工学随机过程及其应用-习题答案陆大金.pdf
- 文档编号:18632992
- 上传时间:2023-08-23
- 格式:PDF
- 页数:110
- 大小:694.14KB
工学随机过程及其应用-习题答案陆大金.pdf
《工学随机过程及其应用-习题答案陆大金.pdf》由会员分享,可在线阅读,更多相关《工学随机过程及其应用-习题答案陆大金.pdf(110页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
第一章概论第一章概论第1题某公共汽车站停放两辆公共汽车A和B,从t=1秒开始,每隔1秒有一乘客到达车站。
如果每一乘客以概率21登上A车,以概率21登上B车,各乘客登哪一辆车是相互统计独立的,并用j代表t=j时乘客登上A车的状态,即乘客登上A车则j1,乘客登上B车则j0,则,210,211=jjPP当tn时在A车上的乘客数为nnjjn,1=是一个二项式分布的计算过程。
(1)求n的概率,即;,.,2,1,0?
nkkPn=
(2)当公共汽车A上到达10个乘客时,A即开车(例如t21时921=,且t22时又有一个乘客乘A车,则t22时A车出发),求A车的出发时间n的概率分布。
解
(1):
nnknkP=21解
(2):
nnnnPP=2191212191A)10n9A1-n(nA1名乘客登上车时刻第名乘客;在有时刻,车在开车在时刻车第2题设有一采用脉宽调制以传递信息的简单通信系统。
脉冲的重复周期为T,每一个周期传递一个值;脉冲宽度受到随机信息的调制,使每个脉冲的宽度均匀分布于(0,T)内,而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机变量;脉冲的幅度为常数A。
也就是说,这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号,它是以随机过程)(t。
图题12画出了它的样本函数。
试求)(t的一维概率密度)(xft。
解:
00
(1)()()()()()0
(1),(0,)()
(1),
(1)1
(1)
(1)1()01()tAAnnnTtnTfxPxAPxPtAPPtPtnTnTnTPtAPtnTnTPtnTdTTtnTTnTtTtnTtnTTtnPtPtA=+=+=+=是任意的脉冲宽度01)
(1)()()()()
(1)()tATtnTTfxPxAPxttnxAnxTT=+=+第3题设有一随机过程)(t,它的样本函数为周期性的锯齿波。
图题13(a)、(b)画出了两个样本函数图。
各样本函数具有统一形式的波形,其区别仅在于锯齿波的起点位置不同。
设在t=0后的第一个零值点位于0,0是一个随机变量,它在(0,T)内均匀分布,即=其它值)(0)0
(1)(0TtTtf若锯齿波的幅度为A,求随机过程)(t的一维概率密度。
解
(1):
)(t取值在0,A之间,且均匀分布=其它值)(0)0
(1)()(AxAxft解
(2):
令)(tx,则x=k(t-0),)0(Ax,t=TTtt,k为斜率。
所以0=t-kx。
=其它值)(0)0(111)()(AxAkTxft第4题设有随机过程)(sincos)(0,和是随机变量,且相互统计独立,它们的概率密度为)(2exp21)()(2exp21)(22=,其中c为常数,求出现A事件的概率P(A)。
解
(1):
相互独立,故其联合概率密度为)()(),(yfxfyxf=,利用随机变量变换后的概率密度的公式,可得到,v的联合概率密度:
Jvfvfvfv=)cos()sin(),(tttVtVtVtsincossincoscossin)sin()(+=+=+=cossinVV=+2=Pcv=2exp2cvvdv=exp2c第5题求第4题所给出的随机过程)(t的均值和自相关函数。
解:
0sincossincos)(=+=+=tEtEttEtE121211222121222112121212(,)()()(cossin)(cossin)coscoscossincossinsinsincoscossinsincos()cos()RttEttEttttEttEttEttEtttttttt=+=+=+=第6题设有随机过程)(t,并设x是一实数,定义另一个随机过程)(t=)(0)()
(1)(xttxtt试证)(t的均值和自相关函数分别为随机过程)(t的一维和二维分布函数。
解:
),()(,)()(,)(11)()()()()(0)
(1)(212211221121xxFxtxtPxtxtPttExFxtPxtPxtPtE=+=第7题设有随机过程ttttcos)(,),(=,其中为均匀分布于(0,1)间的随机变量,即=值)其它y(0)10
(1)(yyf试证:
