数学二真题+答案解析.docx
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数学二真题+答案解析
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题
一、选择题:
1:
8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题
目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上•
0时,若In(12x),(1cosx)均是比x高阶的无穷小,则
(1)当x
(A)(2,)(B)(1,2)
(2)下列曲线中有渐近线的是
(A)yxsinx
1
(C)yxsin
x
⑶设函数f(x)具有2阶导数,g(x)f(0)(1
(C)
中)
(D)
1
(0,:
)
2
(
)
(B)
2
yx
sinx
2
.1
(D)
yx
sin
x
x)
f
(1)x,则
⑷在区间
[0,1]
上
(
)
的取值范围是()
2
(A)〔
当f(x)
0时,
f(x)
g(x)
(B)〔
当f(x)
0时,
f(x)
g(x)
(C)〔
当f(x)
0时,
f(x)
g(x)
(D)I
当f(x)
0时,
f(x)
g(x)
(C)u(x,y)的最大值在D的内部取得,最小值在D的边界上取得
(D)u(x,y)的最小值在D的内部取得,最大值在D的边界上取得
行列式
(A)
(ad
be)2
(B)
2
(adbe)
(C)
2j2ad
b2c2
(D)
.222.2
bead
设
1,2,
3均为3维向量,
则对任意常数k,l
向量组1k3,2
l3线性无关是向量组
2,
3线性无关的
(
(A)
必要非充分条件
(B)
充分非必要条件
(C)
充分必要条件
(D)
既非充分也非必要条件
填空题:
9
:
14小题,每小题
4分,共24分.请将答案写在答题纸指定位置上•
(8)
)
1?
1
(12)
曲线rr()的极坐标方程是
则L在点(r,)(3,?
)处的切线的直角坐标方程是
((9)
(13)一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上,若其线密度xx22x1,则该细棒的质
心坐标x.
(14)设二次型fx,,X2,x3N2x222ax1x34x2x3的负惯性指数为1,则a的取值范围为
三、解答题:
15〜23小题,共94分.请将解答写在答题纸.指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤•
(15)(本题满分10分)
1
x2
t2d1tdt
1
x2ln11
x
求极限lim—
x
(16)(本题满分10分)
f(0)0,f(0)0,求f(u)的表达式.
(I)0
a
(II)a
x
g(t)dtxa,x
a
b
g(t)dtb
af(x)dxa
[a,b],
f(x)g(x)dx.
(20)(本题满分11分)
设函数f(x)—,x
1x
(19)(本题满分10分)
0,1,定义函数列f1(x)f(x),f2(x)f(f1(x)),L,
fn(x)f(fn1(X)),L,记Sn是由曲线目fn(X),直线X1及X轴所围成平面图形的面积,求极限limnSn.
nn
(21)(本题满分11分)
已知函数f(x,y)满足一^2(y1),且f(y,y)(y1)2(2y)lny,求曲线f(x,y)0
y
所围成的图形绕直线y
1旋转所成的旋转体的体积•
(22)(本题满分11分)
1
2
3
4
设矩阵A
0
1
1
1,E为三阶单位矩阵
1
2
0
3
(I)求方程组
Ax
0的一个基础解系;
(II)求满足AB
E的所有矩阵.
(23)(本题满分11分)
1
1
L
1
0
L
0
1
―1
1
L
1-
0
L
0
2丄,
证明n阶矩阵
与
相似
M
M
M
M
M
M
M
M
1
1
L
1
0
L
0
n
2014年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题答案
个选项符合题
、选择题:
1:
8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有-
目要求的,请将所选项前的字母填在答题纸~~指定位置上•
(2)下列曲线中有渐近线的是
(A)
y
xsinx
(B)
y
2
xsinx
(C)
y
.1
xsin
x
(D)
y
2.1xsin
x
【答案】
C
.1xsin
sin1
【解析】关于
C选项:
limxlim1
limx
101.
xxx
xx
lim[x
•1]sinx]
1
limsin0,所以
yxsin
1
存在斜渐近线yx
x
x
xx
x
故选C
⑶设函数f(x)具有2阶导数,
g(x)
f(0)(1
(A)当
f(x)
0时,
f(x)
g(x)
(C)当
f(x)
0时,
f(x)
g(x)
【答案】D
【解析】令
F(x)
g(x)
f(x)
f(0)(1
x)
x)f
(1)x,则在区间[0,1]上(
(B)当f(x)0时,f(x)g(x)
(D)当f(x)0时,f(x)g(x)
f
(1)xf(x),则
F(0)F
(1)0,
F(x)
f(0)f
(1)f(x),F(x)f(x).
若f(x)0,则F(x)0,F(x)在[0,1]上为凸的.
又F(0)
F
(1)
0,所以当x[0,1]时,F(x)0,从而g(x)
f(X).
