有理数的乘方及混合运算基础.docx
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有理数的乘方及混合运算基础.docx
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有理数的乘方及混合运算基础
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有理数的乘方及混合运算(基础)
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有理数的乘方、混合运算及科学记数法(基础)
撰稿:
吴婷婷审稿:
常春芳
【学习目标】
1.理解有理数乘方的定义;
2.掌握有理数乘方运算的符号法则,并能熟练进行乘方运算;
3.进一步掌握有理数的混合运算.
4.会用科学记数法表示大数.
【要点梳理】
要点一、有理数的乘方
定义:
求n个相同因数的积的运算,叫做乘方,乘方的结果叫做幂(power).
即有:
.在中,叫做底数,n叫做指数.
要点诠释:
(1)乘方与幂不同,乘方是几个相同因数的乘法运算,幂是乘方运算的结果.
(2)底数一定是相同的因数,当底数不是单纯的一个数时,要用括号括起来.
(3)一个数可以看作这个数本身的一次方.例如,5就是51,指数1通常省略不写.
要点二、乘方运算的符号法则
(1)正数的任何次幂都是正数;
(2)负数的奇次幂是负数,负数的偶次幂是正数;(3)0的任何正整数次幂都是0;(4)任何一个数的偶次幂都是非负数,如≥0.
要点诠释:
(1)有理数的乘方运算与有理数的加减乘除运算一样,首先应确定幂的符号,然后再计算幂的绝对值.
(2)任何数的偶次幂都是非负数.
要点三、有理数的混合运算
有理数混合运算的顺序:
(1)先乘方,再乘除,最后加减;
(2)同级运算,从左到右进行;(3)如有括号,先做括号内的运算,按小括号、中括号、大括号依次进行.
要点诠释:
(1)有理数运算分三级,并且从高级到低级进行运算,加减法是第一级运算,乘除法是第二级运算,乘方和开方(以后学习)是第三级运算;
(2)在含有多重括号的混合运算中,有时根据式子特点也可按大括号、中括号、小括号的顺序进行.
(3)在运算过程中注意运算律的运用.
要点四、科学记数法
把一个大于10的数表示成的形式(其中是整数数位只有一位的数,l≤||<10,是正整数),这种记数法叫做科学记数法,如=.
要点诠释:
(1)负数也可以用科学记数法表示,“”照写,其它与正数一样,如=;
(2)把一个数写成形式时,若这个数是大于10的数,则n比这个数的整数位数少1.
【典型例题】
类型一、有理数乘方
【高清课堂:
有理数的乘方及混合运算356849有理数乘方的性质】
1.计算:
(1)
(2)(3) (4)
(5) (6)(7)(8)
【答案与解析】
(1);
(2);
(3);
(4);
(5);
(6);
(7);
(8)
【总结升华】与不同,,而表示的n次幂的相反数.
举一反三:
【变式】比较与的异同.
【答案】相同点:
它们的结果相同,指数相同;
不同点:
表示-5的3次方,即(-5)×(-5)×(-5)=-125,而表示5的3次方的相反数,即=-(5×5×5).因此,它们的底数不同,表示的意义不同.
类型二、乘方的符号法则
2.不做运算,判断下列各运算结果的符号.
(-2)7,(-3)24,(-1.0009)2009,,-(-2)2010
【思路点拨】理解乘方的意义,掌握乘方的符号法则.
【答案与解析】根据乘方的符号法则直接判断,可得:
(-2)7运算的结果是负;(-3)24运算的结果为正;(-1.0009)2009运算的结果是负;运算的结果是正;-(-2)2010运算的结果是负.
【总结升华】“一看底数,二看指数”,当底数是正数时,结果为正;当底数是0时,结果是0;当底数是负数时,再看指数,若指数为偶数,结果为正;若指数是奇数,结果为负.
类型三、有理数的混合运算
【高清课堂:
有理数的乘方及混合运算356849典型例题1】
3.计算:
(1)
(2)
(3)
(4)
【答案与解析】
(1)法一:
原式=;
法二:
原式=
(2)原式
(3)原式(-24)-1-8=-32-3+66-9=22
(4)原式=-1000-25+11=-1014
【总结升华】有理数的混合运算,确定运算顺序是关键,细心计算是运算正确的前提.
举一反三:
【变式】计算:
(1)
(2)
【答案】原式
原式
类型四、科学记数法
4.用科学记数法表示:
(1);
(2)亿;(3)
【答案与解析】
(1)把写成时,,它是将原数的小数点向左移动9位得到的,即把原数缩小到,所以;
(2)亿=300000000000,把亿写成时,,的值应比300000000000的整数位少1,因此,所以3000亿=;
(3)写成时,“-”照写,其它和正数一样,所以.
【总结升华】带有文字单位的数先变为原数,再写成形式,的确定:
n比这个数的整数位数少1.
举一反三:
【变式】据宁波市统计局公布的第六次人口普查数据,本市常住人口760.57万人,其中760.57万人用科学记数法表示为()
A.7.6057×人B.7.6057×人
C.7.6057×人D.0.76057×人
【答案】B
5.把下列用科学记数法表示的数转化成原数.
(1);
(2);(3)千米
【答案与解析】此题是对科学记数法的逆用
(1);
(2);
(3)千米=千米.
【总结升华】将科学记数法表示的数转化为原数,方法简单:
是几就将中的小数点向右移动几位.
类型五、探索规律
6.你见过拉面馆的师傅拉面吗?