(1)12121(,)coscos3Rtttt=
(2)12121(,)coscos12Ctttt=解
(1):
12122121212012(,)coscoscoscoscoscos1coscos3RttEttEttdtttt=解
(2):
10121122121coscoscos211(,)(coscos)(coscos)22EdEEtEttCttEtttt=21212121212121212121coscoscoscos211coscoscoscos241111coscoscoscoscoscoscoscos34441coscos12EttEttEtttttttttttttt=+=+=第8题设有一随机过程)(t作为图题18所示的线性系统的输入,系统的输出为)(t,若)(t的相关函数为),(21ttR,是求输出随机过程)(t的自相关函数(用输入过程的相关函数表示)。
解:
121211221212121212121212(,)()()()()()()()()()()()()()()(,)(,)(,)(,)RttEttEtTttTtEtTtTEtTtEttTEttRtTtTRtTtRttTRtt=+=+第9题设),(t是3例二所定义的随机电报信号(即任何时刻),(t以概率12取值0或1,单位内时间波形平均变化次数为),),(t也是0、1随机电报信号,它在单位内时间波形平均变化次数为,且),(t和),(t是相互统计独立的;又设随机过程),(t是),(t、),(t两随机信号之和,即),(t),(t),(t。
(1)试画出),(t的典型样本函数;
(2)试求),(t的一维概率密度;(3)设有两时刻t1,t2,求)(1t和)(2t的二维联合概率密度。
解
(1):
略。
解
(2):
(,)0(,)0(,)0111224(,)1(,)0(,)1(,)0(,)11111122222(,)2(,)1(,)1111224111()()
(1)
(2)424PtPtPtPtPtPtPtPtPtPtPtfzzzz=+=+=+解(3):
随机电报信号t1,t2之间发生偶数次变化的概率是)1(21)!
)(!
)(21!
)()
(2)(012)(012)(1212121212ttttkkttkkttevenkkeekttekttektt=+=+=随机电报信号t1,t2之间发生奇数次变化的概率是)1(21)!
)(!
)(21!
)()
(2)(012)(012)(1212121212ttttkkttkkttoddkkeekttekttektt=)(1t和)(2t的二维联合概率密度1212121212121212121212121221()1()4
(1)
(2)1
(1)4tttttttttttttttttttttttPzPzPzPzPPz+=+偶数次变化偶数次变化偶数次变化奇数次变化奇数次变化偶数次变化奇数次变化奇数次变化偶数次变化奇数次变化奇数次变化21212121212121212121222221()2
(1)
(2)()1
(2)4tttttttttttttttttttttzPPzPPzPzz+偶数次变化奇数次变化奇数次变化偶数次变化偶数次变化偶数次变化奇数次变化奇数次变化偶数次变化奇数次变化奇数次变化12121212121222
(1)
(2)ttttttttttttPPzPz+偶数次变化奇数次变化奇数次变化偶数次变化偶数次变化偶数次变化2121212121212()224()122()224()24()124()21
(1)()411()
(1)
(1)421
(1)
(2)41
(1)()21
(1)
(1)
(1)41
(1)
(2)21ttttttttttttezzezezezzezez+=+2121212()224()122()221
(1)()41
(2)
(1)
(1)421
(1)
(2)4ttttttezzezez+第10题质点在直线上作随机游动,即在t1,2,3,时质点可以在x轴上往右或往左作一个单位距离的随机游动。
若往右移动一个单位距离的概率为p,往左移动一个单位距离的概率为q,即1,1,1=+=+=qpqPpPii,且各次游动是相互统计独立的。
经过n次游动,质点所处的位置为=niinn1)(。
(1)求)(n的均值;
(2)求)(n的相关函数和自协方差函数),(21nnR和),(21nnC。
解
(1):
)12()()1
(1)(111=+=pnqpnqpEEnEniniinii解
(2):
)22
(2),min()12()12
(1),min()12()()(),(2122122122111,1112121121221ppnnpnnpnnpnnEEnnEnnRninijjininijjjinjjnii+=+=+=我做的结果:
