么ab=a2,等式两端同时减去b2,得:
ab-b2=a2-b2,于是b(a-b)=(a+b)(a-b),用a-b除等式两边,得b=a+b,由b=a得a=2a,故1=2。
变式:
令X=1,即有X2=X,因此有X2-1=X-1,两边同除以X-1,得出X+1=1。
由已知X=1,因此,得到1=2。
2.达朗贝尔悖论
我们知道,如果两个数的乘积等于另两个数的乘积,那么这四个数必是成比例的,又从比例式的定义知道,如果第一项大于第二项,那么第三项也必大于第四项。
用符号表示,即:
若ad=bc,则a/b=c/d。
由比例式的定义知道,若a/b=c/d,且a>b,则c>d。
于是,我们得到:
ad=bc,且a>b,则c>d。
现在,令a=d=1,b=c=-1,最初的等式成立,并且满足a>b,由上面的结论得出c>d,即-1>1,矛盾。
3.4=7
按比例4:
4=7:
7,应用分配律可得4(1:
1)=7(1:
1),由于1:
1=1,故得4=7。
无理数悖论
1.第一次数学危机
公元前5世纪,毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯发现:
等腰直角三角形斜边与一直角边是不可公度的。
这一发现不仅严重触犯了毕达哥拉斯学派的信条,同时也冲击了当时希腊人的普遍见解,因此在当时它就直接导致了认识上的“危机”。
希帕索斯的这一发现,史称“希帕索斯悖论”,从而触发了数学史上的第一次危机。
2.0与i谁大谁小?
我们知道,对于任意两个不同的数a和b,或a>b或b>a,两者不能同时成立,并且:
若a>b,b>c,则a>c;若a>b,则a+c>b+c;若a>b,c>0,ac>bc。
在引入复数概念后许多同学会引起0与i谁大谁小的讨论,根据上述基本性质我们对0与i进行如下探讨。
(1)若i>0,则i2>0×i两边同时乘以-1可得(-1)2>0×(-1),即1>0;另一方面,对以上结果两边同时加1,有-1+1>0+1,即0>1。
于是0>1且1>0,矛盾。
(2)若0>i,两边同时加-i,我们有0+(-i)>(-i)+i,即-i>0;两边同时乘以-i可得(-i)>0×i,即-1>0。
这样我们证明了无论0与i谁大谁小都会导出矛盾。
在引入复数概念之后这是一个必然的结论:
在实数范围内,任何两个实数可以比较大小,而在复数范围内,除非它们都是实数,否则两个复数无法比较大小。
数论悖论
1.1元钱哪里去了
三个学生住旅馆,服务员收费30元,于是三个学生每人交了10元。
后来老板对服务员说当天特价,只收25元,要服务员把多的5元退给三人。
爱贪小便宜的服务员想:
“5元给三人也不好分,自己留下2元,给他们一人1元正好。
”于是,服务员退还了学生3元并私吞了2元。
现在的结果是:
每个学生只出了9元,一共27元,加上服务员的2元,才29元(3×9+2=29)。
剩下的1元钱到哪里去了呢?
2.1元钱哪里去了
一家文具店进了两种贴画,1种1元钱3张,一种1元钱2张。
第一天,卖出了60张,其中两种贴画各卖30张。
1元钱3张的贴画,收入了10元;1元钱2张的贴画,收入了15元。
所以,这天结账时老板发现卖贴画一共得了25元。
第二天,老板想:
“何必将两类贴画分开卖呢?
既然一种贴画是1元钱3张,另一种贴画是1元钱2张,何不把贴画放在一起,按2元5张来卖?
这应该是一样的嘛。
”老板这一天按新的卖法恰好又卖出了60张贴画,但结账时老板却发现只收到了24元钱。
怎么回事?
缺的那1元钱哪儿去了?
3.红豆绿豆
有白豆、红豆各50粒,分别盛在甲、乙两个袋子中。
现在从甲袋中取出10粒白豆放到盛红豆的乙袋中。
然后再从乙袋中取出10粒(颜色不定)豆子,放回甲袋。
现在问:
甲袋中的红豆和乙袋中的白豆数量谁多?