他们用一根粗的面条,第1次把两头捏在一起抻拉得到两根面条,再把两头捏在一起抻拉,反复数次,就能拉出许多根细面条,如下图,第3次捏合抻拉得到根面条,第5次捏合抻拉得到根面条,第次捏合抻拉得到根面条,要想得到64根细面条,需次捏合抻拉.
第1次第2次第3次
【思路点拨】本题考查了有理数的乘方,解题的关键是找出每一次拉出来面条的根数的规律.
第1次:
;第2次:
;第3次:
;…;第次:
.
【答案】8;32;;6
【解析】由题意可知,每次捏合后所得面条数是捏合前面条数的2倍,所以可得到:
第1次:
;第2次:
;第3次:
;…;第次:
.
第3次捏合抻拉得到面条根数:
,即8根;第5次得到:
,即32根;第次捏合抻拉得到;因为,所以要想得到64根面条,需要6次捏合抻拉.
【总结升华】解答此类问题的方法一般是:
从所给的特殊情形入手,再经过猜想归纳,从看似杂乱的问题中找出内在的规律,使问题变得有章可循.
举一反三:
【变式】已知21=2,22=4,23=8,24=16,25=32,…,观察上面的规律,试猜想22008的末位数字是________.
【答案】6
【巩固练习】
一、选择题
1.下列各组数中,计算结果相等的是().
A.-23与(-2)3B.-22与(-2)2C.与D.与
2.下列说法中,正确的是().
A.一个数的平方一定大于这个数B.一个数的平方一定是正数
C.一个数的平方一定小于这个数D.一个数的平方不可能是负数
3.式子的意义是().
A.4与5商的立方的相反数B.4的立方与5的商的相反数
C.4的立方的相反数除5D.的立方
4.中国是严重缺水的国家之一,人均淡水资源为世界人均量的四分之一,所以我们为中国节水,为世界节水.若每人每天浪费水0.32L,那么100万人每天浪费的水,用科学记数法表示为().
A.3.2×107LB.3.2×106LC.3.2×105LD.3.2×104L
5.计算(-1)2+(-1)3=()
A.-2B.-1C.0D.2
6.观察下列等式:
71=7,72=49,73=343,74=2401,75=16807,76=117649…由此可判断7100的个位数字是().
A.7B.9C.3D.1
7.一根1米长的绳子,第一次剪去一半,第二次剪去剩下的一半,如此下去,第6次后剩下的绳子的长度为().
A.米B.米C.米D.米
二、填空题
8.在(-2)4中,指数是________,底数是________,在-23中,指数是________,底数是________,在中底数是________,指数是________.
9.一个数的平方等于它本身的数是____;一个数的立方等于它本身的数是.
10.;;=;.
11.,
12.6008000=(用科学记数法表示),=(把用科学记数法表示的数还原).
13.,,,……,从而猜想:
…….
三、解答题
14.计算下列各式:
(1)-23+(3-6)2-8×(-1)4;
(2);
(3);
(4).
15.已知x的倒数和绝对值都是它本身,y、z是有理数,并且,求的值.
16.探索规律:
观察下面三行数,
2,-4,8,-16,32,-64,…①
-2,-8,4,-20,28,-68,… ②
-1,2,-4,8,-16,32,… ③
(1)第①行第10个数是多少?
(2)第②③行数与第①行数分别有什么关系?
(3)取每行第10个数,计算这三个数的和.
【答案与解析】
一、选择题
1.【答案】A
【解析】-23=-8,(-2)3=-8.
2.【答案】D
【解析】一个数的平方与这个数的大小不定,例如:
;而;,从而A,C均错;一个数的平方是正数或0,即非负数,所以B错,只有D对.
3.【答案】B
【解析】表示4的立方与5的商的相反数
4.【答案】C
【解析】100万人每天浪费的水为:
0.32×100万=0.32×1000000=3.2×105L
5.【答案】C
【解析】(-1)2=1,(-1)3=-1
6.【答案】D
【解析】个位上的数字每4个一循环,100是4的倍数,所以的个位数字应为1.
7.【答案】C
二、填空题
8.【答案】4,-2,3,2,2,2
【解析】依据乘方的定义解答
9.【答案】0,1;0,1,-1;
10.【答案】3,-32,
11.【答案】-27,72
12.【答案】6.008×106;300800;
13.【答案】
【解析】,,,……
从而猜想:
每组数中,右边的幂的底数与左边的最后一个数的关系是:
.
所以…….
三、解答题
14.【解析】
(1)-23+(3-6)2-8×(-1)4=-8+9-8=-7;
(2)
;
(3)
;
(4)
.
15.【解析】因为x的倒数和绝对值都是它本身,
所以x=1,又因为|y+3|+(2x+3z)2=0,所以y+3=0且2x+3z=0.
所以y=-3.当x=1时,2x+3z=0,.
把x=1,y=-3,代入得:
.
16.【解析】
(1)2,-4,8,-16,32,-64,…①
第①行可以改写为:
2,,,……,,……
由-2的指数规律,可以知道n=10时,即=-1024为第①行第10个数.
(2)第②行数是第①行相应的数减4;第③行数是第①行相应的数的-0.5倍;
(3)第②行第10个数为-1024-4=-1028
第③行第10个数为(-0.5)(-1024)=512
所以第①行、第②行、第③行第10个数字之和为-1024+(-1028)+512=-1540.
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