),min()12()(,min()()(),(21221211,1),min(121,1),min(121,1),min(11,11121211221122112211221nnpnnqpnnEEEEEEEEnnEnnRninijjjinniininijjjinniininijjjinniininijjjinjjnii+=+=+=+=+=221212121221121)12(),()()()()()()()()(),(=pnnnnRnEnEnnEnEnnEnEnnC第11题设有2例二所定义的四电平随机调幅信号)(t,求它的自协方差函数。
解:
041)1(41)2(411412)(=+=tE),()()()()()()()()(),(212121221121ttRtEtEttEtEttEtEttC=当|t1-t2|T0时0161),(),(2,1,1,22,1,1,22121=jijittRttC第12题设有2例五所定义的、幅度服从正态分布的随机调幅信号)(t,求它的自协方差函数。
解:
由定义知:
0)(=tE),()()()()()()()()(),(212121221121ttRtEtEttEtEttEtEttC=若t1-t2|T0)()()()(),(212121=tEtEttEttC若t1-t2|T121221212002120(,)()()|01()|1CttEttttttEtTTttT=+=1马尔可夫过程(马尔可夫过程(I)马尔可夫链)马尔可夫链第1题设)(t是一马尔可夫过程,又设knnnttttt+LL121,试证明)/(),/(1/1,/11+=nnttknnntttxxfxxxfnnknnnLL即一个马尔可夫过程的反向也具有马尔可夫性。
解:
111111211/,1,1,1/1/1/1/211(/,)(,)(,)(/)(/)()(/)(/)()nnnknnnknnknknknnnnknknnntttnnnktttnnnkttnnkttnknkttnntnttnknkttnntntfxxxfxxxfxxfxxfxxfxfxxfxxfxf+=LLLLLLLL11111/11,11/1(/)()()()()(/)nnnnnnnnntnntntnttnntnttnnxxfxfxfxxfxfxx+=第2题试证明对于任何一个马尔可夫过程,如“现在”的)(t值为已知,则该过程的“过去”和“将来”是相互统计独立的,即如果有321ttt,其中t2代表“现在”,t1代表“过去”,t3代表“将来”,若22)(xt=为已知值,试证明)/()/()/,(23/21/231/,2321231xxfxxfxxxfttttttt=解:
)/()/()(),()/()()()/()/()(),()/,(23/21/212,23/2112/23/2231,231/,2321212232112232231231xxfxxfxfxxfxxfxfxfxxfxxfxfxxxfxxxftttttttttttttttttttttt=第3题若)(t是一马尔可夫过程,2121+mmmtttttL,试证明2)/,(),/,(21/,2121,/,212121mmmtttmmmtttttxxxfxxxxxfmmmmmm+=+=LL解:
1212121212211211121,/,1212,1212,12/21/1/211/1/21(,/,)(,)(,)(/)(/)(/)()(/)(/mmmmmmmmmmmmmtttttmmmtttttmmmtttmttmmttmmtttttmmttfxxxxxfxxxxxfxxxfxxfxxfxxfxfxxfxx+=LLLLLLLL1211121/21/1,/12)()(/)(/)(,/)mmmmmmmtttmmttmmtttmmmfxfxxfxxfxxx+=+=第4题若有随机变量序列,21LLn且LL,21n为相互统计独立的随机变量,n的概率密度为L,2,1,0),()(=nExfxfnnnnn。
定义另一随机变量序列n如下:
LLLLLnn+=+=+=21321321211试证明:
(1)序列LL,21n具有马尔可夫性;
(2)111112211/,/=nnnnnnnyyEyyyEL解
(1):
略(附后)解
(2):
略(附后)第5题设有随机过程L,3,2,1),(=nn,它的状态空间I:
x:
0x1是连续的,它的参数T为离散的,Tn,n=1,2,。
设)1(为(0,1)间均匀分布的随机变量,即)1(的概率密度为=)(0)10
(1)()(11)1(11其它xxfxf,)m(,)2(,)1(L的联合概率密度为31,2,m12m
(1),
(2),(m)12m1112m-11,2,m12mf(x,x,x)f(x,x,x)1(01)xxxf(x,x,x)0()mmixxxx=LLLLLLLL其它值
(1)求)2(的边际概率密度;
