图形平移过程中的探究性问题.docx
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图形平移过程中的探究性问题
图形平移过程中的探究性问题
实验中学王建辉
课标要求:
(1)通过具体实例认识平移,探索它的基本性质:
一个图形和它经过平移所得的图形中,两组对应点的连线平行(或在同一条直线上)且相等(参见例65)。
(2)认识并欣赏平移在自然界和现实生活中的应用。
(3)运用图形的轴对称、旋转、平移进行图案设计。
题型解读:
综合实践题是山西中考的必考题,这类题型属于过程探究题,旨在引导学生动手操作、自主探索、小组合作、交流共享。
通过图形的变化考查学生的动手实践、推理论证、几何直观和数学运算能力。
在实践过程中,学会发现问题、解决问题,培养严谨的逻辑思维、应用意识和创新意识,提高实践解决问题的能力。
学习目标:
1、回顾平移的概念、性质,体会平移的本质特征。
2、经历运用平移的概念和性质探究结论和证明结论的过程,发展推理能力和几何直观,提高综合应用知识解决问题的能力。
教学重难点:
重点:
回顾平移的性质,探索问题,解决与平移有关的证明和计算.
难点:
培养学生在实践过程中发现问题和解决问题。
教学方法:
动手操作、自主探索、小组合作、交流共享.
教学过程:
一、探索规律、归纳方法
师出示问题:
已知:
两个直角三角形纸片△ABC和△DEF,且△ABC≌△DEF,其中∠ACB=∠DFE=90°,BC=EF=2,AB=DE=4.
问题1:
创新小组将两张纸片按如图2方式放置,你能判断四边形ACBF的形状吗?
师:
指定一名学生回答。
生:
通过△ABC≌△DEF得对应线段相等,利用“对边相等的两四边形是平行四边形即可证明。
问题2:
将△DEF沿AB方向平移,点E平移到E′,点F平移到F′,连接CE′、BF′,试探究四边形CBF′E′的形状.
师:
根据平移的性质,你能找到问题2中平移解题有关的相等线段和相等的角.
师:
在这一平移变化过程中,你能回顾平移的定义和性质吗?
生:
平移概念:
在平面内,将一个图形沿某一方向移动一定的距离,这样的图形运动称为平移.平移不改变图形的形状和大小.
平移的性质:
一个图形和它经过的平移所得的图形中,对应点连线平行(或共线)且相等;对应线段平行(或共线)且相等;对应角相等.
师:
板书平移的定义和性质
生:
在△DEF沿AB方向平移过程中,AF‖E′F′,AF=E′F′,由问题1知AF‖BC,AF=BC,不难得出E′F′‖BC,E′F′=BC.
生:
在△DEF沿AB方向平移的过程中,四边形CBF′E′总是平行四边形.
师:
在△DEF沿AB方向平移过程中,四边形CBF′E′能是特殊的平行四边形吗?
此时平移的距离是多少呢?
生:
存在,四边形CBF′E′是菱形.CE′=BC=2,在Rt△ABC中,AB=4,BC=2,由sin∠ABC=1/2,得,∠ABC=60°,△BCE′是等边三角形.因此BE′=BC=2,点E′是AB的中点,平移距离AE'=2.
问题3:
请参照以上操作过程,利用图1中的两个三角形纸片,拼出一个新的图形,在图4中画出这个图形,标明字母,说明构图方法,并提出一个所要探究的问题,不必解答.
师:
答案不唯一,举例如下:
构图方式:
将△DEF纸片按照如图所示方式放置,
点C,F,B,E在同一直线上,DF交AB于点Q.
提出问题:
当△DEF的面积与四边形CFQA的面积相等时,
求CF的长.
课堂实施:
教师出示问题,让学生动手操作、自主探索,然后与学生回顾平移的定义和性质.
二、运用方法,解决问题
师出示问题:
在综合实践课上,老师让同学们对一张长AB=4,宽BC=3的矩形纸片ABCD进行剪拼操作.如图
(1),学习小组沿对角线AC剪开得到两张三角形纸片△ABC和△A'DC'.
操作发现
①将这两张三角形纸片按如图
(2)摆放,并发现新的问题,四边形A′BCA是平行四边形,你能证明这个结论.
操作探究
②在图
(2)中,将△A'C'D纸片沿射线AB的方向平移,连接AA',CC',
如图(3).在平移过程中,小组提出“四边形AA'C'C还可能为菱形”,你同意他们的想法吗?
试问当△A'C'D平移的距离是多少时,四边形AA'C'C为菱形?
师:
首先让学生5分钟完成上面的问题探索,然后分小组交流,订正答案,最后让学生表述自己的完成情况。
师:
利用几何画板演示平移的过程,让学生进一步体会发展学生的几何直观,通过学生的说明道理,发展推理能力。
达到提高学生综合应用知识解决问题的能力。
三、运用方法,能力提升
问题情境
在综合实践课上,王老师让同学们对一张长AB=4,宽BC=3的矩形纸片ABCD进行剪拼操作.如图
(1),“希望”小组沿对角线AC剪开得到两张三角形纸片△ABC和△A'DC'.
操作发现
①将这两张三角形纸片按如图
(2)摆放,连接BD,他们发现AC⊥BD,请证明这个结论.
操作探究
②在图
(2)中,将△A'C'D纸片沿射线AC的方向平移,连接BC',BA',在平移过程中:
如图(3),当BA'与C'D平行时,判断四边形
A'BC'D的形状,说明理由.
