高考数学 考点单元复习教案18Word文档下载推荐.docx
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;
准线方程:
(4)离心率:
(与的比),,越接近1,椭圆越;
越接近0,椭圆越接近于.
(5)焦半径公式:
设分别为椭圆的左、右焦点,是椭圆上一点,则,=。
4.焦点三角形应注意以下关系(老师补充画出图形):
(1)定义:
r1+r2=2a
(2)余弦定理:
+-2r1r2cos=(2c)2
(3)面积:
=r1r2sin=·
2c|y0|(其中P()为椭圆上一点,|PF1|=r1,|PF2|=r2,∠F1PF2=)
典型例题
变式训练2:
已知P(x0,y0)是椭圆(a>b>0)上的任意一点,F1、F2是焦点,求证:
以PF2为直径的圆必和以椭圆长轴为直径的圆相内切.
证明设以PF2为直径的圆心为A,半径为r.
∵F1、F2为焦点,所以由椭圆定义知|PF1|+|PF2|=2a,|PF2|=2r
∴|PF1|+2r=2a,即|PF1|=2(a-r)连结OA,由三角形中位线定理,知
|OA|=
故以PF2为直径的圆必和以长轴为直径的圆相内切.
评注运用椭圆的定义结合三角形中位线定理,使题目得证。
例3.如图,椭圆的中心在原点,其左焦点与抛物线的焦点重合,过的直线与椭圆交于A、B两点,与抛物线交于C、D两点.当直线与x轴垂直时,.
(1)求椭圆的方程;
(2)求过点O、,并且与椭圆的左准线相切的圆的方程;
(3)求的最大值和最小值.
解:
(1)由抛物线方程,得焦点.
设椭圆的方程:
.
解方程组得C(-1,2),D(1,-2).
由于抛物线、椭圆都关于x轴对称,
∴,,∴.…………2分
∴又,
因此,,解得并推得.
故椭圆的方程为.…………4分
(2),
圆过点O、,
圆心M在直线上.
设则圆半径,由于圆与椭圆的左准线相切,
∴
由得解得
所求圆的方程为…………………………8分
(3)由
①若垂直于轴,则,
,
…………………………………………9分
②若与轴不垂直,设直线的斜率为,则直线的方程为
由得
,方程有两个不等的实数根.
设,.
………………………………11分
=
,所以当直线垂于轴时,取得最大值
当直线与轴重合时,取得最小值
变式训练3:
在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,0)、B(1,0),动点C满足条件:
△ABC的周长为2+2
.记动点C的轨迹为曲线W.
(1)求W的方程;
(2)经过点(0,
)且斜率为k的直线l与曲线W有两个不同的交点P和Q,
求k的取值范围;
(3)已知点M(
,0),N(0,1),在(Ⅱ)的条件下,是否存在常数k,使得向量与共线?
如果存在,求出k的值;
如果不存在,请说明理由.
(Ⅰ)设C(x,y),
∵,,
∴,
∴由定义知,动点C的轨迹是以A、B为焦点,长轴长为2
的椭圆除去与x轴的两个交点.
∴.∴.
∴W:
.…
(2)设直线l的方程为,代入椭圆方程,得.
整理,得.①
因为直线l与椭圆有两个不同的交点P和Q等价于
,解得或.
∴满足条件的k的取值范围为
(3)设P(x1,y1),Q(x2,y2),则=(x1+x2,y1+y2),
由①得.②
又③
因为,,所以.………
所以与共线等价于.
将②③代入上式,解得.
所以不存在常数k,使得向量与共线.
例4.已知椭圆W的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,两条准线间的距离为6.椭圆W的左焦点为,过左准线与轴的交点任作一条斜率不为零的直线与椭圆W交于不同的两点、,点关于轴的对称点为.
(1)求椭圆W的方程;
(2)求证:
();
(3)求面积的最大值.
(1)设椭圆W的方程为,由题意可知
解得,,,
所以椭圆W的方程为.……………………………………………4分
(2)解法1:
因为左准线方程为,所以点坐标为.于是可设直线的方程为.
得
.
由直线与椭圆W交于、两点,可知
,解得.
设点,的坐标分别为,,
则,,,.
