高中数学步步高大一轮复习讲义文科第九章 97Word文档下载推荐.docx
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)
(2)方程-=1(mn>
0)表示焦点在x轴上的双曲线.( ×
(3)双曲线方程-=λ(m>
0,n>
0,λ≠0)的渐近线方程是-=0,即±
=0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直,离心率等于.( √ )
(5)若双曲线-=1(a>
0)与-=1(a>
0)的离心率分别是e1,e2,则+=1(此结论中两条双曲线为共轭双曲线).( √ )
2.若双曲线-=1(a>
0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长,则该双曲线的离心率为( )
A.B.5C.D.2
答案 A
解析 焦点(c,0)到渐近线y=x的距离为=2a,解得b=2a,又a2+b2=c2,∴5a2=c2,∴离心率e==.
3.(2013·
福建)双曲线-y2=1的顶点到其渐近线的距离等于( )
A.B.C.D.
答案 C
解析 双曲线的顶点(2,0)到渐近线y=±
x的距离d==.
4.(2012·
天津)已知双曲线C1:
0)与双曲线C2:
-=1有相同的渐近线,且C1的右焦点为F(,0),则a=________,b=________.
答案 1 2
解析 与双曲线-=1有共同渐近线的双曲线的方程可设为-=λ,即-=1.
由题意知c=,则4λ+16λ=5⇒λ=,则a2=1,b2=4.又a>
0,故a=1,b=2.
5.(2012·
辽宁)已知双曲线x2-y2=1,点F1,F2为其两个焦点,点P为双曲线上一点,若PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________.
答案 2
解析 设P在双曲线的右支上,|PF2|=x(x>
0),|PF1|=2+x,因为PF1⊥PF2,所以(x+2)2+x2=(2c)2=8,
所以x=-1,x+2=+1,
所以|PF2|+|PF1|=2.
题型一 双曲线的定义及标准方程
例1
(1)已知双曲线-=1(a>
0)和椭圆+=1有相同的焦点,且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍,则双曲线的方程为________.
(2)与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2)的双曲线方程为__________.
(3)已知圆C1:
(x+3)2+y2=1和圆C2:
(x-3)2+y2=9,动圆M同时与圆C1及圆C2相外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________.
思维启迪 设双曲线方程为-=1,求双曲线方程,即求a、b,为此需要关于a、b的两个方程,由题意易得关于a、b的两个方程;
也可根据双曲线的定义直接确定a、b、c;
根据双曲线的定义求轨迹方程.
答案
(1)-=1
(2)-=1
(3)x2-=1(x≤-1)
解析
(1)椭圆+=1的焦点坐标为F1(-,0),F2(,0),离心率为e=.由于双曲线-=1与椭圆+=1有相同的焦点,因此a2+b2=7.
又双曲线的离心率e==,所以=,
所以a=2,b2=c2-a2=3,
故双曲线的方程为-=1.
(2)设与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为-y2=k,将点(2,-2)代入得k=-(-2)2=-2.
∴双曲线的标准方程为-=1.
(3)
如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.
根据两圆外切的条件,
得|MC1|-|AC1|=|MA|,
|MC2|-|BC2|=|MB|,
因为|MA|=|MB|,
所以|MC1|-|AC1|=|MC2|-|BC2|,
即|MC2|-|MC1|=|BC2|-|AC1|=2,
所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|.
又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),
其中a=1,c=3,则b2=8.
故点M的轨迹方程为x2-=1(x≤-1).
思维升华 求双曲线的标准方程的基本方法是定义法和待定系数法.待定系数法具体过程是先定形,再定量,即先确定双曲线标准方程的形式,然后再根据a,b,c,e及渐近线之间的关系,求出a,b的值.如果已知双曲线的渐近线方程,求双曲线的标准方程,可利用有公共渐近线的双曲线方程为-=λ(λ≠0),再由条件求出λ的值即可.利用定义时,要特别注意条件“差的绝对值”,弄清所求轨迹是整条双曲线,还是双曲线的一支.