变形:
酒水问题
一个玻璃杯里盛着半杯酒,另一个玻璃杯里盛着等量的半杯水。
从第一个杯子里舀一茶匙酒倒进盛着水的杯子里。
搅匀后,再从第二个杯里舀等量的一茶匙水酒混合液送回第一个杯里。
经过这么一来一往之后,问原来盛水杯子里的酒多,还是原来盛酒杯子里的水多?
4.土豆悖论
你买了一百磅的土豆,它们含水99%,将它们晾在外面,你会发现风干后的土豆现在含水98%,令人惊讶的是她们重量成了50磅!
5.分牛悖论
传说古印度有一位老人临终前留下遗嘱:
把19头牛分给3个儿子。
老大分总数的1/2,老二分总数的1/4,老三分总数的1/5。
老人死后,3兄弟为分牛一事绞尽脑汁,无计可施。
虽然三个儿子很听父亲的话,可分遗产时怎么也不会分,因为19乘1/2得不到整数啊。
概率悖论
1.山羊还是汽车
“山羊还是汽车”是美国电视节目“让我们做一笔交易”的一句台词。
节目快结束时要上演最后一幕:
当晚的获胜者会看到自己面前有三扇门,门前挂有幕布,某一扇门背后有一个特别奖:
一辆汽车;而另两扇门背后的奖品价值微不足道:
一只山羊。
获胜者要在三扇门中选择一扇门,并将获得门后的奖品:
山羊或是汽车。
获胜者在做出自己的选择,比如挑选了1号门后,知道各扇门背后是什么的节目主持人蒙特·霍尔为了制造紧张气氛并不直接打开获胜者选择的门,而是去打开另外两扇门中的一扇,比如说3号门,那里有一只山羊。
现在还剩下两扇门背后可能藏有汽车。
此时,主持人问获胜者:
现在你可以重新选择,你要不要改变一下选择?
你愿意保持最初的选择(1号门)还是换成另一扇没打开的门(2号门)?
如果做出选择的是你,你的答案是:
换还是不换?
2.钱包悖论
有A和B两人进行一场赌博。
赌法是:
由第三者计算A、B二人钱包里面的钱,钱少者可以赢走钱多者的钱。
A对于这场赌博的想法为:
若B君的钱比我少,我可能输掉我现有的钱。
但若B君的钱比我多,我赢了,就会得到多于我现有的钱。
我能够赢的钱比输的钱多,所以这场赌博对我有利。
而B的想法也是如此。
二人想法的逻辑都正确,但若认为二人的想法都正确,又将做出这场赌博对A、B二人都有利的错误结论。
怎么回事呢?
3.不可能的事
有一个故事讲的是很多年前有一个数学家坐飞机到处旅行。
他担心可能哪一天会有一个旅客带着隐藏的炸弹。
于是他就总是在他的公文包中带一枚他自己卸了火药的炸弹。
他知道一架飞机上不太可能有某个旅客带着炸弹,他又进一步推论,一架飞机上同时有两个旅客带炸弹是更加不可能的事。
4.电梯悖论
在一幢摩天大楼里,有一架电梯是由电脑控制运行的,它每层楼都停,且停留的时间都相同。
然而,办公室靠近顶层的王先生说:
“每当我要下楼的时候,都要等很久。
停下的电梯总是要上楼,很少有下楼的。
真奇怪!
”李小姐对电梯也很不满意,她在接近底层的办公室上班,每天中午都要到顶楼的餐厅吃饭。
她说:
“不论我什么时候要上楼,停下来的电梯总是要下楼,很少有上楼的。
真让人烦死了!
”这究竟是怎么回事?
电梯明明在每层停留的时间都相同,可为什么会让接近顶楼和底层的人等得不耐烦?
几何悖论
1.面积怎么多了
图1.64=65?
图2.这个洞哪里来?
2.围着松鼠转圈
松鼠蹲在树椿上,猎人绕着树椿转的时候,松鼠也一直在转,所以它总是面向猎人。
当猎人绕树转一圈后,他也绕松鼠转了一圈吗?
A:
当然了!
他既然绕着树转了一圈,就必然绕着松鼠也转了一圈。
B:
瞎说!