(2)试问该过程是否为马尔可夫过程;(3)求转移概率密度)/(,),/(11/121/2mmmmxxfxxfLL。
(4)求31)3(,43)1(P。
解
(1):
21111121
(2)
(1),2
(2)12121
(2)
(1),lnx1)x,x(f)x(f)10(x1)x,x(f22xdxxdxxxx=解
(2):
(m)/
(1),
(2),(m-1)m12m-1
(1),
(2),(m)12m
(1),
(2),(m-1)12m-112m-112m-211m-1f(x/x,x,x)f(x,x,x)f(x,x,x)11/xxxxxx1(01)xmmxxx=LLLLLLLLL)x,x,/xx(f1-m21m1)-(m,
(2),
(1),(m)/LL只与)1(m有关,该过程是马尔可夫过程。
解(3):
)10
(1)/(,),10
(1)/(1111/121121/2=LLLmmmmmmmxxxxxfxxxxxf解(4):
略(附后)第6题设有一参数离散、状态连续的随机过程L,3,2,1),(=nn,它的状态空间为:
40;:
xxI,又)1(的概率密度为=)(0)0()()(1111)1(1值其它ixxxexfxf)m(,)2(,)1(L的m维联合概率密度为1,2,m12m12m-1112211121,2,m12mf(x,x,x)xxxexp()(0,0,0)f(x,x,x)0()mmmmmixxxxxxxxxxx=+=LLLLLLL其它值
(1)求)2(的概率密度;
(2)求边际概率密度函数)x,x,(xf1-m211-m,1,2,LL;(3)说明该过程是马尔可夫过程,并求其转移概率密度)/(11/mmmmxxf;解
(1):
221011211021
(2)
(1),2
(2)12112121
(2)
(1),)1
(1)(exp)x,x(f)x(f)0,0()(exp)x,x(f+=+=+=xdxxxxxxdxxxxxx解
(2):
1,2,m-112m-11,2,m12mm012m-1112211m012m-212211121,2,m-112m-1f(x,x,x)f(x,x,x)dxxxxexp()dxxxxexp()(0,0,0)f(x,x,x)0()mmmmmmmixxxxxxxxxxxxxxxx=+=+=LLLLLLLLLLL其它值解(3):
略m/1,2,m-1m12m-11,2,m12m1,2,m-112m-112m-111221112m-212211m-111f(x/x,x,x)f(x,x,x)f(x,x,x)xxxexp()xxxexp()xexp(0,0)mmmmmmmmmmxxxxxxxxxxxxxxxx=+=+=LLLLLLLLLL5)x,x,/xx(f1-m21m1)-(m,
(2),
(1),(m)/LL只与)1(m有关,该过程是马尔可夫过程。
第7题有三个黑球和三个白球。
把这六个球任意等分给甲、乙两个袋中,并把甲袋中的白球数定义为该过程的状态,则有四种状态:
0,1,2,3。
现每次从甲、乙两袋中各取一球,然后相互交换,即把从甲袋取出的球放入乙袋,把从乙袋取出的球放入甲袋,经过n次交换,过程的状态为L,3,2,1),(=nn。
(1)试问该过程是否为马尔可夫链;
(2)计算它的一步转移概率矩阵。
解
(1):
该过程是马尔可夫链;解
(2):
0002030110011112121339PPPPP=甲袋全为黑球,乙袋全为白球甲袋个黑球,个白球,取白球;乙袋个白球,个黑球,取黑球11121321212121211243333922421213390PPP=+=甲袋个黑球,个白球,取黑球;乙袋个白球,个黑球,取黑球甲袋个黑球,个白球,取白球;乙袋个白球,个黑球,取白球甲袋个黑球,个白球,取黑球;乙袋个白球,个黑球,取白球20212223022221332121212112214333391112121339PPPP=+=甲袋个白球,取白球;乙袋个黑球,个白球,取黑球甲袋个白球,个黑球,取黑球;乙袋个黑球,个白球,取黑球甲袋个白球,个黑球,取白球;乙袋个黑球,个白球,取白球甲袋个白球,个黑球,取黑球;乙袋个黑球,个白球,取白球30313233010PPPP=60100144099944109990010P=第8题设)(n是一马尔可夫链,它的状态空间为I:
0,1,2,它的初始状态的概率分布为412)0(,211)0(,410)0(=PPP;它的一步转移概率矩阵为=4341031313104341P
(1)计算概率1)2(,1)1(,0)0(=P;
(2)计算)2(01P。
解
(1):
1613143411)1(/1)2(0)0(/1)1(0)0
(1)2(,1)1(,0)0(=PPPP解
(2):
