离散数学习题集.docx
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离散数学习题集
离散数学课外习题集
编者:
金鹏
时间:
2008-5-6
目录:
第一章
一、选择题
1.由n个命题变元组成不等值的命题公式的个数为()
A.2nB.2nC.n2D.
2.设P:
我将去镇上,Q:
我有时间。
命题“我将去镇上,仅当我有时间时”符号化为()
A.PQB.QPC.PQD.QP
3.下列各组公式中,哪组是互为对偶的?
()
A.P,PB.P,PC.A,(A*)*D.A,A
(其中P为单独的命题变元,A为含有联结词的命题变元)
4.设P:
我们划船,Q:
我们跑步。
命题“我们不能即划船又跑步”符号化为()
A.pQB.PQC.(PQ)D.PQ
5.下面哪一个命题是命题“2是偶数或-3是负数”的否定?
()
A.2是偶数或-3不是负数C.2是奇数或-3不是负数
C.2不是偶数且-3不是负数D.2是奇数且-3不是负数
6.设P:
张三可以作这件事,Q:
李四可以作这件事。
命题“张三或李四可以做这件事”符号化为()
A.PQB.PQC.PQD.(PQ)
7.下列语句中哪个是真命题?
()
A.我正在说谎。
B.严禁吸烟。
C.如果1+2=3,那么雪是黑的。
D.如果1+2=5,那么雪是黑的。
8.下面哪个联结词运算不可交换?
()
A.B.C.D.
9.命题公式(P(PQ))Q是()。
A.矛盾式B.蕴含式C.重言式D.等值式
10.下面哪个命题公式是重言式?
()
A.(PQ)(QP)B.(PQ)P
C.(PQ)(PQ)D.(PQ)
11.下列哪一组命题公式是等值的?
()
A.PQ,PQB.A(BA),A(AB)
C.Q(PQ),Q(PQ)D.A(AB),B
12.PQ的逆反式是()
A.QPB.PQC.QPD.QP
13.PQ的逆反式是()
A.QPB.PQC.QPD.PQ
14.下列命题联结词集合中,哪一个是最小联结词组?
()
A.{,}B.{,,}C.{}D.{,}
15.下列联结词集合中,哪一个不是最小联结词组?
()
A.{,}B.{,}C.{,,}D.{}
16.已知A是B的充分条件,B是C的必要条件,D是B的必要条件,则A是D的()
A.充分条件B.必要条件C.充要条件D.A、B、C都不对
17.PQ的反换式是()
A.QPB.PQC.QPD.PQ
18.下面哪一个命题公式是重言式?
()
A.P(QR)B.(PR)(PQ)
C.(PQ)(QR)D.(P(QR))((PQ)(PR))
19.下列哪个命题公式不是重言式?
()
A.Q(PQ)B.(PQ)P
C.(PQ)(PQ)D.(PQ)(PQ)
20.重言式的否定式是()
A.重言式B.矛盾式C.可满足式D.蕴含式
21.下面哪一个命题是假命题?
()
A.如果2是偶数,那么一个公式的析取范式惟一
B.如果2是偶数,那么一个公式的析取范式不惟一
C.如果2是奇数,那么一个公式的析取范式惟一
D.如果2是奇数,那么一个公式的析取范式不惟一
22.下面哪一组命题公式不是等值的?
()
A.(AB),ABB.(AB),(AB)(AB)
C.A(BC),A(BC)D.A(BC),(AB)C
23.命题公式PQR的对偶式为()
A.P(QR)B.P(QR)
C.P(QR)D.P(QR)
24.命题公式P(QR)是()
A.重言式B.可满足式C.矛盾式D.等值式
25.PQ()
A.P(PQ)B.(PQ)(QP)
C.(PQ)(QP)D.(PQ)(QP)
26.命题公式(PQ)R的主析取范式中含极小项的个数为()
A.8B.3C.5D.0
27.命题公式(PQ)R的主析取范式中含极大项的个数为()
A.0B.3C.5D.8
28.命题公式(PQ)R的成真赋值为()
A.000,001,110B.001,011,101,110,111
C.全体赋值D.无
29.如果AB成立,则以下各种蕴含关系哪一个成立?
()
A.BAB.ABC.BAD.AB
二、填空题
1.下列句子中,是命题的有
(1).我是教师。
(2).禁止吸烟!
(3).蚊子是鸟类动物。
(4).上课去!
