完整wordNOIP初赛提高组试题解析.docx
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完整wordNOIP初赛提高组试题解析
19.2十九届提高组
一、单项选择题(共15题,每题1.5分,共计22.5分;每题有且仅有一个正确选项)
1.一个32位整型变量占用(A)个字节。
A.4B.8C.32D.128
2.二进制数11.01在十进制下是(A)。
A.3.25B.4.125C.6.25D.11.125
3.下面的故事与(B)算法有着异曲同工之妙。
从前有座山,山里有座庙,庙里有个老和尚在给小和尚讲故事:
“从前有座山,山里有座庙,庙里有个老和尚在给小和尚讲故事:
‘从前有座山,山里有座庙,庙里有个老和尚在给小和尚讲故事…………………………’”
A.枚举B.递归C.贪心D.分治
4.1948年,(D)将热力学中的熵引入信息通信领域,标志着信息论研究的开端。
A.冯•诺伊曼(JohnvonNeumann)B.图灵(AlanTuring)
C.欧拉(LeonhardEuler)D.克劳德•香农(ClaudeShannon)
【分析】香农信息论鼻祖
5.已知一棵二叉树有2013个节点,则其中至多有(A)个节点有2个子节点。
A.1006B.1007C.1023D.1024
【分析】
(1)树根深度为0,深度为10的满二叉树节点总数2047;
(2)本题树深为10的完全二叉树,与满二叉树相比少了34个节点,
(3)深度为9的满二叉树节点总数量为1023;
(4)1023-(34/2)=1006
6.在一个有向图中,如果任意两点之间都存在路径相连,则称其为连通图。
右图是一个有5个顶点、8条边的连通图。
若要使它不再是连通图,至少要删去其中的(B)条边。
A.2B.3C.4D.5
【分析】要使图不联通,只要其中某一个节点不连通即可,所有顶点度最少是3,所以最少需要删除3条边
7.斐波那契数列的定义如下:
F1=1,F2=1,Fn=Fn-1+Fn-2(n≥3)。
如果用下面的函数计算斐波那契数列的第n项,则其时间复杂度为(D)。
functionF(n:
longint):
longint;
begin
ifn<=2then
F:
=1
else
F:
=F(n-1)+F(n-2);
end;
A.O
(1)B.O(n)C.O(n2)D.O(Fn)
【分析】计算F1需要1次,计算F2需要一次,计算Fn需要计算F(n-1)的次数加上F(n-2)的次数,所以其实就是计算Fn次,于是答案选择D,至于这个Fn到底是多大,数学上可以计算,它等于O(((1+sqrt(5))/2)^n).
8.二叉查找树具有如下性质:
每个节点的值都大于其左子树上所有节点的值、小于其右子树上所有节点的值。
那么,二叉查找树的(B)是一个有序序列。
A.先序遍历B.中序遍历C.后序遍历D.宽度优先遍历
9.将(2,6,10,17)分别存储到某个地址区间为0~10的哈希表中,如果哈希函数h(x)=(D),将不会产生冲突,其中amodb表示a除以b的余数。
A.xmod11B.x2mod11
C.2xmod11D.
mod11,其中
表示
下取整
【分析】A项6和17对11取余都是6发生冲突,B项10的平方和17的平方对11取余都是1发生冲突,C项6的两倍和17的两倍对11取余都是1发生冲突,D项分别为1,2,3,4,不冲突
10.IPv4协议使用32位地址,随着其不断被分配,地址资源日趋枯竭。
因此,它正逐渐被使用(D)位地址的IPv6协议所取代。
A.40B.48C.64D.128
11.二分图是指能将顶点划分成两个部分,每一部分内的顶点间没有边相连的简单无向图。
那么12个顶点的二分图至多有(C)条边。
A.18B.24C.36D.66
【分析】二分为6个和6个的顶点,此时边最多,有36条边。
12.(B)是一种通用的字符编码,它为世界上绝大部分语言设定了统一并且唯一的二进制编码,以满足跨语言、跨平台的文本交换。
目前它已经收录了超过十万个不同字符。
A.ASCIIB.UnicodeC.GBK2312D.BIG5
【分析】
UNICODE与ASCII的区别.
