人教版部编版八年级数学上册第十二章第一节全等三角形练习题含答案 59Word格式文档下载.docx
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(2)若△POB的面积为3,则t的值为4或8;
(3)存在这样的点P,使△EOP≌△AOB,t的值是3或9.
(1)根据非负数的性质列方程求解即可;
(2)分两种情况:
①当点P在线段AO上时,②当点P在线段AO的延长线上时,分别根据△POB的面积为3构造方程求解即可;
(3)当OP=OB=3时,分两种情况,画出符合条件的两种图形,可通过AAS证明两三角形全等,结合图形和全等三角形的性质即可得出答案.
(1)∵
∴m-n-3=0,2n-6=0,
解得:
n=3,m=6,
∴OA=6,OB=3;
①当点P在线段AO上时,
∵AP=t,
∴PO=6-t,
∴△POB的面积=
t=4;
②当点P在线段AO的延长线上时,
∴PO=t-6,
t=8,
综上,若△POB的面积为3,则t的值为4或8;
(3)当OP=OB=3时,分两种情况:
①如图:
∵∠BAO+∠APD=90°
,∠APD=∠OPE,∠OPE+∠PEO=90°
∴∠BAO=∠PEO,
又∵∠BOA=∠POE=90°
,OP=OB,
∴△EOP≌△AOB(AAS),
∵OP=OB=3,
∴AP=6-3=3,
∴t=3,
②如图:
同理可证△EOP≌△AOB(AAS),
∴AP=6+3=9,
∴t=9,
即存在这样的点P,使△EOP≌△AOB,t的值是3或9.
本题考查了非负数的性质,坐标与图形,三角形面积计算,全等三角形的性质和判定等知识点的综合运用,题目比较典型,但是有一定的难度,注意要进行分类讨论.
83.如图,△ABC中,AD⊥BC于点D,AD=DC,点F在AD上,AB=FC,BF的延长线交AC于点E.
(1)求证:
△ABD≌△CFD.
(2)求证:
CF⊥AB.
(1)见解析;
(2)见解析.
(1)由已知可利用HL直接证明Rt△ABD≌Rt△CFD;
(2)由全等三角形的性质可得∠DCF=∠DAB,利用直角三角形两锐角互余,通过等量代换可求出∠DCF+∠ABD=90°
,可得CF⊥AB.
证明:
(1)∵AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC=90°
在Rt△ABD和Rt△CFD中,
∴Rt△ABD≌Rt△CFD(HL);
(2)延长CF交AB于点G,
∵Rt△ABD≌Rt△CFD,
∴∠DCF=∠DAB,
∵∠DAB+∠ABD=90°
∴∠DCF+∠ABD=90°
∴∠BGC=90°
,即CF⊥AB.
本题考查了全等三角形的判定和性质,熟练掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题关键.
84.在平面直角坐标系中,三角形△ABC为等腰直角三角形,AC=BC,BC交x轴于点D.
(1)若A(-4,0),C(0,2),求点B的坐标;
(2)若∠EDB=∠ADC,问∠ADE与∠CAD满足怎样的关系?
并证明.
(3)若AD平分∠BAC,A(-4,0),D(m,0),B的纵坐标为n,试探究m、n之间满足怎样的关系?
(1)(2,-2);
(2)∠ADE=2∠CAD;
(3)(4+n)2=4m
(1)作BE垂直于y轴于点E,证明△ACO≌△CBE,再通过A,C的坐标求出B点坐标即可;
(2)∠ADC为△ADB的外角,则∠ADC=∠B+∠DAB,∠AFD是△DFB的外角,∠AFD=∠B+∠EDB,再通过角度转换得到∠ADE与∠CAD的关系即可(3)作BE垂直于y轴于点E,证明△ACO≌△CBE,再由AD为角平分线,则△COD∽△AOH,通过相似比列出m,n的关系式即可.
