灰色系统理论及其应用.pdf
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第一章第一章灰色系统的概念与基本原理灰色系统的概念与基本原理.11.1灰色系统理论的产生和发展动态.11.2几种不确定方法的比较.21.3灰色系统理论的基本概念.31.4灰色系统理论的基本原理.31.5灰色系统理论的主要内容.41.6灰数.4第二章第二章序列算子与灰色序列生成序列算子与灰色序列生成.52.1冲击扰动系统与序列算子冲击扰动系统与序列算子.72.2缓冲算子公理缓冲算子公理.82.3实用缓冲算子的构造.102.4均值生成算子.142.5序列的光滑性.14.级比生成算子.15.累计生成算子与累减生成算子.152.8灰指数律.16第三章灰色关联分析.173.1灰色关联因素和关联算子集.193.2灰色关联公理与灰色关联度.213.3灰色关联分析的应用举例.253.4广义灰色关联度.273.5灰色相对关联度.293.6灰色综合关联度.29例3.6.1河南省长葛县乡镇企业经济的灰色关联分析.30第四章灰色系统模型.334.1GM(1,1)模型.33.残差(,)模型.364.3.GM(1,1)模型的适用范围模型的适用范围.40第五章灰色系统预测.405.2数列预测.42灰色系统理论及其应用灰色系统理论及其应用第一章第一章灰色系统的概念与基本原理灰色系统的概念与基本原理1.1灰色系统理论的产生和发展动态灰色系统理论的产生和发展动态1982年,北荷兰出版公司出版的系统与控制通讯杂志刊载了我国学者邓聚龙教授的第一篇灰色系统理论论文”灰色系统的控制问题”,同年,华中工学院学报发表邓聚龙教授的第一篇中文论文灰色控制系统,这两篇论文的发表标志着灰色系统这一学科诞生1985灰色系统研究会成立,灰色系统相关研究发展迅速。
1989海洋出版社出版英文版灰色系统论文集,同年,英文版国际刊物灰色系统杂志正式创刊。
目前,国际、国内300多种期刊发表灰色系统论文,许多国际会议把灰色系统列为讨论专题。
国际著名检索已检索我国学者的灰色系统论著3000多次。
灰色系统理论已应用范围已拓展到工业、农业、社会、经济、能源、地质、石油等众多科学领域,成功地解决了生产、生活和科学研究中的大量实际问题,取得了显著成果。
1.2几种不确定方法的比较几种不确定方法的比较概率统计,模糊数学和灰色系统理论是三种最常用的不确定系统研究方法。
其研究对象都具有某种不确定性,是它们共同的特点。
也正是研究对象在不确定性上的区别,才派生了这三种各具特色的不确定学科。
模糊数学着重研究“认识不确定”问题,其研究对象具有“内涵明确,外延不明确”的特点。
比如“年轻人”内涵明确,但要你划定一个确定的范围,在这个范围内是年轻人,范围外不是年轻人,则很难办到了。
概率统计研究的是“随机不确定”现象,考察具有多种可能发生的结果之“随机不确定”现象中每一种结果发生的可能性大小。
要求大样本,并服从某种典型分布。
灰色系统理论着重研究概率统计,模糊数学难以解决的“小样本,贫信息”不确定性问题,着重研究“外延明确,内涵不明确”的对象。
如到2050年,中国要将总人口控制在15亿到16亿之间,这“15亿到16亿之间“是一个灰概念,其外延很清楚,但要知道具体数值,则不清楚。
1.3灰色系统理论的基本概念定义定义1.3.1信息完全明确的系统称为白色系统。
白色系统。
定义定义1.3.2信息未知的系统称为黑色系统。
黑色系统。
定义定义1.3.3部分信息明确,部分不明确的系统称为灰色灰色系统。
系统。
1.4灰色系统理论的基本原理公理1(差异信息原理)“差异“是信息,凡信息必有差异。
公理2(解的非唯一性原理)信息不完全,不确定的解是非唯一的。
公理3(最少信息原理)灰色系统理论的特点是充分开发利用已占有的“最少信息“。
公理4(认知根据原理)信息是认知的根据。
公理5(新信息优先原理)新信息对认知的作用大于老信息。
公理6(灰性不灭原理):
