常微分方程PPT课件.pptx
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常微分方程,第八章,目录,8.4二阶常系数线性微分方程,8.3可降阶的高阶微分方程,8.2一阶微分方程,8.1常微分方程的基本概念,8.5应用示例新产品推广模型问题,8.6数学实验八,在解决实际问题时,常常需要建立与问题有关的各变量之间的函数关系.这种关系有时能直接建立,有时却只能根据一些基本的科学原理建立所求函数与其变化率之间的关系式,再从中解出所求的未知函数.,8.1常微分方程的基本概念,【例8-1】设曲线过点(1,2)且在曲线上任意点(x,y)处的切线斜率为2x,求该曲线的方程.解设所求的曲线方程为y=f(x),则由题意及导数的几何意义可知dy/dx=2x或dy=2xdx上式两端同时积分,得y=2xdx=x2+C(C为任意常数)又根据曲线过点(1,2)的条件知y|x=1=2,即12+C=2解得C=1,故所求曲线的方程为y=x2+1,下面通过几何学、物理学的几个实例来具体说明微分方程的基本概念.,例,8.1常微分方程的基本概念,【例8-2】列车在平直线路上以20m/s的速度行驶,当其制动时获得的加速度为-0.4m/s2时,问开始制动后多长时间列车才能停住?
在这段时间内列车行驶了多少路程?
解设把列车刹车时的时刻记为t=0.设制动后t时刻列车行驶了s.显然直接求s=s(t)是困难的,但由导数的物理意义可知d2s/dt2=-0.4两端积分,得ds/dt=(-0.4)dt=-0.4t+C1两端再积分,得s=-0.2t2+C1t+C2其中C1,C2都是任意常数.现在需要确定C1,C2的值,根据题意知,未知函数s=s(t)满足s0=0,v(0)=s0=20代入上面的两式,得C1=20,C2=0,因此s(t)=-0.2t2+20t由于列车刹住时的速度为零,即s(t)=-0.4t+20=0求得t=50s,于是列车所走的路程为s(50)=-0.2502+2050=500(m),例,8.1常微分方程的基本概念,上述两个实例讨论的都是已知未知函数导数(或微分)所满足的方程,求解未知函数的问题,这就是微分方程问题.,定义8.1含有未知函数导数或微分的方程称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程,简称为微分方程或方程;未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.本书只讨论常微分方程.例8-1和例8-2中所建立的方程都是常微分方程.不同类型的微分方程在解法上有很大的差异.因此,在解微分方程之前必须正确识别微分方程的类型.所谓微分方程的类型主要指方程的阶、线性与非线性、变系数与常系数、齐次与非齐次等.,8.1常微分方程的基本概念,定义8.2微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数或微分的阶数称为微分方程的阶.例8-1中的方程是一阶方程,例8-2中的方程是二阶方程.再如方程yy+sinx=1和方程y+lnxy=xcosx分别是一阶和三阶微分方程.n阶微分方程的一般形式为Fx,y,y,,y(n)=0其中必须含有y(n),而x,y,y,,y(n-1)可以不含有.,定义8.3满足微分方程的函数称为微分方程的解;求微分方程解的过程叫作解微分方程;如果微分方程的解中所含独立的任意常数的个数等于微分方程的阶数,则称该解为微分方程的通解(或一般解);不含任意常数的解称为微分方程的特解.,8.1常微分方程的基本概念,例如可以验证例8-1中,函数y=x2+C和y=x2+1都是方程dy/dx=2x的解,其中y=x2+C是微分方程dy/dx=2x的通解,y=x2+1是微分方程dy/dx=2x的特解;例8-2中的通解为s(t)=-0.2t2+C1t+C2,特解为s(t)=-0.2t2+20t.在通解中说任意常数是独立的,其含义是指它们不能合并而使得任意常数的个数减少.例如,函数y=C1sinx+C2sinx形式上有两个任意常数,但这两个常数并不是独立的,事实上它可以写成y=(C1+C2)sinx=Csinx(其中C=C1+C2),因此本质上它只含有一个任意常数.显然,微分方程的通解给出了解的一般形式,若用未知函数及其各阶导数在某个特定点的值将通解中的任意常数确定下来,就得到微分方程的特解.,8.1常微分方程的基本概念,定义8.4确定通解中任意常数的条件称为初始条件.求微分方程满足初始条件的解的问题称为初值问题.如例8-1中的y