③思考题:
在②的情况下,求出此时△A'C'D平移的距离;
师:
图
(2)是由图
(1)如何摆放成的?
AC⊥BD成立吗?
生:
△ABC和△A′C′D关于AC轴对称,由矩形知:
AB=AD,BC=CD,可得点A在BD的垂直平分线上,点C在BD的垂直平分线上,进而得到AC是线段BD的垂直平分线上,即AC⊥BD.
师:
留给学生充足的时间独立思考,然后分小组交流讨论,并让学生展示,教师注意聆听学生表述有问题的地方,教师加以订正。
①首先要判断四边形A′BC′D是平行四边形,然后在根据∠A′DC′=90°,即可得出四边形A′BC′D是矩形;由题意可知,AC′的长度即△A′C′D为平移的距离,过B作BH⊥AA′于H,在△ABC中,利用等积法易求BH的长度,根据等腰三角形的性质及勾股定理,分别求出CH和AH的长度,利用AC′=AH-C′H即可.(有“等腰三角形三线合一”得AA'=2AH,
AC'=AH-A'C'也可求得.)
课堂实施:
教师出示问题,留给学生(10分钟)动手操作、自主探索,留5分钟小组合作、交流,然后与师生共享,达到问题解决,并总结解题方法.在问题3中,让学生大胆提出自己的构图方法,展示自己,表达自己的想法.
四、总结方法,达标训练
已知:
两个直角三角形纸片△ABC和△DEF,且△ABC≌△DEF,其中∠ACB=∠DFE=90°,BC=EF=2,AB=DE=4.将△DEF纸片按照如图所示方式放置,点C,F,B,E在同一直线上,DF交AB于点Q.当△DEF的面积与四边形CFQA的面积相等时,求CF的长.
五、小结:
本节课,你有哪些些收获?
师:
让一竖排的学生谈谈自己的收获.
目的:
让学生通过小结,回顾本节课的内容.
六:
作业安排:
在本节课“运用方法,能力提升”环节中,完成③问题后,继续平移,当BD经过点C时,试求△A'C'D平移的距离;
操作实践
请你参照本环节操作过程,利用图
(1)中的两张三角形,拼摆出新的图形,在图(4)中画出图形,标明字母,说明构图方法,并直接写出所要探究的问题,不必解答.
(当BD经过点C时,过D作DG⊥A′C′于G,根据∠DA′C'=∠ACB=∠DCA′,可得DC=DA′=3,再在Rt△A′C′D中,得到DG=12/5,运用勾股定理即可得出CG的长度,进而得到A′C=2CG,即A'C为△A′C′D平移的距离.)
必做题:
求平移的距离.
选做题:
操作实践
图形平移过程中的探究性问题
实验中学王建辉
学习目标:
1、回顾平移的概念、性质,体会平移的本质特征。
2、经历运用平移的概念和性质探究结论和证明结论的过程,发展推理能力和几何直观,提高综合应用知识解决问题的能力。
一、探索规律、归纳方法
已知:
两个直角三角形纸片△ABC和△DEF,且△ABC≌△DEF,
其中∠ACB=∠DFE=90°,BC=EF=2,AB=DE=4.
问题1:
创新小组将两张纸片按如图2方式放置,你能判断四边形ACBF的形状吗?
问题2:
在图3中,将△DEF沿AB方向平移,点E平移到E′,点F平移到F′,连接
CE′、BF′,试探究四边形CBF′E′的形状.
问题3:
请参照以上操作过程,利用图1中的两个三角形
纸片,拼出一个新的图形,在图4中画出这个图形,标明
字母,说明构图方法,并提出一个所要探究的问题,
不必解答.
二、运用方法,解决问题
在综合实践课上,老师让同学们对一张长AB=4,宽BC=3的矩形纸片ABCD进行剪拼操作.如图
(1),学习小组沿对角线AC剪开得到两张三角形纸片△ABC和△A'DC'.
操作发现
①将这两张三角形纸片按如图
(2)摆放,并发现新的问题,四边形A′BCA是平行四边形,你能证明这个结论.
操作探究
②在图
(2)中,将△A'C'D纸片沿射线AB的方向平移,连接AA',CC',
如图(3).在平移过程中,小组提出“四边形AA'C'C还可能为菱形”,你同意他们的想法吗?
试问当△A'C'D平移的距离是多少时,四边形AA'C'C为菱形?
三、运用方法,能力提升
问题情境
在综合实践课上,王老师让同学们对一张长AB=4,宽BC=3的矩形纸片ABCD进行剪拼操作.如图
(1),小组沿对角线AC剪开得到两张三角形纸片△ABC和△A'DC'.
操作发现
①将这两张三角形纸片按如图
(2)摆放,连接BD,他们发现AC⊥BD,请证明这个结论.
操作探究
②在图
(2)中,将△A'C'D纸片沿射线AC的方向平移,连接BC',BA',在平移过程中。
如图(3),当A'B与C'D平行时,判断四边形A'BC'D的形状,说明理由;
③思考题:
在②的情况下,求出此时△A'C'D平移的距离;
四、总结方法,达标训练
已知:
两个直角三角形纸片△ABC和△DEF,且△ABC≌△DEF,
其中∠ACB=∠DFE=90°,BC=EF=2,AB=DE=4.将△DEF纸片按照如图所示方式放置,点C,F,B,E在同一直线上,DF交AB于点Q.当△DEF的面积与四边形CFQA的面积相等时,求CF的长.
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- 图形 平移 过程 中的 探究性 问题