(5).月亮比地球大。
2.设P:
我生病,Q:
我去学校
(1).命题“我虽然生病但我仍去学校”符号化为。
(2).命题“只有在生病的时候,我才不去学校”符号化为。
(3).命题“如果我生病,那么我不去学校”符号化为。
3.设P:
我有钱,Q:
我去看电影。
(1).命题“如果我有钱,那么我就去看电影”符号化为。
(2).命题“虽然我有钱,但我不去看电影”符号化为。
(3).命题“当且仅当我有钱时,我才去看电影”符号化为。
4.对于下列各式,是永真式的有。
(1).(P(PQ))Q
(2).P(PQ)
(3).Q(PQ)
(4).(P(PQ))Q
(5).(PQ)Q
5.(P(PQ))R。
6.P(PQ)。
7.对于下列各式
(1).(PQ)(PQ)可化简为。
(2).Q(P(PQ))可化简为。
(3).(PQ)(QP)P可化简为。
8.命题公式P(QR)的成真赋值为,成假赋值为。
9.若且则称X是公式A的子公式。
10.写出表中各列所定义的命题联结词。
P
Q
P①Q
P②Q
1
1
1
0
1
0
0
1
0
1
0
1
0
0
0
1
11.由n个命题变元可组成个不等值的命题公式。
12.用两种形式写出PQ的对偶式①,②。
13.两个重言式的析取是①,一个重言式与一个矛盾式的析取是②。
14.A、B为两个命题公式,AB当且仅当①,AB当且仅当②。
15.设P、Q为两个命题公式,德●摩根律可表示为①,吸收率可表示为②。
16.设命题公式A中仅含有联结词,,,若得到公式A*,则A*称为A的对偶式。
17.公式(PQ)R的只含联结词,,的等值式为①,它的对偶式为
②。
18.命题公式A(PQR)0,则其对偶式A*。
19.在命题演算中,一个蕴含式与它的①式是等值的,它的②式与它的③是不等值的。
20.公式PQ的反换式为①,逆反式为②。
21.任意两个不同极小项的合取为①式,全体极小项的析取式必为
②。
22.命题公式(PQ)的主析取范式为①,主合取范式的编码表示为
②。
23.已知公式A(P,Q,R)的主合取范式为M0M3M5,它的主析取范式为(写成编码形式)。
24.命题公式(PQ)的主析取范式为①,其编码表示为②,主合取范式的编码表示为③。
25.对于前提:
SQ,SR,R,PQ,其有效结论为。
26.对于前提:
(PQ)R,RS,S,其有效结论为。
三、判断题
1.“王兰和王英是姐妹”是复合命题,因为该命题中出现了联结词“和”。
()
2.凡陈述句都是命题。
()
3.语句3x+5y=0是一个命题。
()
4.命题“两个角相等当且仅当它们是对顶角“的值为1。
()
5.语句“x+y=4”是个命题。
()
6.命题“十减四等于五”是一个原子命题。
()
7.命题“如果1+2=3,那么雪是黑的”是真命题。
()
8.(P(QR))是一个命题演算的命题公式,其中P、Q、R是命题变元。
()
9.(P(QRQ))是一个命题公式,其中P、Q、R是命题变元。
()
10.若A:
张明和李红都是三好学生,则A:
张明和李红都不是三好学生。
()
11.若A:
张明和李红都是运动员,则A:
张明和李红不都是运动员。
()
12.若P:
每一个自然数都是偶数,则P:
每一个自然数都不是偶数。
()
13.若P:
每个自然数都是偶数,则P:
每个自然数不都是偶数。
()
14.如果AB,则ACBC,ACBC。
()
15.如果ACBC,则AB。
()
16.联结词“”是可结合的。
()
17.联结词“”是可结合的。
()
18.联结词“”是可交换的。
()
19.联结词“”是可交换的。
()
20.联结词“”是满足交换律。
()
21.“学习有如逆水行舟,不进则退”。
设P:
学习如逆水行舟,Q:
学习进步,R:
学习退步。