(1)=2,例8-2中的s0=0,s0=20都是初始条件.一般地,一阶微分方程的初始条件为y|x=x0=y0;二阶微分方程的初始条件y|x=x0=y0,y|x=x0=y0.,定义8.5微分方程的解对应的图形称为积分曲线,通解通常表示一族积分曲线,特解只是其中某一条曲线.例如,例1的通解对应一族抛物线y=x2+C,特解表示过点(1,2)的抛物线y=x2+1.,8.1常微分方程的基本概念,【例8-3】验证y=Cecosx-cosx-1(C为任意常数)是微分方程y+ysinx=-sinxcosx的通解,并求该方程满足初始条件y0=0的特解.解直接计算,得y=-Csinxecosx+sinx,于是y+ysinx=-Csinxecosx+sinx+Csinxecosx-sinxcosx-sinx=-sinxcosx因此,含有一个任意常数的解y=Cecosx-cosx-1(C为任意常数)是原方程的通解.将y0=0代入通解,得0=Cecos0-cos0-1,求得C=2/e,因此所求的特解为y=2ecosx-1-cosx-1.,例,【例8-4】设C为任意常数,求以y=1/(Cx2+1)为通解的一阶微分方程.解由于y(Cx2+1)=1,故两边求导得2Cxy+(Cx2+1)y=0由y=1/(Cx2+1)解得C=(1/y)-1)/x2,代入上式,得(x/y)y+2(1-y)=0该微分方程即为所求的一阶微分方程.,习题8.1,1.下列方程中哪些是微分方程?
并说明它们的阶数.2.验证下列函数(其中C为任意常数)是不是相应的微分方程的解,若是,是通解还是特解?
(1)y2y=0,y=0,y=ex,y=Ce2x;
(2)y+y=0,y=0,y=ex,y=3sinx-4cosx.3.已知曲线通过点(0,1),且在该曲线上任意点P(x,y)处的切线斜率为2x2,求此曲线方程.,微分方程研究的主要问题就是如何求解,但并不是所有的微分方程都能用初等积分的方法求出.因此,我们不能奢求能够解出所有的微分方程,但是对于某些特殊类型的方程,是可以用初等积分的方法求解的.,8.2一阶微分方程,在一阶方程中,如果可以将含有未知函数y的式子及dy与含有自变量x的式子及dx分开至方程两边,然后就可以分别对y和x积分求解.形如(dy)/(dx)=f(x)g(y)g(y)0(8-1)的方程称为可分离变量的微分方程.对式(8-1),可以将关于y和x的式子分开,得(dy)/g(y)=f(x)dx然后两边积分得(dy)/g(y)=f(x)dx+C,8.2.1可分离变量的微分方程,8.2一阶微分方程,【例8-5】求微分方程dy/dx=xy的通解.解当y0时,将含有y与x的变量分离,得1/y(dy)=xdx两边分别关于x和y积分,得lny=(1/2)x2+C1C1为任意常数.从而y=e(1/2)x+C1=eC1e(1/2)x这里,eC1仍为任意常数,可用另外一个任意常数C表示.于是,方程的通解为y=Ce(1/2)x,【例8-6】求微分方程ydy+ex-ydx=0的通解和满足yx=1=0的特解.解将原方程分离变量以后,化为Yeydy=-exdx两边积分,得(1/2)ey=-ex+CC为任意常数.此为微分方程的隐函数表示的通解.将初始条件yx=1=0代入,得C=1/2+e从而所求特解为(1/2)ey+ex=1/2+e,例,8.2一阶微分方程,形如(dy)/(dx)=f(y/x)(8-2)的微分方程称为齐次方程.例如,x(dy)/(dx)+y=2(xy)方程可变形为(dy)(dx)=2(y/x)-y/x此方程为齐次方程.对于齐次方程(8-2),令u=y/x,则y=ux.因此dy=udx+xdu从而(dy)/(dx)=u+x(dy)/(dx)将此式代回式(8-2)中,得u+x(dy)/(dx)=f(u)可分离变量为(du)/f(u)-u=(dx)/x于是将齐次方程化成了可分离变量的方程,可两边积分求解.,8.2.2齐次方程,8.2一阶微分方程,【例8-7】求解方程x(dy)/(dx)+y=2(xy).