1.ASCII的特点
(1)ASCII是用来表示英文字符的一种编码规范。
每个ASCII字符占用1个字节,因此,ASCII编码可以表示的最大字符数是255(00H—FFH)。
这对于英文而言,是没有问题的,一般只什么用到前128个(00H--7FH,最高位为0)。
而最高位为1的另128个字符(80H—FFH)被称为“扩展ASCII”,一般用来存放英文的制表符、部分音标字符等等的一些其它符号。
(2)但是对于中文等比较复杂的语言,255个字符显然不够用。
于是,各个国家纷纷制定了自己的文字编码规范,其中中文的文字编码规范叫做“GB2312—80”,它是和ASCII兼容的一种编码规范,其实就是利用扩展ASCII没有真正标准化这一点,把一个中文字符用两个扩展ASCII字符来表示,以区分ASCII码部分。
但是这个方法有问题,最大的问题就是中文的文字编码和扩展ASCII码有重叠。
而很多软件利用扩展ASCII码的英文制表符来画表格,这样的软件用到中文系统中,这些表格就会被误认作中文字符,出现乱码。
另外,由于各国和各地区都有自己的文字编码规则,它们互相冲突,这给各国和各地区交换信息带来了很大的麻烦。
2.UNICODE的产生
(1)要真正解决这个问题,不能从扩展ASCII的角度入手,UNICODE作为一个全新的编码系统应运而生,它可以将中文、法文、德文……等等所有的文字统一起来考虑,为每一个文字都分配一个单独的编码。
3.什么是UNICODE
Unicode与ASCII一样也是一种字符编码方法,它占用两个字节(0000H—FFFFH),容纳65536个字符,这完全可以容纳全世界所有语言文字的编码。
在Unicode里,所有的字符都按一个字符来处理,它们都有一个唯一的Unicode码。
13.把64位非零浮点数强制转换成32位浮点数后,不可能(D)。
A.大于原数B.小于原数C.等于原数D.与原数符号相反
【分析】64位非零浮点数强制转换成32位浮点数,两个数会有大小上的细微差别,但不会发生符号变化,因为有专门的符号位
14.对一个n个顶点、m条边的带权有向简单图用Dijkstr算法计算单源最短路时,如果不使用堆或其它优先队列进行优化,则其时间复杂度为(B)。
A.O(mn+n3)B.O(n2)C.O((m+n)logn)D.O((m+n2)logn)
【分析】Dijkstra算法(双重for循环)计算单源最短路时间复杂度如果不借助堆或优先队列优化,是O(n^2).