即使那里没有树,他也一直未能看到松鼠的后背。
既然是绕着一个物体转一圈怎么能看不到它的所有各面呢?
3.硬币悖论
两枚硬币平放在一起,顶上的硬币绕下方的硬币转动半圈,结果硬币中图案的位置与开始时一样;然而,按常理,绕过圆周半圈的硬币的图案应是朝下的才对!
你能解释为什么吗?
视图与投影
1.凹起或者凸起
图3.凹起还是凸起?
2.折叠的棋盘
图4.折叠的棋盘
3.疯狂的螺帽
图5.疯狂的螺帽
统计悖论
1.那种派最好吃
星星餐厅有三种派,菠萝派、苹果派和樱桃派。
去年,餐厅做了一次民意调查,想了解一下顾客最喜欢哪种派。
他们的调查结果表明,有2/3的人喜欢菠萝派不喜欢苹果派,2/3的人喜欢苹果派不喜欢樱桃派。
那么,是不是喜欢菠萝派的人比喜欢樱桃派的人多呢?
2.平均速度
某人驾车以每小时90千米的速度从甲地到乙地,然后又以每小时60千米的速度返回。
那么,这个人来回的平均速度是多少?
许多人会凭直觉得出答案:
平均速度是每小时75千米。
其做法很简单,两个速度相加除以2,即由(90+60)/2=75得出平均速度。
但这是错误的。
3.及格率悖论
A、B两班各有50名学生,其中,A班20名男生,30名女生;B班30名男生,20名女生。
两个班参加同一次测试,测试结果如下:
A班的学生中,分别有18名男生与20名女生及格;B班的学生中,分别有26名男生与13名女生及格。
如下表所示:
及格
不及格
总数
及格率
A班男生
18
2
20
90%
A班女生
20
10
30
66.7%
B班男生
26
4
30
86.7%
B班女生
13
7
20
65%
容易看到,A班男生的及格率(90%)高于B班男生的及格率(86.7%);A班女生的及格率(66.7%)也高于B班女生的及格率(65%)。
现在再来算一下,两个班全体学生的及格率,A班50个学生中有38人及格,因此及格率是76%,B班50个学生中有39人及格,及格率是78%。
因此,A班的及格率反而低于B班的及格率!
真是有悖常理
变形:
新药有效吗
药效悖论某研究单位研究出一种新药,为了检验药是否有效,人们对一组病人进行试验。
试验中,给予一些病人真正的新药,而其余病人则给以“安慰剂”(不含药物的药片)。
结果如下:
试验次数
成功次数
有效率
药物
100
66
66%
安慰剂
40
24
60%
这一试验似乎成功地确认了新药比安慰剂更有效——试验中,66%服用新药的病人有改进的表现,而服用安慰剂的病人有改进表现的只是60%。
因为结果相近,另一位研究者决定对更大的病人组重复这实验。
得到如下结果:
试验次数
成功次数
有效率
药物
200
180
90%
安慰剂
500
430
83%
服用新药的病人的表现又一次胜过服用安慰剂的病人。
两位研究者对发现感到兴奋,决定把他们的数据合并起来公布结果,但是他们困惑地看到了最意想不到的结局。
试验次数
成功次数
有效率
药物
300
246
82%
安慰剂
540
454
84%
尽管在两次试验中新药都曾比安慰剂成功,但是将两项试验合并起来时,服用安慰剂的病人竟然比新药更成功。
这个结果太使人感到惊奇了。
4.平均数悖论
有两个班级。
一班平均分是80分,二班平均分是70分。
于是从一班中调配一个平均78分的学生甲到二班,就会同时提高两个班的平均分!
集合悖论
1.罗素悖论(Russell'sparadox)
“R是所有不包含自身的集合的集合。
”人们同样会问:
“R包含不包含R自身?
”如果不包含,由R的定义,R应属于R。
如果R包含自身的话,R又不属于R。
2.书目悖论
一个图书馆编纂了一本书名词典,它列出这个图书馆里所有不列出自己书名的书。
那么它列不列出自己的书名?
3.理发师悖论
一天,萨维尔村理发师挂出一块招牌:
“村里所有不自己理发的男人都由我给他们理发,我也只给这些人理发。
”于是有人问他:
“您的头发由谁理呢?