故选D.
x
⑷曲线
y
t2
t2
4t
上对应于t
1
1的点处的曲率半径是
(A)
50
(B)込
100
(C)10、、10
(D)5、、10
【答案】
【解析】
dy
dx
2t
2t
d2y
dx2
故选C
dyx
2
t7
2t
⑸设函数f(x)arctanx,若f(x)xf(
(A)
(B)3
(C)i
【答案】
【解析】
因为
f(x)
2xf(x)f(x)
lim飞
x0x
故选D.
xf(x)
lim2
x0xf(x)
xarctanxlim—
x0xarctanx
1lim
x0
1
1x2
3x2
⑹设函数u(x,y)在有界闭区域
D上连续,在D的内部具有2阶连续偏导数,且满足
2
-20,则
y
(A)
u(x,y)的最大值和最小值都在D的边界上取得
(B)
u(x,y)的最大值和最小值都在D的内部上取得
(C)
u(x,y)的最大值在
D的内部取得,最小值在D的边界上取得
(D)
u(x,y)的最小值在
D的内部取得,最大值在D的边界上取得
【答案】
【答案】B
ad(ad
be)
bc(ad
bc)
【解析】由行列式的展开定理展开第一列
a
b
0
a
b
0
a
c
d
0
c
0
0
b
0
0
d
c
d
0
(8)设ai,a2,a3均为三维向量,则对任意常数
k,l,向量组aika3,a2
la3线性无关是向量组
ai,a2,a3线性无关的
(B)充分非必要条件
(A)必要非充分条件
1
0
【解析】
1k32l3123
0
1.
k
l
1
0
)记A1k32l3,B
1
23,C
0
1.若1,2,3线性无
k
l
关,则
r(A)r(BC)r(C)2,故1k3,
2
l3线性无关.
(C)充分必要条件(D)既非充分也非必要条件
【答案】A
)举反例•令30,则1,2线性无关,但此时1,2,3却线性相关
综上所述,对任意常数k,l,向量1k3,2l3线性无关是向量
1,2,3线性无关的必
要非充分条件.
故选A
二、填空题:
9:
14小题,每小题
4分,共24分.请将答案写在答题纸
指定位置上
11
(9)2dx
x2x5
3
【答案】3
8
【解析】
1dx2x5
11x11
2dx-arctanx12422
(10)设f(x)是周期为4的可导奇函数,且f(x)
2(x1),x[0,2],则f(7)
【答案】1
【解析】fx2x1,x0,2且为偶函数
则f'x2x1,x2,0
x22xc且为奇函数,故c=0
2
fxx2x,x2,0
(11)设z
z(x,y)是由方程
e2yzx
7确定的函数,则d
【答案】
丄(dx
2
dy)
【解析】对
e2yz
4方程两边同时对
x,y求偏导
e2yz2y
e2yz(2z
2y二)
y
2y
(2勺
1z
2,y
11
(丄丄)
22
故dz
(第)
22
2dx
11
(3)dy3(dx
dy)
(12)曲线limnSh的极坐标方程是r
n
xrcoscos
yrsinsin
,则L在点(r,)(-,-)处的切线的直角坐标方程是
2
【答案】y—x—
2
【解析】由直角坐标和极坐标的关系
于是r,
J
对应于
x,y
0,—,
22
2
屯
切线斜率
dy
d
cos
sin
dy
2
dx
dx
cos
sin
dx
0,
2
d
所以切线方程为y-
2
2x0
(13)一根长为1的细棒位于x轴的区间[0,1]上,若其线密度
x22x1,则该细棒的质
心坐标X_
11
【答案】
20
【解析】质心横坐标
1
xxdx
0
dx
1
dx=
0
2x
dx
X3
1
dx=x
0
x22x
1dx
11
12
11
12=11
5=20
3
(13)
设二次型f
2
X1
2
X2
2ax1X34X2X3的负惯性指数是1,贝Ua的取值范围
【答案】2,2
【解析】配方法:
fX1,X2,X3
x1
由于二次型负惯性指数为1,所以三、解答题:
2
ax3
2
a0,故2a2.
22
aXs
X22X324xf
15〜23小题,共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证
明过程或演算步骤•
(15)(本题满分10分)
Xt2
1
求极限lim
X
1
et1tdt
x2ln11
x
【解析】lim
X
X1
1t2(eT1)tdt
X2ln(1
lim
X
x1
1t2(er1)tdt
(16)(本题满分
10分)
lim[
X
1
t
X
lim
0
1
(e'1)
et1t
X]
lim
t0
et1
2t
lim
t0
t
2t
已知函数y
满足微分方程
值•
2
yy
1x2
【解析】由x2(y21)y
此时上面方程为变量可分离方程,解的通解为
13
3yy
由y
(2)
又由①可得y(x)
当y(x)0时,x
1,y(x)0
x1,y(x)
1,y(x)0
1x2
1,且有:
x
所以y(x)在x
y
(1)0,y
(1)
1处取得极小值,在X1处取得极大值
设平面区域Dx,y
22
xydxdy.
