《函数的奇偶性》课件与导学案.pptx
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《函数的奇偶性》课件与导学案.pptx
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第第33章章函数的概念与性质函数的概念与性质3.2.23.2.2函数的奇偶性函数的奇偶性偶函数画出函数和函数的图像并观察,你能发现什么共同的特征?
可以发现,这两个函数都关于y轴对称.也就是说,当自变量取互为相反数的两个数时,函数值是相等的,即对于,有对于,有常见的偶函数有,等等偶函数【定义】一般地,设函数的定义域为A,如果对于,都有,且,即的图像关于y轴对称,那么就称为偶函数.【思考】对于定义在R上的函数,若,那么这个函数是偶函数吗?
【答】不一定.因为并不能保证所有的,所以不一定是偶函数.要证明某个函数不是偶函数,只需要列举出一个反例x0,证明f(-x0)f(x0)即可【1】该函数的定义域关于y轴对称,即任意xA(A为定义域),-xA;任取一个自变量x,都满足f(-x)=f(x)偶函数【总结】一般地,一个函数是偶函数的两个判断方式:
【2】几何法,函数的图像关于y轴对称,那么函数就是偶函数偶函数偶函数图像关于y轴对称代数特征几何特征定义中,的常见变形有:
画出函数和函数的图像并观察,你能发现什么共同的特征?
奇函数可以发现,这两个函数都关于原点成中心对称.也就是说,当自变量取互为相反数的两个数时,函数值也互为相反数,即对于,有对于,有【定义】一般地,设函数的定义域为A,如果对于,都有,且,即的图像关于原点成中心对称,那么就称为奇函数.奇函数常见的偶函数有,,等等【思考】对于定义在R上的函数,若,那么这个函数是奇函数吗?
【答】不一定.因为并不能保证所有的,所以不一定是奇函数.奇函数要证明某个函数不是奇函数,只需要列举出一个反例x0,证明f(-x0)-f(x0)即可【1】该函数的定义域关于y轴对称,即任意xA(A为定义域),-xA;任取一个自变量x,都满足f(-x)=-f(x)【总结】一般地,一个函数是奇函数的两个判断方式:
【2】几何法,函数的图像关于原点成中心对称,那么函数就是偶函数奇函数奇函数图像关于原点对称代数特征几何特征定义中,的常见变形有:
如果奇函数在处有定义,则:
如何证明这个结论?
函数奇偶性的判断【例题】判断下列函数的奇偶性.【解】
(1)首先判断定义域为R,关于y轴对称,再判断:
所以此函数是偶函数;【解】
(2)首先判断定义域为R,关于y轴对称,再判断:
所以此函数是奇函数;【解】(3)首先判断定义域为,关于y轴对称,再判断:
所以此函数是奇函数;【解】(3)首先判断定义域为,关于y轴对称,再判断:
所以此函数是偶函数.判断函数奇偶性,首先要看定义域.既是奇函数,又是偶函数.函数奇偶性的判断利用定义判断函数奇偶性的方法:
【1】一看定义域:
奇函数和偶函数的定义域一定关于y轴对称,如果一个函数的定义域关于y轴对称,那么它才有可能是奇函数或者偶函数,否则就没有探究下去的必要.【2】二看等式:
满足第一点之后,判断与的关系:
函数既是奇函数,又是偶函数是偶函数;是奇函数;是非奇非偶函数;奇(偶)函数的性质及应用【探究】
(1)如何判断函数的奇偶性?
【解】
(1)利用函数奇偶性定义来判断,函数的定义域为R,且有所以此函数是奇函数.
(2)已知函数图像的一部分,如何画出剩余部分?
(2)由奇函数的图像关于原点成中心对称可以画出函数在y轴左侧对的图像,将y轴右侧的图像沿着原点旋转180即可,画出的图像如图所示.奇(偶)函数的性质及应用【拓展】
(1)奇偶函数的单调性:
奇函数:
奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相同的.如果奇函数在区间a,b上的单调增函数,那么在区间-a,-b上就是单调增函数.偶函数:
奇函数在y轴左右两边的单调性是完全相反的.如果偶函数在区间a,b上的单调增函数,那么在区间-a,-b上就是单调减函数.奇(偶)函数的性质及应用【拓展】
(2)奇偶函数的运算性质及符合函数的奇偶性:
设,的定义域分别是A和B,在公共定义域上有:
【注】上表中不考虑和的情况;中需,.偶偶偶偶奇奇奇奇偶奇偶奇偶奇偶奇偶偶偶奇【1】已知是偶函数,是奇函数,将下面的图像补充完整.【解】根据奇偶函数的对称性,分别将偶函数沿着y轴作对称;把奇函数沿着原点作中心对称,答案见图上.3.2.2函数的奇偶性导学案第三章第三章函数概念与性质函数概念与性质3.2.2.13.2.2.13.2.2.13.2.2.1函数奇偶性的概念函数奇偶性的概念函数奇偶性的概念函数奇偶性的概念自自主主预预习习探探新新知知合合作作探探究究提提素素养养当当堂堂达达标标固固双双基基3.2.2.23.2.2.23.2.2.23.2.2.2函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用3.2.2函数的奇偶性导学案第三章第三章函数概念与性质函数概念与性质合合作作探探究究提提素素养养当当堂堂达达标标固固双双基基谢谢谢谢
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