因为,,
所以,.
又因为
所以.……………………………………………………………10分
解法2:
因为左准线方程为,所以点坐标为.
于是可设直线的方程为,点,的坐标分别为,,
则点的坐标为,,.
由椭圆的第二定义可得
所以,,三点共线,即.…………………………………10分
(3)由题意知
当且仅当时“=”成立,
所以面积的最大值为
.
变式训练4:
设、分别是椭圆的左、右焦点.
(1)若P是该椭圆上的一个动点,求的最大值和最小值;
(2)是否存在过点A(5,0)的直线l与椭圆交于不同的两点C、D,使得|F2C|=|F2D|?
若存在,求直线l的方程;
若不存在,请说明理由.
(1)易知
设P(x,y),则
,即点P为椭圆短轴端点时,有最小值3;
当,即点P为椭圆长轴端点时,有最大值4
(2)假设存在满足条件的直线l易知点A(5,0)在椭圆的外部,当直线l的斜率不存在时,直线l与椭圆无交点,所在直线l斜率存在,设为k
直线l的方程为
由方程组
依题意
当时,设交点C,CD的中点为R,
则
又|F2C|=|F2D|
∴20k2=20k2-4,而20k2=20k2-4不成立,所以不存在直线,使得|F2C|=|F2D|
综上所述,不存在直线l,使得|F2C|=|F2D|
小结归纳
1.在解题中要充分利用椭圆的两种定义,灵活处理焦半径,熟悉和掌握a、b、c、e关系及几何意义,能够减少运算量,提高解题速度,达到事半功倍之效.
2.由给定条件求椭圆方程,常用待定系数法.步骤是:
定型——确定曲线形状;
定位——确定焦点位置;
定量——由条件求a、b、c,当焦点位置不明确时,方程可能有两种形式,要防止遗漏.
3.解与椭圆的焦半径、焦点弦有关的问题时,一般要从椭圆的定义入手考虑;
椭圆的焦半径的取值范围是.
4.“设而不求”,“点差法”等方法,是简化解题过程的常用技巧,要认真领会.
5.解析几何与代数向量的结合,是近年来高考的热点,应引起重视.
第2课时双曲线
例2双曲线型自然通风塔的外形,是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面,它的最小半径为12m,上口半径为13m,下口半径为25m,高55m.选择适当的坐标系,求出此双曲线的方程(精确到1m).
如图8—17,建立直角坐标系xOy,使A圆的直径AA′在x轴上,圆心与原点重合.这时上、下口的直径CC′、BB′平行于x轴,且=13×
2(m),=25×
2(m).设双曲线的方程为(a>
0,b>
0)令点C的坐标为(13,y),则点B的坐标为(25,y-55).因为点B、C在双曲线上,所以
解方程组
由方程
(2)得(负值舍去).代入方程
(1)得化简得19b2+275b-18150=0(3)
解方程(3)得b≈25(m).所以所求双曲线方程为:
例3.中,固定底边BC,让顶点A移动,已知,且,求顶点A的轨迹方程.
取BC的中点O为原点,BC所在直线为x轴,建立直角坐标系,因为,所以B(),.利用正弦定理,从条件得,即.由双曲线定义知,点A的轨迹是B、C为焦点,焦距为4,实轴长为2,虚轴长为的双曲线右支,点(1,0)除外,即轨迹方程为().
已知双曲线的一条渐近线方程为,两条准线的距离为l.
(1)求双曲线的方程;
(2)直线l过坐标原点O且和双曲线交于两点M、N,点P为双曲线上异于M、N的一点,且直线PM,PN的斜率均存在,求kPM·
kPN的值.