信息不完全是绝对的1.5灰色系统理论的主要内容灰色系统理论经过20多年的发展,现在已经基本建立起一门新兴学科的结构体系。
其主要内容包括以灰色代数系统,灰色方程、灰色矩阵等为基础的理论体系。
以灰色序列生成为基础的方法体系,以灰色关联空间为依托的分析体系。
以灰色模型(GM)为核心的模型体系,以系统分析,评估,建模,预测,决策,控制,优化为主体的技术体系。
1.6灰数灰数是灰色系统理论的基本“单元“或”细胞“。
我们把只知道大概范围而不知道其确切值的数称为灰数。
在应用中,灰数实际上指在某一个区间或某个一般的数集内取值的不确定数。
通常用记号“”表示灰数。
灰数有以下几类:
1.仅有下界的灰数。
有下界而无上界的灰数记为,a,其中a是灰数的下确界,是确定的数,我们称,a为的取数域,简称的灰域。
2.仅有上界的灰数。
有上界而无下界的灰数记为,a,其中a是灰数的上确界,是确定的数。
3.区间灰数。
既有下界又有上界的灰数称为区间灰数,记为,aa4.连续灰数与离散灰数。
5.黑数与白数。
当,+,称为黑数;当,aa且aa=时,称为白数。
6.本征灰数与非本征灰数。
本征灰数是指不能或暂时还不能找到一个白数作为其“代表”的灰数,比如一般的事前预测值,宇宙的总能量等。
非本征灰数是指凭先验信息或某种手段,可以找到一个白数作为其代表的灰数。
我们称此白数为相应灰数的白化值。
第二章第二章序列算子与灰色序列生成序列算子与灰色序列生成灰色系统理论的主要任务之一,是根据社会,经济,生态等系统的行为特征数据,寻找不同系统变量之间或某些系统变量自身的数学关系和变化规律。
灰色系统理论认为任何随机过程都是在一定幅值范围和一定时区内变化的灰色量,并把随机过程看成灰色过程。
灰色系统理论是通过对原始数据的挖掘,整理来寻求其变化规律的,这是一种就数据寻找数据的现实规律的途径,我们称为灰色序列生成。
灰色系统理论认为,尽管客观系统表象复杂,数据离乱,但它总是有整体功能的,因此必然蕴含某种内在规律。
关键在于如何选择适当的方式去挖掘它和利用它。
一切灰色序列都能通过某种生成弱化其随机性,显现其规律性。
例如考虑4个数据,记为)4(),3(),2(),1()0()0()0()0(XXXX,其数据见下表:
序号1234符号)1()0(X)2()0(X)3()0(X)4()0(X数据121.54将上表数据作图得0123451234XY上图表明原始数据)0(X没有明显的规律性,其发展态势是摆动的。
如果将原始数据作累加生成,记第K个累加生成为)()1(KX,并且1)1()1()0()1(=XX321)2()1()2()0()0()1(=+=+=XXX5.45.121)3()2()1()3()0()0()0()1(=+=+=XXXX5.735.121)4()3()2()1()4()0()0()0()0()1(=+=+=XXXXX得到数据如下表所示序号1234符号)1()1(X)2()1(X)3()1(X)4()1(X数据134.57.50123456781234XY上图表明生成数列X
(1)是单调递增数列。
2.1冲击扰动系统与序列算子冲击扰动系统与序列算子定义定义2.1.1设0000
(1),
(2),()Xxxxn=为系统真实行为序列,而观察到的系统行为数据序列为000012
(1),
(2),()
(1),
(2),()nXxxxnxxxnX=+=+其中,12(,)n=为冲击扰动项(干扰项)。
X称为冲击扰动序列。
所以本章我们的讨论围绕:
由XX0展开(扰动还原真实)2.2缓冲算子公理缓冲算子公理定义定义2.2.1设系统行为数据序列为
(1),
(2),()Xxxxn=,1.若2,3,()
(1)0knxkxk=,则称X为单调增长序列;2.若1中不等号反过来成立,则称X为单调衰减序列;3.若,2,3,()
(1)0,()
(1)0kknxkxkxkxk0,令
(1),
(2),()XDxdxdxnd=其中11111()()