”理发师顿时哑口无言。
4.谷堆问题
显然,1粒谷子不是堆;
如果1粒谷子不是堆,那么2粒谷子也不是堆;
如果2粒谷子不是堆,那么3粒谷子也不是堆;
……
那么多少粒谷子才能成堆呢?
变形:
秃子问题
“长着浓密头发的一个人是不是秃子?
”
“当然不是。
”
“现在拔掉一根头发呢?
”
“当然也不是。
”
“两根,三根,四根,五根……
时间悖论
1.坏钟悖论
墙上有两台闹钟。
一台已经坏了,停了。
另一台滴滴哒哒走着,但是每天慢了一分钟。
问:
这两台闹钟,哪一台报时更准确?
停止不走的那台闹钟,每天至少有两次报时准确的时候,而那准确,是一分一秒也不差的。
而那一台慢的,不可能准确报时,它总是慢,720分钟才走对一次。
2.时间机器
布朗教授刚刚返回到了30年前。
他正注视着还是婴儿的自己。
布朗:
假定我把这个婴儿杀死,那他就不会长大而变成布朗教授!
我会突然消失吗?
极限悖论
1.两分法悖论
一个人从A点走到B点,要先走完路程的1/2,再走完剩下总路程的1/2,再走完剩下的1/2……如此循环下去,永远不能到终点。
《庄子天下篇》中,庄子提出:
“一尺之棰,日取其半,万世不竭。
”这是正确的,如此时间将为无穷大,长度为无穷小。
2.阿基里斯(Achilles)悖论
阿基里斯是古希腊神话中善跑的英雄。
在他和乌龟的竞赛中,他速度为乌龟十倍,乌龟在前面100米跑,他在后面追,但他不可能追上乌龟。
因为在竞赛中,追者首先必须到达被追者的出发点,当阿基里斯追到100米时,乌龟已经又向前爬了10米,于是,一个新的起点产生了;阿基里斯必须继续追,而当他追到乌龟爬的这10米时,乌龟又已经向前爬了1米,阿基里斯只能再追向那个1米。
就这样,乌龟会制造出无穷个起点,它总能在起点与自己之间制造出一个距离,不管这个距离有多小,但只要乌龟不停地奋力向前爬,阿基里斯就永远也追不上乌龟!
3.乒乓球与地球一样大
假定地球就像乒乓球一样圆,如果我从乒乓球上找到一个点,这是我也可以在地球上找到一个对应的点,乒乓球上的没一点我都能在地球上找到对应的点,所以说乒乓球和地球一样大。
变形:
整数多还是奇数多?
整数包含偶数和奇数,每一个奇数都能找到与之对应的整数,哪个多?
每个人都知道“整体大于部分”这个事实,而伽利略在1638年提出“部分可以等于整体”的悖论。
在数学上两个集合元素个数相等指它们之间能建立一一对应的关系。
众所周知:
1,4,9,16,…,…是自然数全体的一部分,或者说开方数的个数比自然数的个数要少些,一般人认为这是真理。
首先对这事实怀疑的是伽利略,他利用关于数学上的“相等”这种方法,发现自然数的集合1,2,3,…与其平方数之集12,22,32,…可以建立一一对应关系,因此从个数上来说它们应当相等。
其它
不可逃遁的点
帕特先生沿着一条小路上山。
他早晨七点动身,当晚七点到达山顶。
第二天早晨沿同一小路下,晚上七点又回到山脚,遇见了拓扑学老师克莱因。
克莱因:
“帕特,你可曾知道你今天下山时走过这样一个地点,你通过这点的时刻恰好与你昨天上山时通过这点的时刻完全相同?
”
帕特:
“这绝不可能!