(1)(2012·
湖南)已知双曲线C:
-=1的焦距为10,点P(2,1)在C的渐近线上,则C的方程为( )
A.-=1B.-=1
C.-=1D.-=1
(2)设椭圆C1的离心率为,焦点在x轴上且长轴长为26,若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8,则曲线C2的标准方程为( )
答案
(1)A
(2)A
解析
(1)根据双曲线标准方程中系数之间的关系求解.
∵-=1的焦距为10,
∴c=5=.①
又双曲线渐近线方程为y=±
x,且P(2,1)在渐近线上,
∴=1,即a=2b.②
由①②解得a=2,b=,
则C的方程为-=1,
故应选A.
(2)由题意知椭圆C1的焦点坐标为F1(-5,0),F2(5,0),
设曲线C2上的一点P,则||PF1|-|PF2||=8.
由双曲线的定义知:
a=4,b=3.
故曲线C2的标准方程为-=1.
题型二 双曲线的几何性质
例2
(1)(2013·
浙江)如图,F1,
F2是椭圆C1:
+y2=1与双曲线C2
的公共焦点,A,B分别是C1,C2在第二、四象限的公共点.若
四边形AF1BF2为矩形,则C2的离心率是( )
(2)若点O和点F(-2,0)分别为双曲线-y2=1(a>
0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则·
的取值范围为( )
A.[3-2,+∞)B.[3+2,+∞)
C.[-,+∞)D.[,+∞)
思维启迪
(1)求圆锥曲线的离心率e,可以求出a,c的关系式,进而求出e.
(2)在圆锥曲线中求某一量的值或范围,一定要注意圆锥曲线本身的x,y的取值范围.
答案
(1)D
(2)B
解析
(1)|F1F2|=2.设双曲线的方程为-=1.
∵|AF2|+|AF1|=4,|AF2|-|AF1|=2a,
∴|AF2|=2+a,|AF1|=2-a.
在Rt△F1AF2中,∠F1AF2=90°
,
∴|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,
即(2-a)2+(2+a)2=
(2)2,
∴a=,∴e===.故选D.
(2)由条件知a2+1=22=4,∴a2=3,
∴双曲线方程为-y2=1,
设P点坐标为(x,y),则=(x,y),=(x+2,y),
∵y2=-1,
∴·
=x2+2x+y2=x2+2x+-1
=x2+2x-1=(x+)2-.
又∵x≥(P为右支上任意一点),
≥3+2.故选B.
思维升华 在研究双曲线的性质时,实半轴、虚半轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容;
双曲线的离心率涉及的也比较多.由于e=是一个比值,故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式,利用b2=c2-a2消去b,然后变形求e,并且需注意e>
1.同时注意双曲线方程中x,y的范围问题.
课标全国Ⅰ)已知双曲线C:
0)的离心率为,则C的渐近线方程为( )
A.y=±
xB.y=±
C.y=±
xD.y=±
(2)过双曲线-=1(a>
0)的一个焦点F作一条渐近线的垂线,垂足为点A,与另一条渐近线交于点B,若=2,则此双曲线的离心率为( )
A.B.C.2D.
答案
(1)C
(2)C
解析
(1)由e==知,a=2k,c=k(k∈R+),
由b2=c2-a2=k2知b=k.所以=.
即渐近线方程为y=±
x.故选C.
(2)
如图,∵=2,
∴A为线段BF的中点,
∴∠2=∠3.
又∠1=∠2,∴∠2=60°
∴=tan60°
=,
∴e2=1+()2=4,∴e=2.
题型三 直线与双曲线的位置关系
例3
已知双曲线C:
x2-y2=1及直线l:
y=kx-1.
(1)若l与C有两个不同的交点,求实数k的取值范围;
(2)若l与C交于A,B两点,O是坐标原点,且△AOB的面积为,求实数k的值.
思维启迪 本题主要考查直线与双曲线的位置关系,解题关键是联立方程用根与系数的关系求解.
解
(1)双曲线C与直线l有两个不同的交点,
则方程组有两个不同的实数根,
整理得(1-k2)x2+2kx-2=0.
∴
解得-<
k<
且k≠±
1.
