安徽省马鞍山市届高三第二次教学质量监测数学(理)试卷Word版含答案Word文件下载.docx
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29p12
37p12
7.如图所示的一个算法的程序框图,则输出d的最大值为()
A.2
B.2
C.1+2
D.1+22
1
8.如图,点E在正方体的棱CC1上,且CE=CC1,削去正方体过B,E,D1三点所在的平面下3
方部分,则剩下部分的左视图为()
D.1ö
æ
9.二项式ç
3x+3÷
的展开式中只有第11项的二项式系数最大,则展开式中x的指数为整xø
è
n
数的顶的个数为(A.3B.5)
C.6D.7
pö
pö
pæ
10.设w>
0,函数y=2cosç
wx+÷
的图象向右平移个单位长度后与函数y=2sinç
55ø
5è
ø
图象重合,则w的最小值是(A.
12)
52
32
72
11.已知M,N为椭圆
x2y2+=1(a>
b>
0)上关于长轴对称的两点,A,B分别为椭圆的左、右a2b2)
顶点,设k1,k2分别为直线MA,NB的斜率,则k1+4k2的最小值为(A.
2ba
3ba
4ba
5ba
12.已知数列{an}满足对1£
n£
3时,an=n,且对"
nÎ
N*,有an+3+an+1=an+2+an,则数列
{n×
an}的前50项的和为(A.2448B.2525)
C.2533D.2652
第Ⅱ卷(共90分)
二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)
13.已知向量a,b满足,a=1,3,b=1,a+b=3,则a,b的夹角为
14.点
F、A、B分别为双曲线C:
(
)
.
x2y2实轴端点、虚轴端点,且DFAB-=1(a>
0,b>
0)的焦点、a2b2
为直角三角形,则双曲线C的离心率为
15.已知四面体ABCD中,AB=1,BC=2,CD=AC=3,当四面体ABCD的体积最大时,其外接球的表面积为.
2x2-2,x³
16.已知函数f(x)=í
4,函数g(x)=f(x)+1-x2+f(x)-1-x2-2ax+4a有三ï
-x,x<
3
个零点,则实数a的取值范围为
17.如图,DABC中A为钝角,过点A作AD^AC交BC于D,已知AB=23,AD=2.
(1)若B=30°
,求Ð
BAD的大小;
(2)若BC=3BD,求BD的长.
18.某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量y(g)与尺寸x(mm)之间近似满足关系式y=axb(a,b为大于0的常数).现随机抽取6件合格产品,测得数据如下:
对数据作了初步处理,相关统计位的值如下表:
(1)根据所给数据,求y关于x的回归方程;
æ
eeö
(2)按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间ç
÷
内时为优等品.现从抽取的6è
97ø
件合格产品中再任选3件,记x为取到优等品的件数,试求随机变量x的分布列和期望.附:
对于一组数据(v1,u1),(v2,u2),,(vn,un),其回归直线u=(a+b)v的斜率和截距的最小二
乘估计分别为b=
å
vu
i=1ni=1
ii
-nv×
u
2
vi2-nv,a=u-bv.
19.如图,在五棱锥M-ABCDE中,四边形ABCD为等腰梯形,AD//BC,AD=2BC=4,AB=5,DMEA和DMED都是边长为22的正三角形.
(1)求证:
ME^面MBC;
(2)求二面角B-MC-D的大小.
20.直线y=kx+4与抛物线C:
x2=2py(p>
0)交于
A、B两点,且OA×
OB=0,其中O为原点.
(1)求此抛物线的方程;
(2)当k=0时,过A,B分别作C的切线相交于点D,点E是抛物线C上在A,B之间的任意一点,抛物线C在点E处的切线分别交直线AD和BD于点P,Q,求DABE与DPQD的面积比.
21.已知函数g(x)=xlnx,h(x)=
ax2-1(a>
0).2
(1)若g(x)<
h(x)对xÎ
(1,+¥
)恒成立,求a的取值范围;
1ö
2ö
(2)证明:
不等式ç
1+2÷
ç
nø
nö
3æ
1+<
e4对于正整数n恒成立,其中e=
2.71828ç
2÷
为
自然对数的底数.