(1)解:
依题意有:
可得双曲线方程为
(2)解:
设
所以
例4.设双曲线C:
的左、右顶点分别为A1、A2,垂直于x轴的直线m与双曲线C交于不同的两点P、Q。
(1)若直线m与x轴正半轴的交点为T,且,求点T的坐标;
(2)求直线A1P与直线A2Q的交点M的轨迹E的方程;
(3)过点F(1,0)作直线l与(Ⅱ)中的轨迹E交于不同的两点A、B,设,若
(T为(Ⅰ)中的点)的取值范围。
(1)由题,得,设
由
…………①
又在双曲线上,则…………②
联立①、②,解得
由题意,
∴点T的坐标为(2,0)…………3分
(2)设直线A1P与直线A2Q的交点M的坐标为(x,y)
由A1、P、M三点共线,得
…………③…………1分
由A2、Q、M三点共线,得
…………④…………1分
联立③、④,解得…………1分
∵在双曲线上,
∴轨迹E的方程为
…………1分
(3)容易验证直线l的斜率不为0。
故可设直线l的方程为
中,得
设
则由根与系数的关系,得……⑤
……⑥…………2分
∵∴有
将⑤式平方除以⑥式,得
∵
又
故
令∴,即
而,∴
)已知中心在原点,左、右顶点A1、A2在x轴上,离心率为的双曲线C经过点P(6,6),动直线l经过△A1PA2的重心G与双曲线C交于不同两点M、N,Q为线段MN的中点.
(1)求双曲线C的标准方程
(2)当直线l的斜率为何值时,。
本小题考查双曲线标准议程中各量之间关系,以及直线与双曲线的位置关系。
解
(1)设双曲线C的方程为
①
②②
又P(6,6)在双曲线C上,
由①、②解得
所以双曲线C的方程为。
(2)由双曲线C的方程可得
所以△A1PA2的重点G(2,2)
设直线l的方程为代入C的方程,整理得
③③②
整理得
④②
解得
由③,可得
⑤③②
由④、⑤,得
5.对于直线与双曲线的位置关系,要注意“数形转化”“数形结合”,既可以转化为方程组的解的个数来确定,又可以把直线与双曲线的渐近线进行比较,从“形”的角度来判断.
第3课时抛物线
1.抛物线定义:
平面内到和距离的点的轨迹叫抛物线,叫抛物线的焦点,叫做抛物线的准线(注意定点在定直线外,否则,轨迹将退化为一条直线).
2.抛物线的标准方程和焦点坐标及准线方程
①,焦点为,准线为.
②,焦点为,准线为.
③,焦点为,准线为.
④,焦点为,准线为.
3.抛物线的几何性质:
对进行讨论.
①点的范围:
、.
②对称性:
抛物线关于轴对称.
③离心率.
④焦半径公式:
设F是抛物线的焦点,是抛物线上一点,则.
⑤焦点弦长公式:
设AB是过抛物线焦点的一条弦(焦点弦)
i)若,,则=,.
ii)若AB所在直线的倾斜角为(则=
特别地,当时,AB为抛物线的通径,且=.
iii)S△AOB=(表示成P与θ的关系式).
iv)为定值,且等于.
例1.已知抛物线顶点在原点,对称轴是x轴,抛物线上的点到焦点的距离为5,求抛物线的方程和n的值.
设抛物线方程为,则焦点是F
∵点A(-3,n)在抛物线上,且|AF|=5
故解得P=4,
故所求抛物线方程为
变式训练1:
求顶点在原点,对称轴是x轴,并且顶点与焦点的距离等于6的抛物线方程.
因为对称轴是轴,可设抛物线方程为或∵,∴p=12
故抛物线方程为或
例2.已知抛物线C:
的焦点为F,过点F的直线l与C相交于A、B.
(1)若,求直线l的方程.
(2)求的最小值.
(1)解法一:
设直线的方程为:
代入整理得,
则是上述关于的方程的两个不同实根,所以
根据抛物线的定义知:
|AB|=
=
若,则
即直线有两条,其方程分别为:
解法二:
由抛物线的焦点弦长公式
|AB|=(θ为AB的倾斜角)易知sinθ=±
即直线AB的斜率k=tanθ=±
故所求直线方程为:
或.
(2)由
(1)知,
当且仅当时,|AB|有最小值4.
由
(1)知|AB|==
∴|AB|min=4(此时sinθ=1,θ=90°
)
过抛物线y2=4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点,它们的横坐标之和等于5,则这样的直线()
A.有且仅有一条B.有且仅有两条
C.有无数条D.不存在
B
例3.若A(3,2),F为抛物线的焦点,P为抛物线上任意一点,求的最小值及取得最小值时的P的坐标.