(1)作BE垂直于y轴于点E,
∵∠ACO+∠ECB=90°
,∠ACO+∠CAO=90°
∴∠CAO=∠BCE,
在△ACO和△CBE中
∴△ACO≌△CBE(AAS)
∵A(-4,0),C(0,2),
∴BE=CO=2,CE=AO=4,
∴OE=2,
∴点B的坐标为(2,-2);
(2)AB,ED的交点记为F,
∠ADC为△ADB的外角,
则∠ADC=∠B+∠DAB,
∵∠ADC=∠EDB,
∴∠EDB=∠B+∠DAB,
∵∠AFD是△DFB的外角,
∴∠AFD=∠B+∠EDB,
∵△ABC为等腰直角三角形,
∴∠B=∠CAB=45°
∴∠AFD=90°
+∠FAD,
∴∠ADF=180°
-(90°
+∠FAD)-∠FAD=90°
-2∠FAD,
∠FAD=45°
-∠CAD,
∴∠ADE=90°
-2(45°
-∠CAD),
∴∠ADE=2∠CAD;
(3)作BE垂直于y轴于点E,AB与y轴交于点H,
∵A(-4,0),D(m,0),B的纵坐标为n,
∴CE=AO=4,OE=-n,CO=4+n,
∵AD平分∠CAB,
则AH=AC,CO=OH,
则△COD∽△AOH,
则(4+n)2=4m
本题考查了全等三角形的判定与性质,坐标与图形的性质,等腰直角三角形的性质,同角的余角相等的性质,作辅助线构造出全等三角形是解题的关键.
85.如图,以△ABC的边AB、AC为腰分别向外作等腰直角三角形ABD和等腰直角三角形ACE,连接DE.若M为BC中点,MA延长线交DE于点H,
(1)求证:
AH⊥DE.
(2)若DE=4,AH=3,求△ABM的面积
(2)3
(1)延长AM至点F,使MF=AM,连接BF,直接证明△AMC≌△FMB,然后通过角度转换得到∠FBA=∠DAE,再证明FBA≌△EAD,即可求得∠AHE=90°
;
(2)DE=4,AH=3,求出S△ADE,从而得出S△ABC,M为BC的中点,即可求得△ABM的面积.
(1)延长AM至点F,使MF=AM,连接BF,
∵M为BC的中点,∠AMC=∠BMF,
在△AMC和△FMB中
∴△AMC≌△FMB(SAS)
∴∠BFM=∠MAC,∠FBM=∠MCA,BF=CA,
△ABD和△ACE都为等腰直角三角形,
∴∠DAE=180°
-∠BAC,
∴∠FBA=∠DAE,
在△FBA和△EAD中
∴△FBA≌△EAD(SAS),
∴∠BFA=∠AED,
∵∠EAC=90°
∴∠MAC+∠HAE=90°
∴∠HAE+∠DEA=90°
∴∠AHE=90°
∴AH⊥DE;
(2)∵DE=4,AH=3,
∴S△ADE=3×
4÷
2=6,
∴S△FBA=6,即S△ABC=6,
∵M为BC的中点,
∴S△ABM=3
本题主要考查三角形的综合证明,熟练掌握三角形全等的性质,辅助线知识,角度及面积计算是解决本题的关键
86.如图所示,∠ACB=90°
AC=BC,BE⊥CE,AD⊥CE于D.
(1)求证ΔACD≌ΔCBE.
(2)若AD=2.5cm,DE=1.1cm,求BE的长.
(1)证明见详解;
(2)1.4cm.
(1)根据
求得
利用角角边定理可证
(2)由
(1)的结论可知
将已知数据代入即可求得答案.
(1)
(三角形内角和定理)
又
(2)由
(1)知
的长是1.4cm.
本题考查了全等三角形的判定和性质,明确图形中的角与边的关系是解题的关键.
87.如图所示,△ABC≌△DEF,AM、DN分别是△ABC和△DEF的角平分线,
AM=DN
(2)其他两对应角的角平分线也有此结果吗?
它们有什么规律,请用一句话表示出来.
(1)证明见解析;
(2)全等三角形的对应角平分线相等.
先根据全等三角形的判定得出△BAM≌△EDN,再根据全等三角形的性质可得.
(1)∵△ABC≌△DEF,∴AB=DE,∠B=∠E,∠BAC=∠EDF.
