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★等腰三角形的性质定理:
等腰三角形的两个底角相等(即等边对等角)
★等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边
★等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合
等边三角形的各角都相等,并且每一个角都等于60°
★等腰三角形的判定定理:
如果一个三角形有两个角相等,那么这两个角所对的边也相等(等角对等边)
三个角都相等的三角形是等边三角形
有一个角等于60°
的等腰三角形是等边三角形
★在直角三角形中,如果一个锐角等于30°
,那么它所对的直角边等于斜边的一半
★一个角为的直角三角形三边之比:
★会利用直角三角形三边之比求、的正弦、余弦、正切值
★直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等
★逆定理:
和一条线段两个端点距离相等的点,在这条线段的垂直平分线上
★线段的垂直平分线可看作和线段两端点距离相等的所有点的集合
关于某条直线对称的两个图形是全等图形
如果两个图形关于某直线对称,那么对称轴是对应点连线的垂直平分线
★定理3:
两个图形关于某直线对称,如果它们的对应线段或延长线相交,那么交点在对称轴上
如果两个图形的对应点连线被同一条直线垂直平分,那么这两个图形关于这条直线对称
★勾股定理:
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方,即
★勾股定理的逆定理:
如果三角形的三边长a、b、c有关系,那么这个三角形是直角三角形
★直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项
★直角三角形的任一直角边是斜边和该直角边在斜边上射影的比例中项
★多边形内角和定理:
n边形的内角的和等于(n-2)×
180°
任意多边的外角和等于360°
★平行四边形性质定理:
平行四边形的对角相等;
平行四边形的对边相等;
平行四边形的对角线互相平分。
★推论夹在两条平行线间的平行线段相等
★平行四边形判定定理:
1两组对角分别相等的四边形是平行四边形
2两组对边分别平行的四边形是平行四边形
3两组对边分别相等的四边形是平行四边形
4对角线互相平分的四边形是平行四边形
5一组对边平行且相等的四边形是平行四边形
★矩形性质定理:
1矩形的四个角都是直角2矩形的对角线相等
★矩形判定定理:
1、有三个角是直角的四边形是矩形;
2、有一个角是直角的平行四边形是矩形;
3、对角线相等的平行四边形是矩形。
★菱形性质定理:
1菱形的四条边都相等;
2菱形的对角线互相垂直,并且每一条对角线平分一组对角
★菱形面积==对角线乘积的一半
★菱形判定定理:
1四边都相等的四边形是菱形;
2对角线互相垂直的平行四边形是菱形
3有一组邻边相等的平行四边形是菱形
★正方形性质定理:
1正方形的四个角都是直角,四条边都相等
2正方形的两条对角线相等,并且互相垂直平分,每条对角线平分一组对角
★正方形的判定:
1有一组邻边相等的矩形是正方形
2两对角线互相垂直的矩形是正方形
3有一个角是直角的菱形是正方形
4两对角线相等的菱形是正方形
5两对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形
关于中心对称的两个图形是全等的
关于中心对称的两个图形,对称点连线都经过对称中心,并且被对称中心平分
如果两个图形的对应点连线都经过某一点,并且被这一点平分,那么这两个图形关于这一点对称
★等腰梯形性质定理:
等腰梯形在同一底上的两个角相等;
等腰梯形的两条对角线相等
★等腰梯形判定定理:
在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形;
对角线相等的梯形是等腰梯形
★平行线等分线段定理:
如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等,那么在其他直线上截得的线段也相等
经过梯形一腰的中点与底平行的直线,必平分另一腰
经过三角形一边的中点与另一边平行的直线,必平分第三边
★三角形中位线定理:
三角形的中位线平行于第三边,并且等于它的一半
★梯形中位线定理:
梯形的中位线平行于两底,并且等于两底和的一半
★
(1)比例的基本性质:
如果a:
b=c:
d,那么ad=bc如果ad=bc,那么a:
d
★
(2)合比性质:
如果a/b=c/d,那么(a±
b)/b=(c±
d)/d
★(3)等比性质:
如果a/b=c/d=…=m/n那么(a+c+…+m)/(b+d+…+n)=a/b
★平行线分线段成比例定理:
三条平行线截两条直线,所得的对应线段成比例
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例
如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例,那么这条直线平行于三角形的第三边
★平行于三角形的一边,并且和其他两边相交的直线,所截得的三角形的三边与原三角形三边对应成比例
平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边的延长线)相交,所构成的三角形与原三角形相似
★相似三角形判定定理:
1两角对应相等,两三角形相似(ASA)
2两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似(SAS)
3三边对应成比例,两三角形相似(SSS)
★直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似