(1)()(),1,2,kknkknkknnikxkdxkxkxnxikn+=+=则当XD为弱缓冲算子,并称D为加权几何平均弱化缓冲算子(WGAWBO)。
定理定理2.3.7设设
(1),
(2),()Xxxxn=为系统行为数据序列,令
(1),
(2),()XDxdxdxnd=其中2
(1)()(),1,2,()
(1)()nkxkxkdknxkxkxn+=+。
则当X为增长序列,衰减序列或振荡序列时,D为强化缓冲算子,并称D为平均强化缓冲算子(ASBO)定理定理2.3.8设
(1),
(2),()Xxxxn=为非负的系统行为数据序列,令
(1),
(2),()XDxdxdxnd=其中221111()()(),1,2,()
(1)()()nnknkikxkxkxkdknxkxkxnxi+=+。
则当X为增长序列,衰减序列或振荡序列时,D为强化缓冲算子,并称D为几何平均强化缓冲算子(GASBO)以上列举了部分缓冲算子,当然,我们还可以考虑构造其它形式的实用缓冲算子,缓冲算子不仅可以用于灰色系统建模,而且还可以用于其它各种模型建模。
通常在建模之前根据定性分析结论对原始数据序列施以缓冲算子,淡化或消除冲击扰动对系统行为数据序列的影响,往往会收到预期的效果。
例例2.3.1河南省长葛县乡镇企业产值数据(1983年-1986年)为(10155,12588,23480,35388)X=其增长势头很猛,1983-1986年每年平均递增51.6%,尤其是1984-1986年,每年平均递增67.7%。
因此普遍认为今后不可能一直保持这么高的发展速度。
经过认真分析,大家认识到增长速度高主要是基数低,而基数低的原因是过去对有利与乡镇企业发展的政策没有用足,用活,用好。
要弱化序列增长趋势,就要将乡镇企业发展比较有利的现行政策因素附加到过去的年份中去,为此,引进推论1所示的二阶弱化算子,得二阶缓冲序列2(27260,29547,32411,35388)XD=用XD2建模预测得,1986-2000年该县乡镇企业每年平均递增9.4%,这一结果是1987年得到的,与“八五”后半期和“九五”期间该县乡镇企业发展实际基本吻合。
2.4均值生成算子在收集数据时,常常由于一些不易克服的困难导致数据序列出现空缺(也称空穴),有些数据序列虽然完整,但由于系统行为在某个时点上发生突变而形成异常数据,剔除异常数据就会留下空穴,如何填补空穴,自然成为数据处理过程中首先遇到的问题,均值生成是常用的构造新数据,填补原序列空穴,生成新序列的方法。
定义定义2.4.1设序列X在k出现有空穴,记为()k,即
(1),
(2),
(1),(),
(1),()Xxxxkkxkxn=+则称
(1)
(1)()
(1)
(1)xkxkkxkxk+和为的界值,为前界,为后界()
(1)
(1)
(1)
(1)kxkxkxkxk+当是由和生成时,称生成值x(k)为,的内点定义定义2.4.2设序列
(1),
(2),
(1),(),
(1),()Xxxxkkxkxn=+为k处有空穴()k的序列,而()k*=()0.5
(1)0.5()xkxkxk=+称为非紧邻均值生成数,所得序列称为非紧邻生成序列。
定义定义2.4.3设序列
(1),
(2),()Xxxxn=,若*()0.5
(1)0.5()xkxkxk=+,则称*()xk为紧邻生成数,由紧邻生成数构成的序列称为紧邻均值生成序列。
2.5序列的光滑性定义2.5.1设序列
(1),
(2),(),
(1)Xxxxnxn=+,Z是X的均值生成序列:
(1),
(2),()Zzzzn=,其中()0.5
(1)0.5()zkxkxk=+,X*是某一可导函数的代表序列,d为n维空间的距离函数,我们将X删去
(1)xn+后所得的序列仍记X,若X满足1.当k充分大时,11()()kixkxi=2.*11max()()max()()knknxkxkxkzk则称为光滑序列,为序列光滑条件。
定义定义.称11()();2,3,()kixkkknxi=为序列的光滑比。
定义定义.若序列满足.