则命题符号化为P(QR)。
()
22.P、Q、R定义同上,则“学习有如逆水行舟,不进则退”形式化为:
P(QR)。
()
23.设P、Q是两个命题,当且仅当P、Q的真值均为1时,PQ的值为1。
()
24.命题公式(P(PQ))Q是矛盾式。
()
25.命题公式(P(PQ))Q是重言式。
()
26.联结词与不是相互可分配的。
()
27.在命题的演算中,每个最小联结词组至少有两个联结词。
()
28.命题联结词集{,}是最小联结词集。
()
29.命题联结词集{,,}是最小联结词集。
()
30.命题联结词集{,}是最小联结词集。
()
31.命题联结词集{}和{}是最小联结词集。
()
32.A是命题公式,A与(A*)*互为对偶式。
()
33.A是命题公式,A(A*)*。
()
34.P是命题变元,P与P互为对偶式。
()
35.任一命题公式的主析取范式和它的主合取范式互为对偶式。
()
36.任一命题公式都可以表示成与其等值的若干极小项的析取式。
()
四、综合题
1.使用命题:
P:
这个材料有趣。
Q:
这些习题很难。
R:
这门课程让人喜欢。
将下列句子用符号形式写出:
(1).这个材料有趣,并且这些习题很难。
(2).这个材料无趣,习题也不难,而且这门课程也不让人喜欢。
(3).如果这个材料无趣,习题也不难,那么这门课程就不会让人喜欢。
(4).这个材料有趣,意味着这些习题很难,并且反之亦然。
(5).或者这个材料有趣,或者这些习题很难,并且两者恰具其一。
2.用符号形式写出下列命题:
(1).假如上午不下雨,我去看电影,否则就在家里读书或者看报;
(2).我今天进城,除非下雨;
(3).仅当你走,我将留下;
(4).一个数是素数当且仅当它只能被1和它自身整除。
3.判断下列语句是否为命题,若是命题请指出是简单命题还是复合命题。
(1).
是无理数。
(2).5能被2整除。
(3).现在开会吗?
(4).x+5>0。
(5).这朵花真好看呀!
(6).2是素数当且仅当三角形有三条边。
(7).雪是黑色的当且仅当太阳从东方升起。
(8).2000年10月1日天气晴好。
(9).太阳系以外的星球上有生物。
(10).小李在宿舍。
(11).全体起立!
(12).4是2的倍数或是3的倍数。
(13).4是偶数且是奇数。
(14).李明与王华是同学。
(15).蓝色和黄色可以调配成绿色。
4.确定下列命题的真值:
(1).“如果太阳从西边出来,那么地球自转”;
(2).“如果太阳从东边出来,那么地球自转停止”;
(3).“如果8+9>30,那么三角形有三条边”;
(4).“如果疑问句是命题,那么地球将停止转动”。
5.判断下面语句是否是命题,若是,确定其真值:
(1).喜马拉雅山比华山高;
(2).如果时间静止不动,你就可以长生不老;
(3).如果时间流失不止,你就可以长生不老;
(4).伦敦是英国首都;
(5).这盆茉莉花好香阿!
6.给命题变元P、Q、R、S分别指派真值为1、1、0、0,求下列命题公式的真值:
(1).((PQ)R)(((PQ)R)S)
(2).(P(Q(RP)))(QS)
7.设A*、B*分别是命题公式A和B的对偶式,判断下列各式是否成立,若不成立,请举例说明:
(1).A*A
(2).AB则A*B*
(3).AB则A*B*
(4).(A*)*A
8.命题联结词“”定义为PQ(PQ)
(1).构造PQ的真值表;
(2).证明、、可以用仅含联结词的等值公式表示。
9.化简下列命题公式:
(1).A(A(BB))
(2).(ABC)(ABC)
(3).((PQ)(QP))R
(4).((AB)(BA)C
10.如果有ACBC,是否一定有AB?
11.如果有ACBC,是否一定有AB?
12.如果AB是否有AB?