★如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直角边对应成比例,那么这两个直角三角形相似
★性质定理
1相似三角形对应高的比,对应中线的比与对应角平分线的比都等于相似比
2相似三角形周长的比等于相似比
3相似三角形面积的比等于相似比的平方
★任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值,
任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值
任意锐角的正切值等于它的余角的余切值,任意锐角的余切值等于它的余角的正切值
★圆是到定点的距离等于定长的点的集合
★圆的内部可以看作是到圆心的距离小于半径的点的集合
★圆的外部可以看作是到圆心的距离大于半径的点的集合
★同圆或等圆的半径相等
★到定点的距离等于定长的点的轨迹,是以定点为圆心,定长为半径的圆
★和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹,是这条线段的垂直平分线
★到已知角的两边距离相等的点的轨迹,是这个角的平分线
★到两条平行线距离相等的点的轨迹,是和这两条平行线平行且距离相等的一条直线
不在同一直线上的三点确定一个圆。
★垂径定理:
垂直于弦的直径平分这条弦并且平分弦所对的两条弧
①平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧
②弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧
③平分弦所对的一条弧的直径,必垂直平分弦,并且平分弦所对的另一条弧
圆的两条平行弦所夹的弧相等
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等
在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两弦的弦心距中有一组量相等那么它们所对应的其余各组量都相等
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半
★推论1:
同弧或等弧所对的圆周角相等;
同圆或等圆中,相等的圆周角所对的弧也相等
半圆(或直径)所对的圆周角是直角;
90°
圆周角所对的弦是直径
如果三角形一边上的中线等于这边的一半,那么这个三角形是直角三角形
圆的内接四边形的对角互补,并且任何一个外角都等于它的内对角
★①直线L和⊙O相交d<r②直线L和⊙O相切d=r③直线L和⊙O相离d>r
★切线的判定定理:
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线
★切线的性质定理:
圆的切线垂直于经过切点的半径
经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点
经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心
★切线长定理:
从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等,圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角
★圆的外切四边形的两组对边的和相等
★弦切角定理:
弦切角等于它所夹的弧对的圆周角
如果两个弦切角所夹的弧相等,那么这两个弦切角也相等
★相交弦定理:
圆内的两条相交弦,被交点分成的两条线段长的积相等
★切割线定理:
从圆外一点引圆的切线和割线,切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项
★推论从圆外一点引圆的两条割线,这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等
★如果两个圆相切,那么切点一定在连心线上
★①两圆外离d>R+r
②两圆外切d=R+r
③两圆相交R-r<d<R+r(R>r)
④两圆内切d=R-r(R>r)
⑤两圆内含d<R-r(R>r)
相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦
任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆,这两个圆是同心圆
初中几何综合复习
一、典型例题
例1(2005重庆)如图,在△ABC中,点E在BC上,点D在AE上,已知∠ABD=∠ACD,∠BDE=∠CDE.求证:
BD=CD。
例2(2005南充)如图2-4-1,⊿ABC中,AB=AC,以AC为直径的⊙O与AB相交于点E,点F是BE的中点.
(1)求证:
DF是⊙O的切线.
(2)若AE=14,BC=12,求BF的长.
例3.用剪刀将形状如图1所示的矩形纸片ABCD沿着直线CM剪成两部分,其中M为AD的中点.用这两部分纸片可以拼成一些新图形,例如图2中的Rt△BCE就是拼成的一个图形.
(1)用这两部分纸片除了可以拼成图2中的Rt△BCE外,还可以拼成一些四边形.请你试一试,把拼好的四边形分别画在图3、图4的虚框内.
(2)若利用这两部分纸片拼成的Rt△BCE是等腰直角三角形,设原矩形纸片中的边AB和BC的长分别为a厘米、b厘米,且a、b恰好是关于x的方程
的两个实数根,试求出原矩形纸片的面积.
2、强化训练
练习一:
填空题
1.一个三角形的两条边长分别为9和2,第三边长为奇数,则第三边长为.
2.已知∠a=60°
∠AOB=3∠a,OC是∠AOB的平分线,则∠AOC=___.
3.直角三角形两直角边的长分别为5cm和12cm,则斜边上的中线长为
4.等腰Rt△ABC,斜边AB与斜边上的高的和是12厘米,则斜边AB=厘米.