双曲线C与直线l有两个不同的交点时,k的取值范围是(-,-1)∪(-1,1)∪(1,).
(2)设交点A(x1,y1),B(x2,y2),
直线l与y轴交于点D(0,-1),
由
(1)知,C与l联立的方程为(1-k2)x2+2kx-2=0.
当A,B在双曲线的一支上且|x1|>
|x2|时,
S△OAB=S△OAD-S△OBD=(|x1|-|x2|)=|x1-x2|;
当A,B在双曲线的两支上且x1>
x2时,
S△OAB=S△ODA+S△OBD=(|x1|+|x2|)=|x1-x2|.
∴S△OAB=|x1-x2|=,∴(x1-x2)2=
(2)2,
即()2+=8,解得k=0或k=±
.
又∵-<
,且k≠±
1,
∴当k=0或k=±
时,△AOB的面积为.
思维升华
(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法:
将直线方程代入双曲线方程,消元,得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时,直线与双曲线相交于某支上一点,这时直线平行于一条渐近线;
当二次项系数不等于0时,用判别式Δ来判定.
(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题,但需要检验.
已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),实轴长为2.
(1)求双曲线C的方程;
(2)若直线l:
y=kx+与双曲线C左支交于A、B两点,求k的取值范围;
(3)在
(2)的条件下,线段AB的垂直平分线l0与y轴交于M(0,m),求m的取值范围.
解
(1)设双曲线C的方程为-=1(a>
0).
由已知得:
a=,c=2,再由a2+b2=c2,得b2=1,
∴双曲线C的方程为-y2=1.
(2)设A(xA,yA)、B(xB,yB),
将y=kx+代入-y2=1,
得,(1-3k2)x2-6kx-9=0.
由题意知解得<
∴当<
1时,l与双曲线左支有两个交点.
(3)由
(2)得:
xA+xB=,
∴yA+yB=(kxA+)+(kxB+)
=k(xA+xB)+2=.
∴AB的中点P的坐标为(,).
设直线l0的方程为y=-x+m,
将P点坐标代入直线l0的方程,得m=.
∵<
1,∴-2<
1-3k2<
0.
∴m<
-2.∴m的取值范围为(-∞,-2).
忽视“判别式”致误
典例:
(12分)已知双曲线x2-=1,过点P(1,1)能否作一条直线l,与双曲线交于A、B两点,且点P是线段AB的中点?
易错分析 由于“判别式”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的重要方法,在解决直线与圆锥曲线相交的问题时,有时不需要考虑判别式,致使有的考生思维定势的原因,任何情况下都没有考虑判别式,导致解题错误.
规范解答
解 设点A(x1,y1),B(x2,y2)在双曲线上,且线段AB的中点为(x0,y0),
若直线l的斜率不存在,显然不符合题意.[2分]
设经过点P的直线l的方程为y-1=k(x-1),
即y=kx+1-k.[3分]
由
得(2-k2)x2-2k(1-k)x-(1-k)2-2=0(2-k2≠0).① [6分]
∴x0==.
由题意,得=1,解得k=2.[8分]
当k=2时,方程①成为2x2-4x+3=0.
Δ=16-24=-8<
0,方程①没有实数解.[11分]
∴不能作一条直线l与双曲线交于A,B两点,且点P(1,1)是线段AB的中点.[12分]
温馨提醒
(1)本题是以双曲线为背景,探究是否存在符合条件的直线,题目难度不大,思路也很清晰,但结论却不一定正确.错误原因是忽视对直线与双曲线是否相交的判断,从而导致错误,因为所求的直线是基于假设存在的情况下所得的.
(2)本题属探索性问题.若存在,可用点差法求出AB的斜率,进而求方程;
也可以设斜率k,利用待定系数法求方程.
(3)求得的方程是否符合要求,一定要注意检验.
方法与技巧
1.与双曲线-=1(a>
0)有公共渐近线的双曲线的方程可设为-=t(t≠0).
2.已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时,只要令双曲线的标准方程中“1”为“0”就得到两渐近线方程,即方程-=0就是双曲线-=1(a>
0)的两条渐近线方程.