15.T(n)表示某个算法输入规模为n时的运算次数。
如果T
(1)为常数,且有递归式
T(n)=2*T(n/2)+2n,那么T(n)=(B)。
A.Θ(n)B.Θ(nlogn)C.Θ(n2)D.Θ(n2logn)
【分析】Θ的含义和“等于”类似,而大O的含义和“小于等于”类似
设N×(1/2)^X=1,X=log2N
T(n)=2*T(n/2)+2n=2×(2×(T(n/4)+2×(n/2))+2n=22×T(n/4)+(2n)×2
=2X×T
(1)+(2n)×X=2^log2N×T
(1)+(2N)×log2N
=N+(2N)×log2N=O(N×log2N)
二、不定项选择题(共5题,每题1.5分,共计7.5分;每题有一个或多个正确选项,多选或少选均不得分)
1.下列程序中,正确计算1,2,…,100这100个自然数之和sum(初始值为0)的是(AC)。
2.(AD)的平均时间复杂度为O(nlogn),其中n是待排序的元素个数。
A.快速排序B.插入排序C.冒泡排序D.归并排序
【分析】只有快速排序和归并排序是nlogn的,冒泡和插入都是n^2的时间复杂度。
3.以A0作为起点,对下面的无向图进行深度优先遍历时(遍历的顺序与顶点字母的下标无关),最后一个遍历到的顶点可能是(CD)。
A.A1B.A2C.A3D.A4
4.(AB)属于NP类问题。
A.存在一个P类问题B.任何一个P类问题
C.任何一个不属于P类的问题
D.任何一个在(输入规模的)指数时间内能够解决的问题
【分析】
1.时间复杂度:
(1)时间复杂度:
是指执行算法所需要的计算工作量。
时间复杂度并不是表示一个程序解决问题需要花多少时间,而是当问题规模扩大后,程序需要的时间长度增长得有多快。
(2)多项式时间算法:
如果一个算法,它能在以输入规模为参变量的某个多项式的时间内给出答案,则称它为多项式时间算法。
2.P类、NP类问题
(1)P类问题的概念:
如果一个问题可以找到一个能在多项式的时间里解决它的算法,那么这个问题就属于P问题。
(2)NP类问题:
NP(Non-deterministicPolynomial)问题是指可以在多项式的时间里验证一个解的问题。
NP问题的另一个定义是,可以在多项式的时间里猜出一个解的问题。
(3)所有的P类问题都是NP问题。
NP问题不是非P类问题
3.NPC问题(NP完全问题):
Cook在1971年给出并证明了有一类问题具有下述性质:
(1)这类问题中任何一个问题至今未找到多项式时间算法;
(2)如果这类问题中存在一个问题有多项式时间算法,则这类问题都有多项式时间算法这类问题就是所谓的NP完全问题。
(3)NPC问题的定义非常简单。
同时满足下面两个条件的问题就是NPC问题。
首先,它得是一个NP问题;然后,所有的NP问题都可以约化到它。
5.CCFNOIP复赛考试结束后,因(ABCD)提出的申诉将不会被受理。
A.源程序文件名大小写错误
B.源程序保存在指定文件夹以外的位置
C.输出文件的文件名错误
D.只提交了可执行文件,未提交源程序
三、问题求解(共2题,每题5分,共计10分;每题全部答对得5分,没有部分分)
1.某系统自称使用了一种防窃听的方式验证用户密码。
密码是n个数s1,s2,…,sn,均为0或1。
该系统每次随机生成n个数a1,a2,…,an,均为0或1,请用户回答(s1a1+s2a2+…+snan)除以2的余数。
如果多次的回答总是正确,即认为掌握密码。
该系统认为,即使问答的过程被泄露,也无助于破解密码——因为用户并没有直接发送密码。
然而,事与愿违。
例如,当n=4时,有人窃听了以下5次问答:
就破解出了密码s1=0,s2=1,s3=1,s4=1。
【分析】
(1)由第5组得到s1=0;
(2)由第1组、第5组得到s2=1;
(3)由第1组、第3组得到s3=1;
(3)由第2组、第3组得到s4=1;
2.现有一只青蛙,初始时在n号荷叶上。
当它某一时刻在k号荷叶上时,下一时刻将等概率地随机跳到1,2,…,k号荷尔蒙叶之一上,直至跳到1号荷叶为止。
当n=2时,平均一共跳2次;当n=3时,平均一共跳2.5次。
则当n=5时,平均一共跳37/12次。
【分析——递推】
(1)由n=2时,跳法2→2,2→1共2次,平均跳的次数f2=2次,说明在求平均时编号1不统计在内。
(2)由n=3时,跳法3→3,3→2,3→1,再从2号跳跳法2→2,2→1共5次,平均跳的次数f3=2.5次;f3=(3+f2)/2=2.5
(3)由n=4时,跳法分别是落在1号、2号、3号、4号;平均跳的次数
f4=(4+f2+f3)/3=(4+2+2.5)/3=8.5/3
(4)由n=5时,跳法分别是落在1号、2号、3号、4号、5号;平均跳的次数
f5=(5+f2+f3+f4)/4=(5+2+2.5+8.5/3)/4=37/12
四、阅读程序写结果(共4题,每题8分,共计32分)
1.【字符串——判定输入的字符串是否是回文串】
var
n,i:
integer;
str:
string;
isPlalindrome:
Boolean;
begin
readln(str);
n:
=Length(str);
isPlalindrome:
=true;
fori:
=1to(nidv2)do
begin
if(str[i]<>str[n-i+1])then
isPlalindrome:
=false;
end;
if(isPlalindrome)then
writeln(‘Yes’)
else
writeln(‘No’);
end.