5.已知:
如图△ABC中AB=AC,且EB=BD=DC=CF,∠A=40°
则∠EDF的度数为________.
6.点O是平行四边形ABCD对角线的交点,若平行四边行ABCD的面积为8cm
,则△AOB的面积为.
7.如果圆的半径R增加10%,则圆的面积增加_________.
8.
梯形上底长为2,中位线长为5,则梯形的下底长为.
9.△ABC三边长分别为3、4、5,与其相似的△A′B′C′的最大边长是10,则△A′B′C′的面积是.
10.在Rt△ABC中,AD是斜边BC上的高,如果BC=a,∠B=30°
,那么AD等于.
练习二:
选择题
1.一个角的余角和它的补角互为补角,则这个角等于[]
A.30°
B.45°
C.60°
D.75°
2.将一张矩形纸对折再对折(如图),然后沿着图中的虚线剪下,得到①、②两部分,将①展开后得到的平面图形是[]
A.矩形B.三角形
C.梯形D.菱形
3.下列图形中,不是中心对称图形的是[]
A.B.C.D.
4.既是轴对称,又是中心对称的图形是[]
A.等腰三角形 B.等腰梯形
C.平行四边形 D.线段
5.依次连结等腰梯形的各边中点所得的四边形是[]
A.矩形 B.正方形C.菱形 D.梯形
6.如果两个圆的半径分别为4cm和5cm,圆心距为1cm,那么这两个圆的位置关系是[]
A.相交 B.内切 C.外切 D.外离
7.已知扇形的圆心角为120°
,半径为3cm,那么扇形的面积为[]
8.A.B.C三点在⊙O上的位置如图所示,
若∠AOB=80°
,则∠ACB等于[]
A.160°
B.80°
C.40°
D.20°
9.已知:
AB∥CD,EF∥CD,且∠ABC=20°
,∠CFE=30°
则∠BCF的度数是[]
A.160°
B.150°
C.70°
D.50°
(第9题图)(第10题图)
10.如图OA=OB,点C在OA上,点D在OB上,OC=OD,AD和BC相交于E,图中全等三角形共有[]
A.2对 B.3对 C.4对 D.5对
练习三:
几何作图
1.下图左边格点图中有一个四边形,请在右边的格点图中画出一个与该四边形相似的图形,要求大小与左边四边形不同。
2.正方形网格中,小格的顶点叫做格点,小华按下列要求作图:
①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点,使其中任意两点不在同一条实线上;
②连结三个格点,使之构成直角三角形,小华在左边的正方形网格中作出了Rt△ABC,请你按照同样的要求,在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形,并使三个网格中的直角三角形互不全等。
3.将图中的△ABC作下列运动,画出相应的图形,并指出三个顶点的坐标所发生的变化.
(1)沿y轴正向平移2个单位;
(2)关于y轴对称;
4.如图,要在河边修建一个水泵站,分别向张村,李村送水.修在河边什么地方,可使所用的水管最短?
(写出已知,求作,并画图)
练习四:
计算题
1.求值:
cos45°
+tan30°
sin60°
.
2.如图:
在矩形ABCD中,两条对角线AC、BD相交于点O,AB=4cm,AD=
cm.
(1)判定△AOB的形状.
(2)计算△BOC的面积.
3.如图,某厂车间的人字屋架为等腰三角形,跨度AB=12米,∠A=30°
求中柱CD和上弦AC的长(答案可带根号)
4.如图,折叠长方形的一边AD,点D落在BC边的点F处,已知AB=8cm,BC=10cm,求AE的长.
练习五:
证明题
1.阅读下题及其证明过程:
已知:
如图,D是△ABC中BC边上一点,EB=EC,∠ABE=∠ACE,
求证:
∠BAE=∠CAE.
证明:
在△AEB和△AEC中,
∴△AEB≌△AEC(第一步)
∴∠BAE=∠CAE(第二步)
问:
上面证明过程是否正确?
若正确,请写出每一步推理根据;
若不正确,请指出错在哪一步?
并写出你认为正确的推理过程;
2.已知:
点C.D在线段AB上,PC=PD。
请你添加一个条件,使图中存在全等三角形并给予证明。
所加条件为_____,你得到的一对全等三角形是△___≌△___。
3.已知:
如图,AB=AC,∠B=∠C.BE、DC交于O点.