解当可将原方程化为(dy)/(dx)=2(y/x)-y/x令u=y/x,则(dy)/(dx)=u+x(dy)/(dx)代入上式中,可得u+x(dy)/(dx)=2u-u因此du/2(u-u)=-(dx)/x两端分别关于u和x积分,得1/2u(u-1)du=-dxx从而ln(u-1)+lnx=lnC即x(u-1)=C将u=y/x代回,得(xy)-x=C此即为原方程的通解.,例,8.2一阶微分方程,【例8-8】试求微分方程xy(dy)/(dx)=x2+y2满足条件y(e)=2e的特解.解将原方程可写成(dy)/(dx)=x/y+y/x令u=y/x,则(dy)/(dx)=u+x(du)/(dx)代入,得x(du)/(dx)=1/u分离变量,得udu=(1/x)dx两边积分,得(1/2)u2=ln|x|+C将u=y/x代回,整理得原方程的通解为y2=2x2(ln|x|+C)将初始条件y(e)=2e代入,得C=1,于是所求特解为y2=2x2(ln|x|+1),例,思考:
齐次方程与可分离变量的方程之间有什么关系?
8.2一阶微分方程,形如y+p(x)y=Q(x)(8-3)的方程称为一阶线性微分方程,其中p(x)和Q(x)是已知连续函数.,8.2.3一阶线性微分方程,注意:
所谓线性是指其中对未知函数y和y都是一次的.,当Q(x)0时,有y+p(x)y=0(8-4)此时,方程(8-4)称为(一阶)齐次线性微分方程.若Q(x)不恒等于零,则称为(一阶)非齐次线性微分方程.对于方程(8-4),可分离变量为(1/y)dy=-p(x)dx解得lny=-p(x)dx+C1因此y=eC1e-p(x)dx于是方程(8-4)的通解为y=Ce-p(x)dx(8-5)其中C=eC1为任意常数.,微课:
一阶线性微分方程的求法,8.2一阶微分方程,注意:
在求解非齐次方程时,可以用常数变易法求解,也可以直接由式(8-7)求解.,容易验证,不论C取什么常数,式(8-4)只能是齐次线性微分方程(8-4)的解,而并不是式(8-3)的解.如果希望式(8-3)有形如式(8-5)的解,那么其中的C自然不会是常数而应该是一个函数.如果能将这个函数确定下来,那么非齐次线性微分方程(8-3)的求解问题也就解决了.这种通过把齐次方程通解中的任意常数C变易为待定函数C(x),然后求出非齐次方程通解的方法,称为常数变易法.,因此,将y=C(x)e-p(x)dx(8-6)代入方程(8-3)中,则C(x)e-p(x)dx-C(x)p(x)e-p(x)dx+p(x)C(x)e-p(x)dx=Q(x)从而C(x)e-p(x)dx=Q(x)求得C(x)=ep(x)dxQ(x)dx+C将所得C(x)代回式(8-6)中,可得到非齐次线性微分方程(8-3)的通解公式为y=e-p(x)dx(ep(x)dxQ(x)dx+C)(8-7),8.2一阶微分方程,解方法一常数变易法.首先对齐次线性方程(dy)/(dx)-ycotx=0分离变量,得(dy)/y=cotxdx积分,得lny=lnsinx+C1,因此,齐次方程的通解为y=Csinx(C=eC1)将上式中的C变易为C(x),再把y=C(x)sinx代入原方程,得C(x)sinx+C(x)cosx-C(x)sinxcotx=xsinx,即C(x)=x因此C(x)=(1/2)x2+C于是原方程的通解为y=C(x)sinx=((1/2)x2+C)sinx,方法二公式法.由于P(x)=-cotx,Q(x)=xsinx由公式(8-7),原方程的通解为y=e-p(x)dxep(x)dxQ(x)dx+C1=ecotxdx(e-cotxdxxsinxdx+C1)=elnsinx(e-lnsinxxsinxdx+C1)=sinx(xdx+C1)=(12x2+C)sinx,例,例8-9】求解方程(dy)/(dx)-ycotx=xsinx.,8.2一阶微分方程,例8-10】求方程(dy)/(dx)=y/(x+y3)的通解.解原方程不是关于y,(dy)/(dx)的线性方程,但可以改写为(dx)/(dy)-(1/y)x=y2这就变成了关于x,(dy)/(dx)的一阶线性微分方程.利用公式法求解,则原方程的通解为x=e1ydy(e-1ydyy2dy+C)=Cy+12y3,例,思考:
已知y=x4是方程xy-2y=2x4的一个特解,而y=x2是对应齐次方程xy-2y=0的一个特解,那么y=x4+Cx2是xy-2y=2x4的通解吗?