(1)1;2,3,1()kknk+=.()0,;3,4,kkn=.0.5则称为准光滑序列。
.级比生成算子定义定义.设序列
(1),
(2),()Xxxxn=,则称()();2,3,
(1)xkkknxk=为序列的级比。
.累计生成算子与累减生成算子累加生成是使灰色过程由灰变白的一种方法,它在灰色系统理论中占有极其重要的地位。
通过累加可以看出灰量积累过程的发展态势,使离乱的原始数据中蕴含的积分特性或规律充分显露出来。
定义定义.设0000
(1),
(2),()Xxxxn=,为序列算子0000
(1),
(2),()XDxdxdxnd=,其中001()();1,2,3,kixkdxikn=。
则称为0X的一次累加生成算子,记为-(AccumulatingGenerationOperator),称r阶算子rD为0X的r次累加生成算子,记为r-AGO,习惯上,我们记01111
(1),
(2),()XDXxxxn=0
(1),
(2),()rrrrrXDXxxxn=其中11()();1,2,3,krrixkdxikn=定义定义2.7.2设0000
(1),
(2),()Xxxxn=,D为序列算0000
(1),
(2),()XDxdxdxnd=,其中000()()
(1)1,2,3,xkdxkxkkn=2.8灰指数律定义定义2.8.1设序列
(1),
(2),()Xxxxn=,若对于1.();,0;1,2akxkcecakn=则称X为齐次指数序列。
2.();,0;1,2akxkcecabkn=,称X为齐次指数序列。
定义定义2.8.2设序列
(1),
(2),()Xxxxn=若1.(),()(0,1
(1)xkkkxk=,则称序列X具有负的灰指数规律。
2.(),()(1,
(1)xkkkbxk=,则称序列X具有正的灰指数规律。
3.(),(),
(1)xkkkabbaxk=则称序列X具有绝对灰度为的灰指数规律。
4.0.5时,称X具有准指数规律。
定理定理2.8.1设序列0000
(1),
(2),()Xxxxn=为非负准光滑序列,则0X的一次累加生成序列1X具有准指数规律。
注:
定理2.8.1是灰色系统建模的理论基础第三章灰色关联分析一般的抽象系统,如社会系统,经济系统,农业系统,生态系统等都包含有许多种因素,多种因素共同作用的结果决定了该系统的发展态势。
我们常常希望知道众多的因素中,哪些是主要因素,哪些是次要因素,哪些因素对系统发展影响大,哪些因素对系统发展影响小,哪些因素对系统发展起推动作用需加强,哪些因素对系统发展起阻碍作用需抑制数理统计中的回归分析,方差分析,主成分分析等都是用来进行系统特征分析的方法。
但数理统计中的分析方法往往需要大量数据样本,且服从某个典型分布。
灰色关联分析方法弥补了采用数理统计方法作系统分析所导致的缺憾.它对样本量的多少和样本有无规律都同样适用,而且计算量小,十分方便,更不会出现量化结果与定性分析结果不符的情况。
灰色关联分析的基本思想是根据序列曲线几何形状的相似程度来判断其联系是否紧密。
曲线越接近,相应序列之间关联度就越大,反之就越小。
例如某地区农业总产值0X,种植业总产值1X,畜牧业总产值2X和林业总产值3X,从1997-2002年共6年的统计数据如下:
0X=(18,20,22,35,41,46)1X=(8,11,12,17,24,29)2X=(3,2,7,4,11,6)0X=(5,7,7,11,5,10)产值散点图01020304050199719981999200020012001年份产值农业种植业畜牧业林果业从直观上看,与农业总产值曲线最相似的是种植业总产值曲线,而畜牧业总产值曲线和林果业总产值去与农业总产值曲线在几何形状上差别较大。