16748314813484361336163674116716543410313131043414341031313104341)2(01)2(=PP第9题设有马尔可夫链,它的状态空间为I:
0,1,2,它的一步转移概率矩阵为7=01001010ppP
(1)试求)2(P,并证明)4()2(PP=;
(2)求1,)(nPn。
解
(1):
(2)01001010100100101001010PPPpppppppp=(4)
(2)
(2)(4)
(2)101001001010101001010PPPppppppppppppPP=解
(2):
=01001010010010100101001)2()3(ppppppppPPP若n为奇数,1,)(=nPPn;若n为偶数,1,)2()(=nPPn第10题设有马尔可夫链,它的状态空间为I:
0,1,它的一步转移概率矩阵为)10(11=pppppP试用数学归纳法证明:
8+=nnnnnppppP)12(2121)12(2121)12(2121)12(2121)(解:
)10(111=pppppPn+=nnnnnppppP)12(2121)12(2121)12(2121)12(2121)
(1)11111111(21)(21)1222211111(21)(21)22221111(21)(21)22221111(21)(21)2222nnnnnnnnnppppPpppppppp+=+=+()1111(21)(21)22221111(21)(21)2222nnnnnppPpp+=+第11题设有马尔可夫链,它的状态空间为I:
0,1,它的一步转移概率矩阵为)10,10(11=babbaaP试求)(nP(利用矩阵的特征值、特征矢量方法计算)解:
对一步转移概率矩阵作特征值分解,其特征值为12,相应的特征矢量是12,uu,考虑1步转移概率矩阵,()()()()11122211211221212200PuuPuuPuuuuuuuu=9进一步考虑1步转移概率矩阵,则有()()()()12121212TTPPuuuuuuuu=再考虑n步转移概率矩阵,有()()()()()()()()()()()()()1212121212121212121211212200nTnnTTTTnnTnPPuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuuu=L将12,,12,uu代入上式可以得到最后的结果。
第12题天气预报问题。
其模型是:
今日是否下雨依赖于前三天是否有雨(即一连三天有雨;前两天有雨,第三天是晴天;),问能否把这个问题归纳为马尔可夫链。
如可以,问该过程的状态有几个?
如果过去一连三天有雨,今天有雨的概率为0.8;过去三天连续为晴天,而今天有雨的概率为0.2;在其它天气情况时,今日的天气和昨日相同的概率为0.6。
求这个马尔可夫链的转移矩阵。
解:
设下雨为1,晴天为0,共有8种状态,转移概率矩阵(竖排依次为昨天、前天、大前天;横排依次为今天、昨天、前天)0000010100111001011101110000.80000.20000010.60000.400001000.60000.40001100.60000.400100000.40000.60101000.40000.601100000.40000.61110000.20000.8第13题设有马尔可夫链,它的状态空间为I:
0,1,它的一步转移概率矩阵为=32312121P试求)3(01)2(01)1(01)3(00)2(00)1(00,ffffff10解:
81212121412121219131322161312121010000)3(010100)2(0101)1(01101101)3(001001)2(0000)1(00=PPPfPPfPfPPPfPPfPf第14题设有一个三状态I:
0,1,3的马尔可夫链,它的一步转移概率矩阵为=332211000pqqpqpP试求)3(01)2(01)1(01)3(00)2(00)1(00,ffffff。
解:
121012002212202210200010000)3(01111121020100)2(01101)1(0132132121102102202202201201101101)3(003120021001)2(00100)1(000000000qpPPPPPPPPPPPPfqpqpPPPPfqPfqqqqqqpqPPPPPPPPPPPPfqqPPPPfpPf=+=+=+=+=+=+=+=第15题设有一电脉冲序列,脉冲的幅度是随机的,其幅度的变域为1,2,3,n,且在变域上均匀分布。
现用一电表测量其幅度
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 工学 随机 过程 及其 应用 习题 答案 陆大金