又∵AM平分∠BAC,DN平分∠EDF,∴∠BAM
∠BCA,∠EDN
∠EDF,∴∠BAM=∠EDN.
在△BAM与△EDN中,∵
,∴△BAM≌△EDN;
∴AM=DN.
(2)其他两对应角平分线也有此结果(同理可证),规律是全等三角形的对应角平分线相等.
本题考查了三角形全等的判定和性质问题,在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.
88.如图点C,E,F,B在同一直线上,点A,D在BC异侧,AB=CD,∠A=∠D.请你结合图形添加适当的条件:
从而可以得出△ABE≌△DCF.根据你添加的条件写出证明过程.
【答案】AB∥CD.
根据平行线的性质可得∠B=∠C,然后利用ASA判定△ABE≌△DCF.
添加条件为:
AB∥CD.理由如下:
∵AB∥CD,∴∠B=∠C.
在△ABE和△DCF中,∵∠A=∠D,AB=DC,∠B=∠C,∴△ABE≌△DCF(ASA).
本题考查了全等三角形的判定.在判定三角形全等时,关键是选择恰当的判定条件.
89.如图1,在△ACB和△AED中,AC=BC,AE=DE,∠ACB=∠AED=90°
,点E在AB上,F是线段BD的中点,连接CE、FE.
(1)请你探究线段CE与FE之间的数量关系(直接写出结果,不需说明理由);
(2)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转,使△AED的一边AE恰好与△ACB的边AC在同一条直线上(如图2),连接BD,取BD的中点F,问
(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由;
(3)将图1中的△AED绕点A顺时针旋转任意的角度(如图3),连接BD,取BD的中点F,问
(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
(1)线段CE与FE之间的数量关系是CE=
FE;
(2)
(1)中的结论仍然成立.理由见解析;
(3)
(1)中的结论仍然成立.理由见解析
(1)连接CF,直角△DEB中,EF是斜边BD上的中线,因此EF=DF=BF,∠FEB=∠FBE,同理可得出CF=DF=BF,∠FCB=∠FBC,因此CF=EF,由于∠DFE=∠FEB+∠FBE=2∠FBE,同理∠DFC=2∠FBC,因此∠EFC=∠EFD+∠DFC=2(∠EBF+∠CBF)=90°
,因此△EFC是等腰直角三角形,CF=
EF;
(2)思路同
(1)也要通过证明△EFC是等腰直角三角形来求解.连接CF,延长EF交CB于点G,先证△EFC是等腰三角形,可通过证明CF是斜边上的中线来得出此结论,那么就要证明EF=FG,就需要证明△DEF和△FGB全等.这两个三角形中,已知的条件有一组对顶角,DF=FB,只要再得出一组对应角相等即可,我们发现DE∥BC,因此∠EDB=∠CBD,由此构成了两三角形全等的条件.EF=FG,那么也就能得出△CFE是个等腰三角形了,下面证明△CFE是个直角三角形.由上面的全等三角形可得出ED=BG=AD,又由AC=BC,因此CE=CG,∠CEF=45°
,在等腰△CFE中,∠CEF=45°
,那么这个三角形就是个等腰直角三角形,因此就能得出
(1)中的结论了;
(3)思路同
(2)通过证明△CFE来得出结论,通过全等三角形来证得CF=FE,取AD的中点M,连接EM,MF,取AB的中点N,连接FN、CN、CF.那么关键就是证明△MEF和△CFN全等,利用三角形的中位线和直角三角形斜边上的中线,我们不难得出EM=PN=
AD,EC=MF=
AB,我们只要再证得两对应边的夹角相等即可得出全等的结论.我们知道PN是△ABD的中位线,那么我们不难得出四边形AMPN为平行四边形,那么对角就相等,于是90°
+∠CNF=90°
+∠MEF,因此∠CNF=∠MEF,那么两三角形就全等了.证明∠CFE是直角的过程与
(1)完全相同.那么就能得出△CEF是个等腰直角三角形,于是得出的结论与
(1)也相同.