输入:
abceecba
输出:
Yes
【分析】str[1]——str[8]、str[2]——str[7]、str[3]——str[6]、str[4]——str[5]这4对字符相同则返回true
2.【数学——1到1000中是10或15的倍数的数的个数】
Vara,b,u,v,I,num:
integer;
begin
readln(a,b,u,v);
num:
=0;
fori:
=atobdo
begin
if(Imodu=0)or(Imodv=0)theninc(num);
end;
writeln(num);
end.
输入:
110001015
输出:
133
【分析】此题计数1-1000范围内能够整除10或15的数有多少个,使用容斥原理或者集合求并很容易可以得到1000/10+1000/15-1000/30=133.
3.【动态规划——最长上升子序列的长度】
constSIZE=100;
varn,ans,I,j:
integer;
height,num:
array[1..SIZE]ofinteger;
begin
read(n);
fori:
=1tondo
begin
read(height[i]);
num[i]:
=1;
forj:
=1toi-1do
begin
if((height[j]
num[i]:
=num[j]+1;
end;
end;
ans:
=0;
fori:
=1tondo
begin
if(num[i]>ans)thenans:
=ans+num[i];
end;
writeln(ans);
end.
输入:
8
32511127410
输出:
4
【分析】
【1.状态描述】
(1)height[i]存放的数组
(2)num[i]:
数组height[1]——height[i]中中包含height[i]上升序列长度
【2.状态转移】
1.初始状态:
num[i]:
=1;num[1]:
=1;
2.状态转移:
从下标1逐步递推到n,求解num[i]
num[i]=Max{num[j],(1<=j<=i-1,height[j] 【3.算法分析】例height[4]=11>height[3]=5,num[4]=num[3]+1=3 【4.算法设计】 1.初始状态: num[i]: =1;num[1]: =1;求解num[i]的最优解 2.状态前驱: num[i]的前驱状态num[j]: num[1]——num[i-1] 3.状态转移: (1)条件: if((height[j] (2)转移方程: num[i]: =num[j]+1; 4.【深度优先搜索——上下左右找棋盘数字为0的连续单元格数量】 constSIZE=100; var n,m,p,count,ans,x,y,I,j: integer; a: array[1..SIZE,1..SIZE]ofinteger; procedurecolour(x,y: integer); begin inc(count); a[x][y]: =1; if(x>1)and(a[x-1][y]=0)thencolour(x-1,y);//上 if(y>1)and(a[x][y-1]=0)thencolour(x,y-1);//左 if(x if(y end; begin fillchar(a,sizeof(a),0); readln(n,m,p); fori: =1topdo begin read(x,y);a[x][y]: =1; end; ans: =0; fori: =1tondo forj: =1tomdo ifa[i][j]=0then begin count: =0; colour(i,j); if(ans =count; end; writeln(ans); end. 输入: 659 14 23 24 32 41 43 45 54 64 输出: 7 【分析】 【1.状态描述】 (1)棋盘状态: a[x][y]: =1或0 (2)count,ans: 数字为0的连续单元格数量,count当前解,ans当前最优解 【2.状态转移】 1.初始状态: 查找棋盘每个值为0的单元格a[i][j]=0 2.状态转移: 如果a[i][j]=0则 (1): 状态修改inc(count);a[i][j]: =1; (2): 按上下左右4个方向深度搜索下一单元格 【3.算法分析】分上下左右找数字为0的连续单元格数量 【4.算法设计】 1.