13.用真值表判断下列各式是否为重言式:
(1).((PQ)(QR))(PR)
(2).(PQR)(PRQ)
14.设命题公式A的真值表如表所示,试求出A的主析取范式和主合取范式(用编码表示和公式表示):
P
Q
A
1
1
1
1
0
1
0
1
0
0
0
1
15.用等值演算法证明P(PQ)Q是重言式。
16.证明下列命题的等值关系:
(1).(PQ)(RQ)(PR)Q
(2).(PQAC)(APQC)(A(PQ))C
(3).P(QP)Q(PR)
(4).(PQ)(PR)P(QR)
(5).(PQ)(PQ)(PQ)
17.求证下面命题的蕴含关系:
(1).PQPQ
(2).(P(QR))(PQ)(PR)
18.求下面各式的主析取范式与主合取范式,并写出相应的为真赋值。
(1).(PQ)(PQ)
(2).(R(QP))(PQR))
(3).((PQ)Q)((QP)P)
(4).(P(QR))(R(QP))
(5).((PQ)(RP))((RQ)P
19.联结词f1,f2由表所示真值表定义,证明{f1,f2}是最小联结词组。
P
Q
f1P
Pf1Q
1
1
0
1
1
0
0
1
0
1
1
0
0
0
1
1
20.设计一种简单的表决器,表决者每人座位旁边有一按钮,若同意则按下按钮,否则不按按钮,当表决结果超过半数时,会场电铃就会响,否则铃不响。
试以表决人数为3人的情况设计表决器电路的逻辑关系。
21.证明{}时最小联结词组。
22.设计一加法器,实现两自然数相加的功能。
23.某勘探队有3名队员。
有一天取得一块矿样,3人的判断如下:
甲说:
这不是铁,也不是铜;
乙说:
这不是铁,是锡;
丙说:
这不是锡,时铁。
经实验室鉴定后发现,其中一人两个判断都正确,一个人判对一半,另一个全错了。
根据以上情况判断矿样的种类。
24.观察下列推理过程,是否正确,结论是否有效,说明理由。
(1).①PQRP
(2).②PRT①I
(3).③PP
(4).④RT②③I
所以PQR,PR。
25.下列证明过程是否正确,若正确补足每一步推理依据,否则指出错误。
(1).①DA
(2).②D
(3).③A
(4).④A(CB)
(5).⑤CB
(6).⑥C
(7).⑦B
(8).⑧DB
26.证明A(BC),B(CD)A(BD)。
27.用CP规则证明P(QR),Q(RS),PQS。
28.用推理规则说明AB,(BC),AC是否能同时为真。
29.用推理规则说明(PQ)R,SU,RS,UW,WPQ。
30.用推理规则证明下列推理的正确性:
如果A努力工作,那么B或C感到愉快;如果B愉快,那么A不努力工作;如果D愉快那么C不愉快。
所以,如果A努力工作,则D不愉快。
31.用等值演算法证明P(PQ)是矛盾式。
32.用CP规则证明A(BC),(EF)C,B(AS)BE。
33.用反证法证明(AB)(CD),(BE)(DF),(EF),ACA。
34.用反证法证明AB,(BC)C,(AD)D。
第二章
一、选择题
1.谓词公式x(P(x)yR(y))Q(x)中量词x的作用域是()
A.x(P(x)yR(y))B.P(x)
C.(P(x)yR(y))D.P(x),Q(x)
2.谓词公式x(P(x)yR(y))Q(x)中变元x是()
A.自由变量B.约束变量
C.既不是自由变量也不是约束变量
D.既是自由变量也是约束变量
3.若个体域为整体域,下列公式中哪个值为真?
()
A.xy(x+y=0)B.yx(x+y=0)
C.xy(x+y=0)D.xy(x+y=0)
4.设谓词P(x):
x是奇数,Q(x):
x是偶数,谓词公式x(P(x)Q(x))在下面哪个论域中是可满足的?
()
A.自然数集B.整数集C.实数集D.以上均不成立
5.设C(x):
x是运动员,G(x):
x是强壮的。
命题“没有一个运动员不是强壮的”可符号化为()
A.x(C(x)G(x))B.x(C(x)G(x))
C.x(C(x)G(x))D.x(C(x)G(x))
6.设A(x):
x是人,B(x):
x犯错误,命题“没有不犯错误的人”符号化为()
A.x(A(x)B(x))B.x(A(x)B(x))
C.x(A(x)B(x))D.x(A(x)B(x))
7.设Z(x):
x是整数,N(x):
x是负数,S(x,y):
y是x的平方,则“任何整数的平方非负”可表示为下述谓词公式()
A.xy(Z(x)S(x,y)N(y))
B.xy(Z(x)S(x,y)N(y))
C.xy(Z(x)S(x,y)N(y))
D.x(Z(x)S(x,y)N(y))
8.令F(x):
x是火车,G(y):
y是汽车,H(x,y):
x比y快。
则语句“某些汽车比所有的火车慢”可表示为()
A.y(G(y)x(F(x)H(x,y)))
B.y(G(y)x(F(x)H(x,y)))
C.xy(G(y)(F(x)H(x,y)))
D.y(G(y)x(F(x)H(x,y)))
9.设个体域A={a,b},公式xP(x)xS(x)在A中消去量词后应为()
A.P(x)S(x)
B.P(a)P(b)(S(a)S(b))
C.P(a)S(b)
D.P(a)P(b)S(a)S(b)
10.在谓词演算中,下列各式哪个是正确的?
()
A.xyA(x,y)yxA(x,y)
B.xyA(x,y)yxA(x,y)
C.xyA(x,y)xyA(x,y)
D.xyA(x,y)yxA(x,y)
11.下列各式哪个不正确?