抛物线的准线方程为
过P作PQ垂直于准线于Q点,由抛物线定义得|PQ|=|PF|,∴|PF|+|PA|=|PA|+|PQ|
要使|PA|+|PQ|最小,A、P、Q三点必共线,即AQ垂直于准线,AQ与抛物线的交点为P点
从而|PA|+|PF|的最小值为
此时P的坐标为(2,2)
1.(xx·
辽宁理,10)已知点P是抛物线y2=2x上的一个动点,则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值为.
答案
一个酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的方程是x2,在杯内放入一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,则玻璃球的半径r的取值范围是。
例4.设A(x1,y1),B(x2,y2),两点在抛物线y=2x2上,l是AB的垂直平分线.
(1)当且仅当x1+x2取何值时,直线l经过抛物线的焦点F?
证明你的结论?
(2)当直线l的斜率为2时,求在y轴上的截距的取值范围.
(1)F∈l|FA|=|FB|A、B两点到抛物线的准线的距离相等.
∵抛物线的准线是x轴的平行线,y1≥0,y2≥0,依题意y1,y2不同时为0.∴上述条件等价于
y1=y2(x1+x2)(x1-x2)=0
∵x1≠x2∴x1+x2=0
即当且仅当x1+x2=0时,l过抛物线的焦点F.
(2)设l在y轴上的截距为b,依题意得l的方程为y=2x+b,过点A、B的直线方程可写为y=-x+m
所以x1、x2满足方程:
2x2+x-m=0
且x1+x2=-,由于A、B为抛物线上不同的两点,所以△=+8m>0,即m>-
设AB之中点为N(x0,y0),则x0=
y0=-x0+m=+m
由N∈l得:
+m=-+b
于是b=+m>-=
即l在y轴上截距的取值范围是(,+)
正方形ABCD中,一条边AB在直线y=x+4上,另外两顶点C、D在抛物线y2=x上,求正方形的面积.
设C、D的坐标分别为(y12,y1),(y22,y2)(y1>
y2),则直线CD的斜率为1.
∴==1,即y1+y2=1①
又|CD|==
=(y1-y2)
|BC|=(y12-y1+4恒正)
由|CD|=|BC|,有(y1-y2)=②
解①、②得y1=2或y1=3
当y1=2时,有|BC|=3,此时SABCD=18
当y1=3时,有|BC|=5,此时SABCD=50
∴正方形的面积为18或50.
1.求抛物线方程要注意顶点位置和开口方向,以便准确设出方程,然后用待定系数法.
2.利用好抛物线定义,进行求线段和的最小值问题的转化.
3.涉及抛物线的弦的中点和弦长等问题要注意利用韦达定理,能避免求交点坐标的复杂运算.
4、解决焦点弦问题时,抛物线的定义有广泛的应用,应注意焦点弦的几何性质.
第4课时直线与圆锥曲线的位置关系
1.直线与圆锥曲线的位置关系,常用研究方法是将曲线方程与直线方程联立,由所得方程组的解的个数来决定,一般地,消元后所得一元二次方程的判别式记为△,△>
0时,有两个公共点,△=0时,有一个公共点,△<
0时,没有公共点.但当直线方程与曲线方程联立的方程组只有一组解(即直线与曲线只有一个交点)时,直线与曲线未必相切,在判定此类情形时,应注意数形结合.(对于双曲线,重点注意与渐近线平行的直线,对于抛物线,重点注意与对称轴平行的直线)
2.直线与圆锥曲线的交点间的线段叫做圆锥曲线的弦.设弦AB端点的坐标为A(x1,y1),B(x2,y2),直线AB的斜率为k,则:
|AB|=————————或:
—————————.
利用这个公式求弦长时,要注意结合韦达定理.
当弦过圆锥曲线的焦点时,可用焦半径进行运算.
3.中点弦问题:
设A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆上不同的两点,且x1≠x2,x1+x2≠0,M(x0,y0)为AB的中点,则
两式相减可得
即.
对于双曲线、抛物线,可得类似的结论.
例1.直线y=ax+1与双曲线3x2-y2=1相交于A、B两点.
(1)当a为何值时,A、B两点在双曲线的同一支上?
当a为何值时,A、B两点分别在双曲线的两支上?