请考生在
22、23两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修4-4:
坐标系与参数方程
ï
x=-6-2t在平面直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为:
í
(t为参数).在极坐标系(与ï
y=26+2t
平面直角坐标系xOy取相同的长度单位,且以原点O为极点,以x轴正半轴为极轴)中,圆C的方程为r=46cosq.
(1)求圆C的直角坐标方程;
(2)设圆C与直线l交于点A,B,求AB的大小.
23.选修4-5:
不等式选讲已知f(x)=x+1+x+m,g(x)=x2+3x+2.
(1)若m>
0且f(x)的最小值为1,求m的值;
(2)不等式f(x)£
3的解集为A,不等式g(x)£
0的解集为B,BÍ
A,求m的取值范围.
试卷答案
一、选择题
1-
5:
BBBAD6-
10:
BCADC
11、12:
CB二、填空题
13.
2p3
14.
5+12
15.6p
4ö
é
4
16.ê
-,-÷
ë
913ø
三、解答题
17.解:
(1)在DABD中,由正弦定理得解得sinÐ
ADB=
232ABAD=,,=sinÐ
ADBsin30°
sinÐ
ADBsinB
3,又Ð
ADB为钝角,则Ð
ADB=120°
,故Ð
BAD=30°
.2
(另解:
在DABD中,由余弦定理解得BD=2,从而DABD是等腰三角形,得Ð
(2)设BD=x,则DC=2x.∵AD^AC,∴cosÐ
ADC=
211=,∴cosÐ
ADB=-.2xxx
在DABD中由余弦定理得,cosÐ
ADB=∴
x2+22-232×
2×
x
=
x2-8,4x
x2-81=-,解得x=2,故BD=2.4xx
18.解:
(1)对y=axb(a,b>
0),两边取自然对数得lny=blnx+lna,令vi=lnxi,ui=lnyi,得u=bv+lna,由b=
i=1
ii2i
u-nv
v
1,lna=1Þ
a=e,2
故所求回归方程为y=ex2.
yex2eæ
(2)由==1Î
Þ
49<
x<
81Þ
x=58,68,78,即优等品有3件,xxè
x2
x的可能取值是0,1,2,3,且
P(x=0)=
031C3×
C3C3×
C3219=Px=1==,()33C620C620
P(x=2)=
1C32×
C091=,P(x=3)=333=.3C620C620
其分布列为∴E(x)=0´
19913+1´
+2´
+3´
=.202020202
19.解:
(1)证明:
分别取AD和BC的中点O,F,连接OF,OM,MF.由平面几何知识易知E,O,F共线,且EF^BC.由AE=DE=22,AD=4得OE=2,从而DAOM@DEOM@DDOM,∴OM^AD,又AD//BC,∴OM^BC.∴BC^面MEF,∴BC^ME.在RtDEOM中,OM=ME2-OE2=2,∴MF=OF2+OE2=22,在等腰梯形ABCD中,OF=AB2-(OA-BF)=2,EF=4,2
∴EF2=ME2+MF2,∴ME^MF,又MFÇ
BC=F,MF,BCÌ
面MBC,∴ME^面MBC.
(2)由
(1)知MO^面ABCDE且OA^OF,故建立空间直角坐标系如图所示.
则M(0,0,2),E(0,-2,0),C(-1,2,0),D(-2,0,0),DC=(1,2,0),DM=(2,0,2).
由
(1)知面MBC的法向量为EM=(0,2,2).设面MDC的法向量为n=(x,y,z),ì
n×
DC=0ì
x+2y=0ï
则由í
,得í
,î
2x+2z=0ï
DM=0令x=2,得n=(2,-1,-2),∴cosn,EM=
n×
EMn×
EM=-63×
22=-2.2
所以,二面角B-MC-D大小为135°
.
20.解:
(1)设A(x1,y1),B(x2,y2),将y=kx+4代入x2=2py,得x2-2pkx-8p=0.其中D>
0,x1+x2=2px,x1x2=-8p.所以,OA×
OB=x1x2+y1y2=x1x2+所以抛物线的方程x2=4y.