我走路时快时慢,有时还停下来休息。
”
三、课程实施的方式
常规的课堂教学程序通常是“根据条件A→获得结论D”,此处的“根据条件A”可以是生活经验、自然现象、实验数据、或者是已经证明为正确的某一规律;而导致悖论教学法的基本程序是“根据条件A→导致悖论B→根据C,否定悖论B→获得结论D”。
也就是在传统程序的基础上增加“导致悖论否定悖论”这一环节。
国外已设计编制了专门从事数学教育的“悖论箱”(ParadoxBox),直接引进课堂,向中学和大学低年级学生介绍趣味数学和传授数学知识。
他们将逻辑学、概率论、数论、几何学、统计学和时间等方面的数学悖论,制成幻灯片,配有录音解说。
(一)教学方法
本课程的教学主要采用情境创设法和探究学习法。
1.情境创设法
在“数学悖论奇景”的学习过程中,教师要将学生引入一个个数学悖论中,让学生在生动、有趣、迷人的悖论中体验奇异的美感。
用其设计问题情境引入,让学生领略数学魅力的同时,更多从惊讶到思考。
如在“概率悖论”中让学生进行角色扮演来呈现教学情境,在“几何悖论”中进行动画演示,让学生参与到具体的教学之中,激发学生的学习兴趣。
2.探究学习法
“数学悖论”是数学史方面的内容,网上相关的内容非常丰富,为了很好地利用网上的丰富资源同时又培养学生自主学习的能力,决定采用探究学习。
(二)教学模式
悖论教学情境的特点是:
学生原有认知结构中的知识、思想方法在运用于新情境时产生不可协调的、不可逾越的障碍,导致悖论,教师通过引导学生分析悖论产生的原因,通过探索、创新,提出并探究出新知识或新的思想方法,消除悖论.
悖论教学情境的一般模式如下:
图6.悖论教学模式
1.呈现悖论情境。
在进行悖论教学之前首先向学生呈现悖论情境,可以是推理演绎,也可以是模拟现实,将悖论中的情境体现在现实的生活之中。
2.导出悖论。
由于悖论的引入,原认知结构不能同化现有的问题,产生矛盾、导出悖论。
3.悖论解析。
在原认知结构无法同化矛盾的情况下,只有改变原有的认知结构,否定原有的知识模型,提出概括水平比原有认知水平更高的新知识,同化悖论。
教师通过讲解悖论产生的原因,或者是学生小组讨论,或者是通过网络探究,剖析悖论中出现的不合理的地方,解决悖论。
4.产生新知识和新方法。
悖论得到解决,同化顺应悖论。
解决悖论之后,让学生通过网络资源搜索相似的悖论,在班级小组内进行分享。
四、课程评价
(一)学生学习评价
在开篇的时候定义过数学悖论的三种形式,因此学生学习也可以分为三种结果。
1.理解似是而非型。
这一类型的悖论,论断看起来好像是对的,但实际上却错了。
这类悖论的悖只是一个微妙而且隐蔽的推理错误而误生成的一个矛盾,学生在学习这类悖论的时候只要弄清暗藏其中的错误,一切就都会恢复正常了。
通过对这类悖论的解决可以加深学生对数学中某些概念的理解,并对类似的错误产生免疫能力,学生从这里学到的更多的是知识创新。
2.理解似非而是型。
论断看起来好像是错误的,但实际上却是对的。
这种悖论的解决方法是必须放弃原来的假定,因此在教学过程中需要改变学生的原认知结构,属于观念的转变,难度较大,属于第二层次。
一旦放弃原来的假定,矛盾就会迎刃而解。
通过这类矛盾的思考,学生会明白并非所学(现有)的知识都是可靠的,有利于纠正学生的直觉。
3.二难推理或二律背反型。
这种悖论通过一系列看起来好像无懈可击,但却导致逻辑上的自相矛盾。
因此这种悖论的解决最困难,学生不仅要从认知结构上改变,还要从逻辑推理上解决种种矛盾。
通过对这类矛盾的思考,学生会认识到悖论在数学的改进、重塑中起到的作用。
通过对三种悖论的学习,学生的改变可以同过下图理解。
图7.悖论的作用
(二)课程质量评价
数学悖论校本课程质量主要通过以下3个方面来进行评价。
1.学生喜欢学习哪些数学悖论?
它们以什么样的形式呈现?
2.学生喜欢哪些教学方法或教学样式?
教师如何教授能让学生感兴趣?
3.学生在本课程的学习过程中,主要增长了哪些方而的数学知识与技能?
主要发展了哪些方而的思维能力?
主要发生了哪方面的情感态度的变化?
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