失误与防范
1.区分双曲线中的a,b,c大小关系与椭圆中的a,b,c大小关系,在椭圆中a2=b2+c2,而在双曲线中c2=a2+b2.
2.双曲线的离心率e∈(1,+∞),而椭圆的离心率e∈(0,1).
3.双曲线-=1(a>
0)的渐近线方程是y=±
x,-=1(a>
x.
4.若利用弦长公式计算,在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况.
5.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:
当直线与双曲线的渐近线平行时,直线与双曲线相交于一点,但不是相切;
反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有一个交点.
A组 专项基础训练
(时间:
40分钟)
一、选择题
1.(2013·
北京)若双曲线-=1的离心率为,则其渐近线方程为( )
2xB.y=±
答案 B
解析 由e=,知c=a,得b=a.
∴渐近线方程为y=±
x,y=±
2.(2013·
湖北)已知0<
θ<
,则双曲线C1:
-=1与C2:
-=1的( )
A.实轴长相等
B.虚轴长相等
C.离心率相等
D.焦距相等
答案 D
解析 双曲线C1、C2的焦距均为sin2θ+cos2θ=1.
3.设直线l过双曲线C的一个焦点,且与C的一条对称轴垂直,l与C交于A,B两点,|AB|为C的实轴长的2倍,则C的离心率为( )
A.B.
C.2D.3
解析 设双曲线的标准方程为-=1(a>
0),
由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直,因此直线l的方程为x=c或x=-c,
代入-=1得y2=b2(-1)=,
∴y=±
,故|AB|=,
依题意=4a,∴=2,
∴=e2-1=2,∴e=.
4.以椭圆+=1的右焦点为圆心,且与双曲线-=1的渐近线相切的圆的方程是
( )
A.x2+y2-10x+9=0B.x2+y2-10x-9=0
C.x2+y2+10x+9=0D.x2+y2+10x-9=0
解析 由于右焦点(5,0)到渐近线4x-3y=0的距离d==4,
所以所求的圆是圆心坐标为(5,0),半径为4的圆.即圆的方程为x2+y2-10x+9=0.
5.已知点F是双曲线-=1(a>
0)的左焦点,点E是该双曲线的右顶点,过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A、B两点,若△ABE是锐角三角形,则该双曲线的离心率e的取值范围是( )
A.(1,+∞)B.(1,2)
C.(1,1+)D.(2,1+)
解析 由题意易知,F(-c,0),A(-c,),B(-c,-),E(a,0),
因为△ABE是锐角三角形,所以·
>
0,
即·
=(-c-a,)·
(-c-a,-)>
整理得3e2+2e>
e4,∴e(e3-3e-3+1)<
∴e(e+1)2(e-2)<
0,解得e∈(0,2),又e>
∴e∈(1,2),故选B.
二、填空题
6.已知双曲线的渐近线方程为x±
2y=0,且双曲线过点M(4,),则双曲线的方程为________.
答案 -y2=1
解析 ∵双曲线过点M(4,),M在y=下方,
∴双曲线焦点在x轴上,
设双曲线方程为-=1,又=,
因此设a=2k,b=k(k>
0),∴-=1,
代入M(4,)解得k=1,a=2,b=1,
∴方程为-y2=1.
7.已知双曲线-=1的离心率是,则n=________.
答案 4
解析 根据双曲线方程得n(12-n)>
0,∴0<
n<
12,
∴a2=n,b2=12-n,c2=a2+b2=12,
则双曲线的离心率e===,∴n=4.
8.(2013·
湖南)设F1,F2是双曲线C:
0)的两个焦点,P是C上一点,若|PF1|+|PF2|=6a且△PF1F2的最小内角为30°
,则双曲线C的离心率为________.
答案
解析 不妨设|PF1|>
|PF2|,
则|PF1|-|PF2|=2a,
又∵|PF1|+|PF2|=6a,
∴|PF1|=4a,|PF2|=2a.
又在△PF1F2中,∠PF1F2=30°
由正弦定理得,∠PF2F1=90°
,∴|F1F2|=2a,
∴双曲线C的离心率e==.