(2)当k=0时,A(-4,4),B(4,4),易得抛物线C在A,B处的切线方程分别为y=-2x-4和
y=2x-4.从而得D(0,-4).
x12x22=-8p+16.由已知,-8p+16=0,p=2.4p2
设E2a,a2(-2<
a<
2),则抛物线C在E处的切线方程为y=ax-a2,设直线PQ与x轴交点为M,则M0,-a2.由y=ax-a2和y=-2x-4联立解得交点P(a-2,-2a),由y=ax-a2和
y=2x-4联立解得交点Q(a+2,2a),(
所以SDPQD=
SDABE=
11DMxP-xQ=-a2-(-4)(a-2)-(a+2)=24-a2,22
11AByE-4=´
8´
a2-4=44-a2,22
所以DABE与DPQD的面积比为
2.
21.解:
(1)法一:
记f(x)=g(x)-h(x)=xlnx-则j(x)=f¢
(x)=lnx+1-ax,j¢
(x)=①当a³
1时,∵xÎ
),∴j¢
(x)=
1-a<
1-a£
0,∴f¢
(x)在(1,+¥
)上单减,x1-a,xa21x+,22
又f¢
(1)=1-a£
(x)<
0,即f(x)在(1,+¥
)上单减,此时,f(x)<
f
(1)=-②当0<
1时,a-1£
0,即g(x)<
h(x);
21æ
1ö
考虑xÎ
1,÷
时,j¢
(x)=-a>
a-a=0,∴f¢
(x)在ç
上单增,xè
aø
又f¢
(1)=1-a³
(x)>
0,即f(x)在ç
上单増,è
综上所述,aÎ
[1,+¥
).法二:
当xÎ
)时,g(x)<
h(x)等价于a>
F¢
(x)=2(x-1-xlnx)x3
2xlnx+1=F(x),x2,记m(x)=x-1-xlnx,则m¢
(x)=-lnx<
0,∴m(x)在(1,+¥
)上单减,∴m(x)<
m
(1)=0,∴F¢
(x)<
0,即F(x)在(1,+¥
)上单减,F(x)<
F
(1)=1,故aÎ
).
(1)知:
取a=1,当xÎ
(0,+¥
h(x)恒成立,即xlnx<
x2-1x2-1恒成立,即lnx<
恒成立,22x
即ln(1+x)<
(x+1)-1x2+2x对于xÎ
0,+¥
恒成立,=()2(x+1)2(x+1)
kö
+2ç
1kknæ
ö
=æ
+kö
£
1æ
k+kö
,k=1,2,L,n,由此,lnç
<
÷
2è
n2n2+kø
n2n2+1ø
2ç
+2è
nø
é
1ö
nö
ù
于是lnê
Lç
ú
=lnç
+lnç
+L+lnç
û
1æ
12n12nö
2+2+L+2+2++L+2÷
2è
nnnn+1n2+1n+1ø
1æ
n(n+1)n(n+1)ö
12n3+2n2+n+11é
n3-2n2+2n-1ù
ê
=ç
+=×
=3-÷
4è
44ê
n(n2+1)n(n2+1)ú
2n(n-1)+(n-1)ù
31é
,=ê
3-4ê
4n(n2+1)ú
31ö
故ç
e4.è
22.解:
(1)由r=46cosq,得圆C的直角坐标方程为:
x-26
+y2=24.
(2)
(法一)由直线l的参数方程可得直线l的普通方程为:
x+y-6=0,代入圆C方程消去y可得x2-36x+3=0∴x1+x2=36,x1×
x2=3∴AB=1+(-1)×
(x1+x2)
-4x1x2=221
(也可以用几何方法求解)(法二)将直线l的参数方程代入圆C的方程可得:
-36-2t整理得:
2t2+103t+27=0∴t1+t2=-53,t1×
t2=
272
)+(2
6+2t
=24
根据参数方程的几何意义,由题可得:
AB=2×
2t1-2t2=2
(t1+t2)
-4t1t2=221.
23.解:
(1)f(x)=x+1+x+m³
(x+1)-(x+m)=1-m(当x=-1时,等号成立)∵f(x)的最小值为1,∴1-m=1,∴m=2或m=0,又m>
0,∴m=2.
(2)由g(x)£
0得,B=[-2,-1],∵BÍ
A,∴"
xÎ
B,f(x)£
3,即-(x+1)+x+m£
3Û
x+m£
x+4Û
-x-4£
x+4
Û
x³
-m+4m+4且m£
4Û
-£
-2且m£
0£
m£
4.22
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