因此我们可以说该地区的农业仍然是以种植业为主的农业,畜牧业和林果业还不够发达。
3.1灰色关联因素和关联算子集灰色关联因素和关联算子集进行系统分析,选准系统行为特征的映射量后,还需进一步明确影响系统行为的有效因素。
如要作量化研究分析,则需要对系统行为特征映射量和各有效因素进行处理,通过算子作用,使之化为数量级大体相近的无量纲数据,并将负相关因素转化为正相关因素。
定义定义3.1.1设
(1),
(2),()iiiiXxxxn=为因素iX的行为序列,1D为序列算子,且1111
(1),
(2),()iiiiXDxdxdxnd=其中1()()
(1)0;1,2
(1)iiiixkxkdxknx=,则称1D为初值化算子。
1iXD为iX在初值化算子1D的象,简称初值象。
定义定义3.1.2设
(1),
(2),()iiiiXxxxn=为因素iX的行为序列,2D为序列算子,且2222
(1),
(2),()iiiiXDxdxdxnd=其中21()();1,21()iinikxkxkdknxkn=,则称2D为均值化算子。
2iXD为iX在均值化算子2D的象,简称均值象。
定义定义3.1.3设
(1),
(2),()iiiiXxxxn=为因素iX的行为序列,3D为序列算子,且3333
(1),
(2),()iiiiXDxdxdxnd=其中3()min()();1,2max()min()iikiiikkxkxkxkdknxkxk=,则称3D为区间化算子。
3iXD为iX在区间化算子3D的象,简称区间值象。
定义定义3.1.4设
(1),
(2),()iiiiXxxxn=,()0,1xk为因素iX的行为序列,4D为序列算子,且4444
(1),
(2),()iiiiXDxdxdxnd=其中4()1();1,2iixkdxkkn=,则称4D为逆化算子。
4iXD为iX在逆化算子4D的象,简称逆化象。
定义定义3.1.5设
(1),
(2),()iiiiXxxxn=,()0,1xk为因素iX的行为序列,5D为序列算子,且5555
(1),
(2),()iiiiXDxdxdxnd=其中51()()0;1,2()iiixkdxkknxk=,则称5D为逆化算子。
5iXD为iX在倒数化算子5D的象,简称倒数化象。
定义定义3.1.6称|1,2,3,4,5iDDi=为灰色关联算子集。
定义定义3.1.7设X为系统因素集合,D为灰色关联算子集,称(X,D)为灰色关联因子空间。
3.2灰色关联公理与灰色关联度定义定义3.2.1(灰色关联公理)设0000
(1),
(2),()Xxxxn=为系统特征序列,且1111
(1),
(2),()Xxxxn=
(1),
(2),()iiiiXxxxn=
(1),
(2),()mmmmXxxxn=为相关因素序列,给定实数0(),()irxkxk,若实数0011(,)(),()niikrXXrxkxkn=,满足1.规范性0000(,)1,(,)1iiirXXrXXXX=2.整体性对于,|0,1,;2ijSXXXXsmm=有(,)(,)ijjirXXrXXij3.偶对对称性,ijXXX,有(,)(,),ijjiijrXXrXXXXX=4.接近性0|()()|ixkxk越小,0(),()irxkxk越大。
则称0011(,)(),()niikrXXrxkxkn=为,ijXXX的灰色关联度,其中0(),()irxkxk为ijXX和在k点的关联系数,并称条件1.2.3.4为灰色关联四公理。
在灰色关联公理中,规范性00(,)1irXX3.4广义灰色关联度命题命题3.4.1设0X=000(x
(1),x
(2),x(n))iX=iii(x
(1),x
(2),x(n)),而00X=000000(x
(1),x