(1)如图1,连接CF,线段CE与FE之间的数量关系是CE=
解法1:
∵∠AED=∠ACB=90°
∴B、C、D、E四点共圆
且BD是该圆的直径,
∵点F是BD的中点,
∴点F是圆心,
∴EF=CF=FD=FB,
∴∠FCB=∠FBC,∠ECF=∠CEF,
由圆周角定理得:
∠DCE=∠DBE,
∴∠FCB+∠DCE=∠FBC+∠DBE=45°
∴∠ECF=45°
=∠CEF,
∴△CEF是等腰直角三角形,
∴CE=
EF.
解法2:
易证∠BED=∠ACB=90°
∴CF=EF=FB=FD,
∵∠DFE=∠ABD+∠BEF,∠ABD=∠BEF,
∴∠DFE=2∠ABD,
同理∠CFD=2∠CBD,
∴∠DFE+∠CFD=2(∠ABD+∠CBD)=90°
即∠CFE=90°
(2)
(1)中的结论仍然成立.
如图2﹣1,连接CF,延长EF交CB于点G,
∵∠ACB=∠AED=90°
∴DE∥BC,
∴∠EDF=∠GBF,
又∵∠EFD=∠GFB,DF=BF,
∴△EDF≌△GBF,
∴EF=GF,BG=DE=AE,
∵AC=BC,
∴CE=CG,
∴∠EFC=90°
,CF=EF,
∴△CEF为等腰直角三角形,
∴∠CEF=45°
如图2﹣2,连结CF、AF,
∵∠BAD=∠BAC+∠DAE=45°
+45°
=90°
又点F是BD的中点,
∴FA=FB=FD,
而AC=BC,CF=CF,
∴△ACF≌△BCF,
∴∠ACF=∠BCF=
∠ACB=45°
∵FA=FB,CA=CB,
∴CF所在的直线垂直平分线段AB,
同理,EF所在的直线垂直平分线段AD,
又DA⊥BA,
∴EF⊥CF,
(3)
(1)中的结论仍然成立.
如图3﹣1,取AD的中点M,连接EM,MF,取AB的中点N,连接FN、CN、CF,
∵DF=BF,
∴FM∥AB,且FM=
AB,
∵AE=DE,∠AED=90°
∴AM=EM,∠AME=90°
∵CA=CB,∠ACB=90°
∴CN=AN=
AB,∠ANC=90°
∴MF∥AN,FM=AN=CN,
∴四边形MFNA为平行四边形,
∴FN=AM=EM,∠AMF=∠FNA,
∴∠EMF=∠FNC,
∴△EMF≌△FNC,
∴FE=CF,∠EFM=∠FCN,
由MF∥AN,∠ANC=90°
,可得∠CPF=90°
∴∠FCN+∠PFC=90°
∴∠EFM+∠PFC=90°
FE.
本题解题的关键是通过全等三角形来得出线段的相等,如果没有全等三角形的要根据已知条件通过辅助线来构建.
90.如图,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,AD平分∠BAC,BD=CD
BE=CF;
(2)已知AC=10,DE=4,BE=2,求△AEC的面积
(2)36.
(1)根据角平分线性质和全等三角形的性质得出即可;
(2)根据全等三角形的判定得出Rt△AED≌Rt△AFD,根据全等三角形的性质得出AE=AF,利用三角形面积公式即可得出答案.
(1)证明:
∵AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,
∴DE=DF,∠DEB=∠DFC=90°
在Rt△BED和Rt△CFD中
∴Rt△BED≌Rt△CFD(HL),
∴BE=CF;
(2)解:
∵DE⊥AB,DF⊥AC,
∴∠E=∠DFA=90°
在Rt△AED和Rt△AFD中
∴Rt△AED≌Rt△AFD(HL),
∴AE=AF,
∵Rt△BED≌Rt△CFD,
∴CF=BE,
∵AC=10,BE=2,
∴AE=AF=10-2=8,DE=DF=4,
∴△AEC的面积=
.
本题考查了全等三角形的性质和判定,角的平分线性质的应用,能灵活运用定理进行推理是解此题的关键.
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