习题8.2,1.求下列微分方程的通解.
(1)xy+2y=0;
(2)x2dy=ydx;(3)(dy)/(dx)=y/x+sec(y/x);(4)y2y=1;(5)y+y=ex;(6)y2/(x+1)y=(x+1)3.2.求下列微分方程满足所给初始条件的特解.
(1)(dy)/(dx)=e2xy,y|x=0=0;
(2)(1/cosx)dyy2dx=0,y|x=1=0;(3)y=3x2y,y|x=0=0;(4)y=esinxycosx,y|x=0=0.,8.3.1y(n)=f(x)型微分方程,8.3可降阶的高阶微分方程,二阶及二阶以上的微分方程统称为高阶微分方程.对于高阶微分方程,一般来说是不易求解的,但对于某些特殊的微分方程,可以将其转化为阶数较低的微分方程求解.,这类方程的右端仅含有自变量x,因此,只要连续积分n次便可得到通解,即y(n-1)=f(x)dx+C1,y(n-2)=f(x)dx+C1dx+C2,其通解中含有n个任意常数.,微课:
可降阶的二阶微分方程,【例8-11】求微分方程y=2e2x+sinx的通解.解y=(2e2x+sinx)dx=e2x-cosx+C1,y=(e2x-cosx+C1)dx=(1/2)e2x-sinx+C1x+C2,y=(1/2)e2x-sinx+C1x+C2dx=(1/4)e2x+cosx+Cx2+C2x+C3(C=C1/2)故原方程的通解为y=(1/4)e2x+cosx+Cx2+C2x+C3,例,8.3.2y=f(x,y)型微分方程,8.3可降阶的高阶微分方程,这类方程的特点是不显含未知函数y.求解时只需令y=p(x),则y=p(x).代入原方程使其降为一阶方程p=f(x,p).求出该一阶方程的通解,两端再积分,即可得到原方程的通解.,【例8-12】求微分方程(1+x2)y+2xy=1的通解.解所求方程属于y=f(x,y)型.令y=p(x),则y=p(x),代入原方程,有(1+x2)p+2xp=1这是一阶线性非齐次方程,代入式(8-4),得它的通解为即y=1/(1+x2)(x+C1)两端再积分,得原方程的通解为y=(1/2)ln(1+x2)+C1arctanx+C2,例,8.3可降阶的高阶微分方程,【例8-13】求方程2xyy=1+y2满足初始条件y
(1)=1,y
(1)=0的特解.解所求方程属于y=f(x,y)型.令y=p(x),则y=p(x),代入原方程,有2xpp=1+p2这是一个可分离变量的微分方程,分离变量,两端积分,得ln(1+p2)=lnx+lnC1即p2=C1x-1所以y=p=(C1x-1)由初始条件y
(1)=0,得C1=1,因此y=(x-1),两端积分,得y=(x-1)dx=2/3(x-1)3/2+C2将初始条件y
(1)=1代入上式,得C2=1,因此所求方程的特解为y=2/3(x-1)3/2+1,例,8.3.3y=f(y,y)型微分方程,8.3可降阶的高阶微分方程,方程y=f(y,y)的特点是不显含自变量x.解这类方程可令y=p(y),则y=(dp)/(dx)=(dp)/(dy)(dy)/(dx)=p(y)(dp)/(dy)将y和y代入原方程,则原方程化为p(dp)/(dy)=f(y,p)这是一阶微分方程.利用前面的方法可求出它的通解p=(y,C1),即y=(y,C1),分离变量后积分,得原方程的通解为dy/(y,C1)=x+C2.,8.3可降阶的高阶微分方程,【例8-14】求方程2yy-y2=1的通解.解方程属于y=f(y,y)型.令y=p(y),则y=p(y)(dp)/(dy),代入原方程,得2yp(dp)/(dy)-p2=1分离变量,并两端积分,得ln(1+p2)=lny+lnC1即y=p=(C1y-1)分离变量,并两端积分,得2/C1(C1y-1)=x+C2化简,得原方程的通解为y=1/C1C21/4(x+C2)2+1,例,习题8.3,1.求下列可降阶的高阶微分方程的通解或特解.