(2),x(n))和0iX=000iii(x
(1),x
(2),x(n))分别为0X与iX的始点化像,即0000x(k)=x(k)-x
(1),0iiix(k)=x(k)-x
(1),则记102|nks=00001x(k)+x(n)2,12|niks=00ii1x(k)+x(n)2及102|nikss=0000i0i01(x(k)-x(k)+(x(n)-x(n)2定义定义3.4.1设序列,0s,is如命题3.3.1中所示,则称00001|1|iiiissssss+=+为0X与iX的灰色绝对关联度,简称绝对关联度。
绝对关联度满足灰色关联公理中规范性,偶对对称性与接近性,但不满足整体性。
定理定理3.4.1灰色绝对关联度0i具有如下的性质:
1.001i为常数,则01iR=定理定理3.5.2灰色相对关联度0iR具有如下的性质:
1.001iR得知相对0X来说,3X为最优因素,4X次之,2X又次之,1X最差。
也就是说,劳动力对乡镇企业的产值影响最大,企业留利对产值的影响仅次于劳动力,固定资产对产值的影响最小。
这一结果与该县的实际情况吻合。
这个县的乡镇企业主要是劳动密集型产业,产值的增长在很大程度上是靠增加劳动力来实现的。
第四章灰色系统模型研究一个系统,一般应首先建立系统的数学模型,进而对系统的整体功能,协调功能以及系统各因素之间的关联关系,因果关系进行具体的量化研究。
这种研究必须以定性分析为先导,定量与定性紧密结合,系统模型的建立,一般要经过思想开发,因素分析,量化,动态化,优化五个步骤。
即语言模型,网络模型,量化模型,动态模型,优化模型。
在建模过程中,要不断的将下一阶段中所得的结果回馈,经过多次循环往返,使整个模型逐步趋于完善。
4.1GM(1,1)模型G表示gray(灰色),m表示model(模型),Gm(1,1)表示1阶的、1个变量的模型。
定义定义4.1.1设0000
(1),
(2),()Xxxxn=1111
(1),
(2),()Xxxxn=,则称01()()xkaxkb+=为GM(1,1)模型的原始形式。
定义定义4.1.2设0000
(1),
(2),()Xxxxn=,1111
(1),
(2),()Xxxxn=,1111
(2),(3),()Zzzzn=其中1111()()
(1)1,2,2zkxkxkkn=+=则称01()()xkazkb+=为GM(1,1)模型的基本形式。
定义定义4.1.3设0X为非负序列:
0000
(1),
(2),()Xxxxn=1X为0X的1-AGO(即一次累加)序列:
1111
(1),
(2),()Xxxxn=,其中101()()1,2,kixkxikn=;1Z为1X的紧邻均值生成序列1111
(2),(3),()Zzzzn=,其中1111()()
(1)1,2,2zkxkxkkn=+=若,Taab=为参数列,且010101
(2)
(2)1(3)(3)1,()()1xZxZYBxnZn=则GM(1,1)模型01()()xkazkb+=的最小二乘估计参数列满足1,()TTTaabBBBY=定义定义4.1.设0X为非负序列,1X为0X的1-AGO(即一次累加)序列,1Z为1X的紧邻均值生成序列,则称11dxaxbdt+=为(,)模型01()()xkazkb+=的白化方程,也叫影子方程。
定理定理.设,BYa如定理.所述,1,()TTTaabBBBY=,则.白化方程11dxaxbdt+=的解(也称时间响应函数)为()11()
(1)atbbxtxeaa=+.GM(1,1)模型01()()xkazkb+=的时间响应函数序列为()1
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