(2)当a为何值时,以AB为直径的圆过原点?
消去y
(1)联立(3-a2)x2-2ax-2=0①
显然a2≠3,否则方程①只有一解,于是直线与双曲线至多一个交点.
若交点A、B在双曲线同支上,则方程①满足:
a∈(-,-)∪(,)
若A、B分别在双曲线的两支上,则有:
a∈(-,)
(2)若以AB为直径的圆过点O,则OA⊥OB,设A(x1,y1),B(x2,y2)由于x1+x2=,x1x2=.
∴y1y2=(ax1+1)(ax2+1)=a(x1+x2)+a2x1x2+1
=a2·
+a·
+1=1
∵OA⊥OB∴x1x2+y1y2=0∴+1a=±
1
此时△>0,符合要求.
已知直线y=(a+1)x-1与曲线y2=ax恰有一个公共点,求实数a的值.
联立方程为
(1)当a=0时,此时方程组恰有一组解
(2)当a≠0时,消去x得
①若=0,即a=-1方程变为一次方程,-y-1=0,方程组恰有一组解
②若≠0,即a≠-1,令△=0
得1+,解得a=-
此时直线与曲线相切,恰有一个公共点,综上所述知,当a=0,-1,-时,直线与曲线只有一个公共点.
例2.已知双曲线方程2x2-y2=2.
(1)求以A(2,1)为中点的双曲线的弦所在直线方程;
(2)过点B(1,1)能否作直线l,使l与所给双曲线交于Q1、Q2两点,且点B是弦Q1Q2的中点?
这样的直线l如果存在,求出它的方程;
如果不存在,说明理由.
(1)即设的中点弦两端点为,则有关系.又据对称性知,所以是中点弦所在直线的斜率,由、在双曲线上,则有关系.两式相减是:
∴∴
所求中点弦所在直线为,即.
(2)可假定直线存在,而求出的方程为,即
方法同
(1),联立方程,消去y,得
然而方程的判别式,无实根,因此直线与双曲线无交点,这一矛盾说明了满足条件的直线不存在.
若椭圆的弦被点(4,2)平分,则此弦所在直线的斜率为()
A.2B.-2
C.D.-
D
例3.在抛物线y2=4x上恒有两点关于直线y=kx+3对称,求k的取值范围.
解法一:
设、关于直线对称,直线方程为,代入得,,设、,中点,则
∵点在直线上,∴
∴,代入,得,即
设,关于对称,中点,则
相减得:
∴,则
∵在抛物线内部,∴
化简而得,即,解得.
设抛物线的焦点为F,经过点P(2,1)的直线l与抛物线相交于A、B两点,又知点P恰为AB的中点,则.
8
例4.已知椭圆=1(a为常数,且a>
1),向量=(1,t)(t>
0),过点A(-a,0)且以为方向向量的直线与椭圆交于点B,直线BO交椭圆于点C(O为坐标原点).
(1)求t表示△ABC的面积S(t);
(2)若a=2,t∈[,1],求S(t)的最大值.
(1)直线AB的方程为:
y=t(x+a),
由得
∴y=0或y=
∴点B的纵坐标为
∴S(t)=S△ABC=2S△AOB=|OA|·
yB
(2)当a=2时,S(t)==
∵t∈[,1],∴4t+≥2=4
当且仅当4t=,t=时,上式等号成立.
∴S(t)=≤=2
即S(t)的最大值S(t)max=2
设椭圆C:
的左焦点为F,上顶点为A,过点A作垂直于AF的直线交椭圆C于另外一点P,交x轴正半轴于点Q,且
(1)求椭圆C的离心率;
(2)若过A、Q、F三点的圆恰好与直线l:
相切,求椭圆C的方程.
⑴设Q(x0,0),由F(-c,0)
A(0,b)知
…2分
设,得……
因为点P在椭圆上,所以
……
整理得2b2=3ac,即2(a2-c2)=3ac,,故椭圆的离心率e=
⑵由⑴知
于是F(-
a,0),Q
△AQF的外接圆圆心为(a,0),半径r=
|FQ|=a………
所以,解得a=2,∴c=1,b=,
所求椭圆方程为
1.判断直线与圆锥
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