BD=CE
练习六:
实践与探索
1.用两个全等的等边△ABC和△ACD拼成如图的菱形ABCD。
现把一个含60°
角的三角板与这个菱形叠合,使三角板的60°
角的顶点与点A重合,两边分别与AB、AC重合。
将三角板绕点A逆时针方向旋转。
(1)当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD相交于点E、F时(图a)
①猜想BE与CF的数量关系是__________________;
②证明你猜想的结论。
(2)当三角板的两边分别与菱形的两边BC、CD的延长线相交于点E、F时(图b),连结EF,判断△AEF的形状,并证明你的结论。
2.如图,四边形ABCD中,AC=6,BD=8,且AC⊥BD,顺次连接四边形ABCD各边中点,得到四边形A1B1C1D1;
再顺次连接四边形A1B1C1D1各边中点,得到四边形A2B2C2D2……,如此进行下去得到四边形AnBnCnDn。
(1)证明:
四边形A1B1C1D1是矩形;
·
仔细探索·
解决以下问题:
(填空)
(2)四边形A1B1C1D1的面积为____________A2B2C2D2的面积为___________;
(3)四边形AnBnCnDn的面积为____________(用含n的代数式表示);
(4)四边形A5B5C5D5的周长为____________。
3.如图,在平面直角坐标系中,四边形ABCO是正方形,点C的坐标是(4,0)。
(1)直接写出A、B两点的坐标。
A______________B____________
(2)若E是BC上一点且∠AEB=60°
,沿AE折叠正方形ABCO,折叠后点B落在平面内点F处,请画出点F并求出它的坐标。
(3)若E是直线BC上任意一点,问是否存在这样的点E,使正方形ABCO沿AE折叠后,点B恰好落在
轴上的某一点P处?
若存在,请写出此时点P与点E的坐标;
若不存在,请说明理由。
参考答案
例1证明:
因为∠ABD=∠ACD,∠BDE=∠CDE。
而∠BDE=∠ABD+
∠BAD,∠CDE=∠ACD+∠CAD。
所以∠BAD=∠CAD,而∠ADB
=180°
-∠BDE,∠ADC=180°
-∠CDE,所以∠ADB=∠ADC。
在△ADB和△ADC中,
∠BAD=∠CAD
AD=AD
∠ADB=∠ADC
所以△ADB≌△ADC所以BD=CD。
例2
(1)证明:
连接OD,AD.AC是直径,
∴ AD⊥BC. ⊿ABC中,AB=AC,∴ ∠B=∠C,∠BAD=∠DAC.
又∠BED是圆内接四边形ACDE的外角,∴∠C=∠BED.
故∠B=∠BED,即DE=DB.∴点F是BE的中点,DF⊥AB且OA和OD是半径,即∠DAC=∠BAD=∠ODA.∴OD⊥DF,DF是⊙O的切线.
(2)解:
设BF=x,BE=2BF=2x.又 BD=CD=
BC=6,根据
,
.化简,得
,解得
(不合题意,舍去).则 BF的长为2.
例3答案:
(1)如图
(2)由题可知AB=CD=AE,又BC=BE=AB+AE。
∴BC=2AB, 即
由题意知
是方程
的两根
∴
消去a,得
解得
或
经检验:
由于当
,知
不符合题意,舍去.
符合题意.∴
答:
原矩形纸片的面积为8cm2.
练习一.填空
1.9 2.90°
3.6.54.85.70°
6.27.21%8.89.2410.
练习二.选择题
1.B2.D 3.B 4.D 5.C 6.B 7.A 8.C 9.D 10.C
1.3略
2.下面给出三种参考画法:
4.作法:
(1)作点A关于直线a的对称点A'
.
(2)连结A'
B交a于点C.则点C就是所求的点.
在直线a上另取一点C'
连结AC,AC'
A'
C'
C'
B.
∵直线a是点A,A'
的对称轴,点C,C'
在对称轴上
∴AC=A'
C,AC'
=A'
∴AC+CB=A'
C+CB=A'
B
∵在△A'
B中,A'
B<A'
+C'
B∴AC+CB<AC'
B
即AC+CB最小.
计算
1.12.①等边三角形②4
3.2
、4
4.5
证明
1.第一步、推理略2.略
3.证:
∵∠A=∠A,AB=AC,∠B=∠C.∴△ADC≌△AEB(ASA)∴AD=AE
∵AB=AC,∴BD=CE.
练习六;
1.
(1)①相等②证明△AFD≌△AEC即可
(2)△AEF为等边三角形,证明略
2..
(1)证明略
(2)12,6(3)
(4)
3.
(1)A(0,4)B(4,4)
(2)图略,F(2,
)
(3)存在。
P(0,0),E(4,0)
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