初始状态: 查找棋盘每个值为0的单元格,并以它为起点查找数字为0的连续单元格数量count,初始count: =0 2.父状态a[x][y]=0 procedurecolour(x,y: integer); begin 1.计算新状态: inc(count); 2.父状态访问过标志: a[x][y]: =1; 3.试探各种子状态可能——按上下左右4个方向深度搜索下一单元格 4.下一单元格值为0,则深度搜索colour(x-1,y)…… end; 五、完善程序(第1题15分,第2题13分,共计28分) 1.(序列重排)全局数组变量a定义如下: constintSIZE=100; inta[SIZE],n; 它记录着一个长度为n的序列a[1],a[2],…,a[n]。 现在需要一个函数,以整数p(1≤p≤n)为参数,实现如下功能: 将序列a的前p个数与后n-p个数对调,且不改变这p个数(或n-p个数)之间的相对位置。 例如,长度为5的序列1,2,3,4,5,当p=2时重排结果为3,4,5,1,2。 有一种朴素的算法可以实现这一需求,其时间复杂度为O(n)、空间复杂度为O(n): procedureswap1(p: longint); var I,j: longint; b: array[1..SIZE]oflongint; begin fori: =1topdob[ (1)n-p+i]: =a[i];//(2分) fori: =p+1tondob[i-p]: =a[i]; fori: =1tondoa[i]: =b[i]; end; 【分析】 【算法设计】 1.第一种方法是通过开一个b数组,然后先将a数组中1到p的数复制到b数组中后p个位置: n-p+1到n。 2.将a数组p+1到n区间的数复制到b数组前段1——n-p。 3.最后再将b数组元素复制回a数组中;显然第一空是n-p+i。 以p=3为例 我们也可以用时间换空间,使用时间复杂度为O(n2)、空间复杂度为O (1)的算法: procedureswap2(p: longint); varI,j,temp: longint; begin fori: =p+1tondo begin temp: =a[i]; forj: =Idownto (2)i+1-pdoa[j]: =a[j-1];//(2分) (3)a[i-p]: =temp;//(2分) end; end; 【分析】 【1.算法分析】前P个数逐渐往后移动 【2.算法设计】 1.初始状态: 将第p+1位置空出——temp: =a[i];,将前p个数后移 2.空出位置i从p+1一直到n,移动的数就是i左边的p个数 3.将空出位置i原来的数temp放到i的前面空出的位置i-p——a[i-p]: =temp; 事实上,还有一种更好的算法,时间复杂度为O(n)、空间复杂度为O (1); procedureswap3(p: longint); var start1,end1,start2,end2,I,j,temp: longint; begin start1: =1;end1: =p; start2: =p+1;end2: =n; whiletruedo begin i: =star1; j: =start2; while(i<=end1)and(j<=end2)do begin temp: =a[i];a[i]: =a[j]; a[j]: =temp;inc(i); inc(j); end; ifi<=end1thenstart1: =i elseif(4)j<=end2then//(3分) begin start1: =(5)i;//(3分) end1: =(6)J-1(或start2-1);//(3分) start2: =j; end else break; end; end; 【分析】 【1.算法分析】 1.将数组分成两段start1——end1;start2——end2进行交换, i,j是两段数中当前交换数组的下标 2.状态转移1: 第一段数组全部交换结束,第二段尚有部分数组没有移动,即 if(i>end1)and(j (1)第一段start1、end1右移,应该在当前i、j之间: start1: =i;end1: =J-1 (2)第二段start2右移、end2不变——start2: =j; 3.状态转移2: 第二段数组全部交换
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