()
A.x(P(x)Q(x))xP(x)xQ(x)
B.x(P(x)Q(x))xP(x)xQ(x)
C.x(P(x)Q(x))xP(x)xQ(x)
D.xP(x)Q)xP(x)Q
12.下面谓词公式哪个是前束范式?
()
A.xyz(B(x,y)A(z))
B.xyB(x,y)
C.xyx(A(x,y)B(x,y))
D.x(A(x,y)yB(y))
13.在谓词演算中:
P(a)是xP(x)的有效结论,其理论根据是()
A.全称规定规则(US)B.全称推广规则(UG)
C.存在规定规则(ES)D.存在推广规则(EG)
二、填空题
1.令R(x):
x是实数,Q(x):
x是有理数。
(1)命题“并非每个实数都是有理数”。
其符号化为①。
(2)命题“虽然有些实数是有理数,但并非一切实数都是有理数”。
则其符号化可表示为②。
2.设G(x):
x是金子,F(x):
x是闪光的,则命题“金子是闪光的,但闪光的不一定是金子”符号化为。
3.设C(x):
x是计算机,P(x,y):
x能做y,I(x):
x是智能工作,则命题“并非所有智能工作都能由计算机来做”符号化为。
4.设Q(x):
x是偶数,P(x):
x是素数,则命题“存在惟一一个偶素数”可符号化为
①,“至多存在一个偶素数”可符号化为②。
5.设Q(x):
x是奇数,Z(x):
x是整数,则语句“不是所有整数都是奇数”所对应的谓词公式为。
6.设个体域为自然数集,P(x):
x是奇数,Q(x):
x是偶数,则命题“不存在既是奇数又是偶数的自然数”可符号化为。
7.设个体域为全总个体域,R(x):
x是实数,Q(x):
x是有理数,Z(x):
x是整数,则命题“所有的有理数是实数”,“有些有理数是整数”,“有些有理数是实数担不是整数”符号化分别为①,②,③。
8.xy(P(x,y)Q(y,z))xP(x,y)中x的作用域为①,y的作用域为
②,x的作用域为③。
9.公式x(P(x)Q(x,y)R(y,z))S(x)中自由变量为①,约束变量为
②。
10.取个体域为整数集,给定下列公式:
(1).xy(x·y=0)
(2).xy(x·y=1)
(3)xy(x·y=2)(4)xyz(x-y=z)
(5).x-y=-y+x(5).xy(x·y=y)
(7)x(x·y=x)(8).xy(x+y=2y)
上面公式中,真命题的有①,假命题的有②。
*11.下列谓词公式
(1).(xA(x))与xA(x)
(2).x(A(x)B(x))与xA(x)xB(x)
(3).x(A(x)B(x))与xA(x)xB(x)
(4).xyD(x,y)与yxD(x,y)
中是等值的。
12.对公式x(P(x)Q(x)),其中P(x):
x=1,Q(x):
x=2,当论域为{1,2}时,其真值为
①,当论域为{0,1,2}时,其真值为②。
13.设个体域为A={a,b,c},消去公式xP(x)xQ(x)中的量词,可得。
14.下列各式
(1).x(P(x)Q(x))(xP(x)xQ(x))
(2).(x(A(x)B(x))A(c))A(c)
(3).(x(A(x)B(x))xB(x))xA(x)
(4).(x(P(x)Q(x)))xP(x)Q(x))
其中是永真式。
15.下列各式
(1).yxA(x,y)
(2).xyA(x,y)
(3).xyA(x,y)(4).xyA(x,y)
它们之间存在着的推理关系。
可供选择的项有:
A.
(1)
(2);
(2)(3)B.
(2)
(1);(3)(4)
C.
(1)(3);(4)(3)D.(4)
(1);
(1)(3)
E.
(1)(3);
(2)(4)
16.填上联结词:
xP(x)xQ(x)x(P(x)Q(x))
*17.只用联结词,,,表示以下的公式。
(1).x(P(x)Q(x))=①;
(2).x(P(x)yQ(y))=②;
(3).y(xP(x)Q(y))=③。
18.给定下面谓词公式:
(1).x(F(x)F(x))
(2).xF(x)xF(x)
(3).(F(x)(yG(x,y)F(x)))
(4).xyF(x,y)xyF(x,y)
(5).xF(x)xF(x)
(6).x(F(x)G(x))(xF(x
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- 离散数学 习题集