(1)y=x+1;
(2)(1+x)y+y=ln(1+x);(3)y=(y)1/2;(4)y=eax,y|x=1=y|x=1=y|x=1=0;(5)xy=2y,y|x=1=0,y|x=1=1;(6)yy2=0,y|x=0=0,y|x=0=1.2.设y=f(x)在点x处的二阶导数为y=x,且曲线y=f(x)过点M(0,1),在该点处与直线y=2x+1相切,求曲线y=f(x)的表达式.,8.4.1二阶常系数齐次线性微分方程的通解,8.4二阶常系数线性微分方程,上节我们介绍了可降阶的几类二阶微分方程的解法.下面,将介绍一类特殊类型的二阶微分方程的通用解法.形如y+py+qy=f(x)(p,q为常数)(8-8)的微分方程称为二阶常系数线性微分方程,当f(x)0时,称方程y+py+qy=0(8-9)为二阶常系数齐次线性方程,若f(x)0,则称方程(8-9)为二阶常系数非齐次线性方程.接下来,首先讨论二阶常系数齐次方程的解法.,1.二阶常系数齐次线性方程解的结构有如下定理:
定理8.1若y1和y2是方程(8-9)的两个解,则其线性组合y=C1y1+C2y2仍是方程(8-9)的解,其中C1,C2为任意常数.,8.4二阶常系数线性微分方程,证明只要将y代入方程(8-9)中即可容易证得.此定理说明了方程(8-9)的任意两个解的线性组合仍为方程(8-9)的解.现有y1,y2分别是方程(8-9)的两个不同的解,能否说明解y=C1y1+C2y2是方程(8-9)的通解呢?
答案是否定的.例如y1=ex,y2=ex+1都是方程y+y-2y=0的解,但是C1y1+C2y2=(C1+C2e)ex显然不是方程(8-9)的通解,因为它实际上只含有一个任意常数.为避免这种情况发生,要求方程(89)的两个解之比y1y2不能等于某个常数.若y1y2不等于某个常数C,称y1,y2线性无关;反之,则称y1,y2线性相关.于是,有下面的结论:
2023/12/9,29,可编辑,8.4二阶常系数线性微分方程,定理8.2若y1,y2是方程(8-9)的两个线性无关的解,则y=C1y1+C2y2就是方程(8-9)的通解,其中C1,C2为任意常数.例如,y1=ex,y2=e-2x都是方程y+y-2y=0的解,且y1/y2=e3x不等于常数.从而,方程y+y-2y=0的通解为y=C1ex+C2e-2x.,8.4二阶常系数线性微分方程,2.二阶常系数齐次线性方程的解法现在研究二阶常系数齐次线性微分方程y+py+qy=0的解法.根据上面的讨论,我们需要寻求此方程的两个线性无关的解.若求方程(8-9)的解,则解y满足y,y,y各乘以1,p,q后相加等于零.而指数函数erx的一阶、二阶导数仍为erx的常数倍,只要选取适当的r,就可以满足方程(8-9).因此,将y=erx代入方程(8-9)中,得(erx)+p(erx)+q(erx)=0即erx(r2+pr+q)=0从而得到r2+pr+q=0(8-10),于是,只要待定常数r满足方程式(8-10),则函数y=erx就满足方程(8-9),从而y=erx就是方程(8-9)的解.我们称一元二次方程式r2+pr+q=0为二阶常系数齐次线性方程y+py+qy=0的特征方程,特征方程的根称为微分方程(8-9)的特征根.,8.4二阶常系数线性微分方程,于是,只要待定常数r满足方程式(8-10),则函数y=erx就满足方程(8-9),从而y=erx就是方程(8-9)的解.我们称一元二次方程式r2+pr+q=0为二阶常系数齐次线性方程y+py+qy=0的特征方程,特征方程的根称为微分方程(8-9)的特征根.由于特征方程式(8-10)是一元二次方程,它的根有三种不同的情形,特征根不同,微分方程的通解也就不同.下面分别讨论:
(1)当=p2-4q0时,则特征方程(8-10)有两个不相等的实根r1,r2.此时,方程有两个特解,且常数.因此y1,y2是方程(8-9)的两个线性无关的特解.于是方程(8-9)的通解为,8.4二阶常系数线性微分方程,【例8-15】求方程y-y-2y=0的通解.解对应的特征方程为r2-r-2=0此方程有两个特征根r1=-1,r2=2,从而方程的通解为y=C1e-x+C2e2x,【例8-16】求方程4y-3y-y=0满足初始条件y|x=0=0,y|x=0=5的特解.解对应的特征方程为4r2-3r-1=0,此方程有两个特征根r1=1,r2=-1/4.从而原方程的通解为y=C1ex+C2e-1/4x将初始条件y|x=0=0,y|x=0=5代入通解之中,得解得C1=4,C2=-4因此,得到方程的特解为y=4ex-4e-1/4x.,例,8.4二阶常系数线性微分方程,
(2)若=p2-4q=0,则特征方程(8-10)有两个相同的实根r1=r2=-p/2.此时,只能得到原微分方程的一个特解.为了求得方程的另外一个特解,设,则将y2,y2,y2分别代入方程(8-9)中,可得因此u+(2r1+p)u+(r21+pr1+q)u=0由于r1是特征方程的根,且r1=-p/2,可得r21+pr1+q=0,2r1+p=0因此u=0,易得u=C1x+C2C1,C2为任意常数.我们取C1=1,C2=0,则,且y2与y1线性无关.因此,得原方程的通解为(8-11),8.4二阶常系数线性微分方程,【例8-17】求方程y-2y+y=0的通解.解对应特征方程为r2-2r+1=0,此方程有两个相同的特征根r1=r2=1.由式(8-11),可知所求方程的通解为y=C1ex+C2xex,C1,C2为任意常数.,例,(3)若0,即p2-4q0,则特征方程有两个复根(8-12)可以证明,y1=e(+i)x和y2=e(-i)x分别是原方程(8-9)的两个线性无关的解.但是形式上比较复杂.由欧拉公式得根据定理1,关于y1,y2的线性组合仍为原方程的解.则仍为原方程的两个特解,常数,从而与线性无关.于是原方程的通解为(8-13)其中,分别是特征根(8-12)的实部和虚部.,8.4二阶常系数线性微分方程,【例8-18】求方程y+4y=0的通解.解对应的特征方程为r2+4=0则此方程有两个复根r1,2=2i从而=0,=2由式(8-13)得原方程的通解为y=C1cos2x+C2sin2x,例,【例8-19】求方程y+2y+5y=0的通解.解该微分方程的特征方程为r2+2r+5=0此方程有两个复根r1,2=-12i则=-1,=2由式(8-13)得原方程的通解为y=e-x(C1cos2x+C2sin2x),思考:
已知二阶齐次线性方程y+p1(x)y+p2(x)y=0的一个非零特解y1(x),问能否求出该方程的通解?
8.4二阶常系数线性微分方程,8.4.2二阶常系数非齐次线性微分方程的通解,现在我们研究二阶常系数非齐次线性微分方程y+py+qy=f(x)(8-14)的解法,其中p,q为常数.定理8.3设y*(x)是方程(8-14)的一个特解,Y(x)为方程(8-14)对应的齐次方程y+py+qy=0的通解,则y=Y(x)+y
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