即:
y(x)的极大值为1,极小值为0.
(17)(本题满分10分)
xsin
22
1Xy4,x0,y0,计算
D
【解析】D关于yx对称,
XSin(x2『hdy
满足轮换对称性,则:
ySin(x2y2)dxdy
列」Edxdy
xsin(x2y2)
ysin(x2y2)
dxdy
sin(
D
2)dxdy
2
sin
1
rdr
2
rdcos
cos
■2
rr1
2
cos
1
rdr
^sin
rI:
3
4
(18)(本题满分
10分)
设函数f(u)具有二阶连续导数,
f(excosy)满足
2
4(4z
y
x2x
ecosy)e,右
f(0)0,f(0)
0,求f(u)的表达式
【解析】
z
cosy,一
x
f(ex
cosy)excosy,—Zf(excosy)
y
x
esiny
2z
f(excosy)excosy
x
ecosy
f(excosy)excosy
2
z
2
y
2z
xx
ecosy)esiny
x
4zecosy
2x
e,
代入得,
x
esiny
f(excosy)excosy
x
fecosy
2xe
[4fexcosyexcosy]e2x
xx
fecosy4fecosy
x
ecosy,
设函数f(x),g(x)在区间
[a,b]上连续,且
f(x)单调增加,0g(x)1,证明:
(I)
令excosy=t,得ft4ft
x
0g(t)dtxa,x[a,b],
a
a
b
g(t)dt
b
(II)
a
af(x)dx
af(x)g(x)dx.
x
【解析】(I)
1由积分中值定理
ag
tdtgxa,
[a,x]
Q0
gx
1,
0g
x
axa
0
x
ag
tdt
xa
(II)
直接由
0
gx1,
得到
x
x
0
gt
dt
1dt=x
a
a
a
u
u
agtdt
(II)
令F
u
fxg
a
xdx
afxdx
a
1
u
Fu
f
ug
ufa
ag
tdtgu
g
uf
u
u
fag
a
tdt
u
u
由(I)知0gtdtuaaagtdtu
aa
又由于fx单增,所以fufa
u
agtdt0
u0,Fu单调不减,FuFa
b,得Fb0,即(II)成立.
(20)(
本题满分11分)
0,1,定义函数列
设函数f(x)—,x
1x
及x轴所围成平面图形的面积,求极限IimnSn•
nn
o
令f(x,y)0,可得(y1)
1时,x1或x2,从而所求的体积为
22
Inx(2x—)
2ln2
(2x
1
2
y)
4
2ln2
dx
2ln2
(22)(本题满分
11分)
1
设矩阵A
Ax
AB
E为三阶单位矩阵
12
341
0
0
1
23
4
10
0
AE01
110
1
0
0
11
1
01
0
12
030
0
1
0
43
1
10
1
12
341
0
0
100
1
2
6
01
110
1
0
0
10
2
1
3
00
131
4
1
0
01
3
1
4
(I)Ax0的基础解系为
1,2,3,1
T
T
T
T
(II)e.
1,0,0,e20,1,00,0,1
Ax
ei的通解为xk1
2,1,1,0
T
2
k1,
12K,
1
3k1,k1
T
Ax
e2的通解为xk2
6,3,4,0
T
6
k2,
32k2,
4
3k2,k2
T
T
T
Ax
e3的通解为xk3
1,1,1,0
1
k3,1
2k3,13k3,k3
2k1
6k2
1
k3
「12k1
32k21
2k3
B
(k1,k2,k3为任意常数)
13k1
43k2
1
泳3
1
1
1
k1
k2
0的一个基础解系;
E的所有矩阵B.
(I)求方程组
(II)求满足【解析】
(23)(本题满分11分)
1
1
L1
0
L
0
1
1
1
L1-
0
L
0
2丄,
证明n阶矩阵
与
相似•
M
M
MM
M
M
M
M
1
1
L1
0
L
0
n
1
1
【解析】已知A
M
1
LL1
B=
2
00L1,
M
M
1
n
则A的特征值为n,
0(n
1重).
A属于n的特征向量为(1,1L,1)T;r(A)1,故Ax0基础解系有n1个线性无关
的解向量,即A属于0有n1个线性无关的特征向量;故A相似于对角阵
n
_0
O
0
B的特征值为n,0(n1重),同理B属于0有n1个线性无关的特征向量,故B相
似于对角阵•
由相似关系的传递性,A相似于B.
22
及一2—20,则
xy
(A)u(x,y)的最大值和最小值都在D的边界上取得
(B)u(x,y)的最大值和最小值都在D的内部上取得
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