三、解答题
9.已知双曲线的中心在原点,焦点F1,F2在坐标轴上,离心率为,且过点(4,-).
(1)求双曲线方程;
(2)若点M(3,m)在双曲线上,求证:
点M在以F1F2为直径的圆上;
(3)在
(2)的条件下求△F1MF2的面积.
(1)解 ∵离心率e=,∴双曲线为等轴双曲线,
可设其方程为x2-y2=λ(λ≠0),
则由点(4,-)在双曲线上,
可得λ=42-(-)2=6,
∴双曲线方程为x2-y2=6.
(2)证明 ∵点M(3,m)在双曲线上,
∴32-m2=6,∴m2=3,
又双曲线x2-y2=6的焦点为F1(-2,0),F2(2,0),
=(-2-3,-m)·
(2-3,-m)
=(-3)2-
(2)2+m2=9-12+3=0,
∴MF1⊥MF2,∴点M在以F1F2为直径的圆上.
(3)解 S△F1MF2=×
4×
|m|=6.
10.直线l:
y=kx+1与双曲线C:
2x2-y2=1的右支交于不同的两点A、B.
(1)求实数k的取值范围;
(2)是否存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F?
若存在,求出k的值;
若不存在,说明理由.
解
(1)将直线l的方程y=kx+1代入双曲线C的方程
2x2-y2=1后,整理得(k2-2)x2+2kx+2=0.①
依题意,直线l与双曲线C的右支交于不同两点,
故
解得k的取值范围是-2<
-.
(2)设A、B两点的坐标分别为(x1,y1)、(x2,y2),
则由①式得②
假设存在实数k,使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点F(c,0).
则由FA⊥FB得:
(x1-c)(x2-c)+y1y2=0.
即(x1-c)(x2-c)+(kx1+1)(kx2+1)=0.
整理得(k2+1)x1x2+(k-c)(x1+x2)+c2+1=0.③
把②式及c=代入③式化简得5k2+2k-6=0.
解得k=-或k=∉(-2,-)(舍去),
可知存在k=-使得以线段AB为直径的圆经过双曲线C的右焦点.
B组 专项能力提升
30分钟)
1.设双曲线的一个焦点为F,虚轴的一个端点为B,如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为( )
A.B.
C.D.
解析
设双曲线方程为-=1(a>
0),如图所示,双曲
线的一条渐近线方程为y=x,而kBF=-,
(-)=-1,
整理得b2=ac.
∴c2-a2-ac=0,两边同除以a2,得e2-e-1=0,
解得e=或e=(舍去),故选D.
2.(2013·
重庆)设双曲线C的中心为点O,若有且只有一对相交于点O,所成的角为60°
的直线A1B1和A2B2,使|A1B1|=|A2B2|,其中A1,B1和A2,B2分别是这对直线与双曲线C的交点,则该双曲线的离心率的取值范围是( )
A.B.
解析 由双曲线的对称性知,满足题意的这一对直线也关于x轴(或y轴)对称.又由题意知有且只有一对这样的直线,故该双曲线在第一象限的渐近线的倾斜角范围是大于30°
且小于等于60°
,即tan30°
<
≤tan60°
,∴<
≤3.又e2=()2==1+,∴<
e2≤4,∴<
e≤2,故选A.
3.已知F1,F2是双曲线-=1(a>
0)的两焦点,以线段F1F2为边作正三角形MF1F2,若边MF1的中点P在双曲线上,则双曲线的离心率是( )
A.4+2B.-1C.D.+1
解析 因为MF1的中点P在双曲线上,|PF2|-|PF1|=2a,
△MF1F2为正三角形,边长都是2c,所以c-c=2a,
所以e===+1,故选D.
4.(2013·
辽宁)已知F为双曲线C:
-=1的左焦点,P,Q为C上的点.若PQ的长等于虚轴长的2倍,点A(5,0)在线段PQ上,则△PQF的周长为________.
答案 44
解析 由双曲线C的方程,知a=3,b=4,c=5,
∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点,
且|PQ|=|QA|+|PA|=4b=16,
由双曲线定义,得|PF|-|P
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