数学物理方法作业第三份.docx
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数学物理方法作业第三份
第七章数学物理定解问题
1.研究均匀杆的纵振动。
已知
x0端是自由的,则该端的边界条件为=°
2•研究细杆的热传导,若细杆的
x0端保持绝热,则该端的边界条件为=°。
3•说明物理现象初始状态的条件叫_初始条件,说明边界上的约束情况的条件叫_边界条件_,统称为
定解条件。
4•均匀细杆热传导系数为
k,在xl端有强度为q。
的热流流入,则该端的边界条件为
A山
2
aUxxf;
2r
BUtaUxxf;
2
2
CUt
aUxx•
DUttaUx。
6、泛定方程
2
UttaUxx
0要构成定解冋题,则应有的初始条件个数为
B
5、下列方程是波动方程的是D
A1个;
C3个;
B2个;
D4个。
7.一根长为I两端固定的弦,用手把它的中点朝横向拨开距离h,(如图〈1〉所示)然后放
手任其振动。
”该物理问题的初始条件为(D)。
ut
C•ut0h
存x[0,2
x),x[-2,1]
u
0
t
Ut
Ut
l
2h(|
I
0
2hx,x[0,£]
2
x),x[-,|]
&线密度为,长为I的均匀弦,两端固定,开始时静止,后由于在点X0(0X。
I)受谐变力F°sint
的作用而振动。
”则该定解问题为(B)。
Utta2UxxF0sint(xx0),(0xI)
A.
2
UttaUxx
(XX0)
F°sint0,(0xl)
0,u
O,Utt0
Utta2UxxF0sint(x心,(0xI)
t00,Ut|
0,(0xI)
F0sint(xx°)
t00,Ut|t00
9.
研究长为I的均匀杆的纵振动。
若杆的两端均为自由端,则边界条件为
(D)。
0,u
定解问题由数学物理方程和定解条件组成,定解条件包括初值条件、边界条件和连接条件。
(1)第一类边界条件:
直接规定了所研究的物理量-在边界上的数值,
心=代),E代表边界
(2)第二类边界条件:
规定了所研究的物理量在边界外法线方向上方向导数在边界眩的数值,
解:
令(x)bx
0,u
2
UttaUxx0,(0xI)
A二九CO£—isin—
所求的定解问题的解为:
篇2』.沁
也匕百=>sin——sintsm——a
x」旳他Q///
UtaUxx0,(0xI)
3•求定解问题Ux0Uo,UxxIUi的解,其中Uo、Ui均为常数。
(待)
utoU0
设“二'■■■+'r
aw.
i
w
.=0二0胡紳二0!
-o--%
巩兀f)二士忑(◎皈罕X
令
sin——
二匚;sin—a=-2Vo
a.iI
0,ji-2A
■諾L*
所求的定解问题的解为:
1
JU)a+
utt
u
4.求定解问题
U
2Uxx0,(0xI)
U°,U
U0U0(xX°),(0X。
xlU0
I)的解,其中U0为常数。
%-口%二o
制二0胡=0
*IZ=IZ
Mb)二吗页>_心)
叫"二0
1!
i-0
何珀)二£盂(0曲1罕兀
设e
:
5=°
cos£+Bksm
科丸a.科丸
L)sm——盂
XAsin—x=站o$(x-向)
a_ii
^u0F•”2uc+MS
■■A=―-sin——”呂〔x-耳门)心=―土如——fJorrj
所求的定解问题的解为
2
utaUxxsint,(0xl)
5•求定解问题Uxx00,Uxxl0的解。
ut00
令
■■-A=—>CT=0 OJ .'.n(兀r)=—(1—COSQl) tU UxxUyy0 x uy0A(1-),yimu(x,y)0.(0xl) EC«WEm 设 —? oa欧i>=0? ;.兔=0 .戲龙 sin——a R-l 另2an学-为 «-li1 第十章球函数 1•当Rr时,函数1 2rRcosr2 1 R^rrPi(cos) 10r 2•勒让德多项式的母函数为 .12rcosr 12 P2(cos)(3cos1) 定解问题为: 险-0”(_r< U=5UlV Lf 这是一个关于极轴对称的拉氏方程的定解问题 =Z+盘沟(匸o") a厂 当「T有限匚'' 0 TA*j^(cos6) Z-0 con2 兀&心百(cos=云爲■石马a」j 二轴二亍,爲二=0(/H0,2) 所求的定解问题的解为 1 3cos)。 3 F3(cos)(5cos 2 5.在本来是匀强的静电场中放置均匀介质球,本来的电场强度是E0,球的半径是r0,相对介电常数是 试求解介质球内外的电势(已知R(COS)COS)。 解: 如图所示,建立坐标系,则定解问题为: 血二0 7=f u=cos6 LFTM" gc ■i』F 当"一..丄Aj 工A,R(cosff)=-E^rcos6=-E^rF{(cosg) i-0 〔4二-备4=o(2i) gD «=一耳广匚加日+込一■召(gs赴) J-0F 一耳/八诃&+另得马(匚烷国=u ■-月0—crd^i-爲心 Bt=0(/工0J) a=一丑°rcos9+—十co;6 r严 6.在点电荷4°q的电场中放置一个接地导体球,球的半径为a,球心与点电荷相距ri(ri a)。 求球 外静电场的电势。 解: 选择球心为球坐标系的极点,极轴通过点电荷,则极轴是对称轴,问题与门无关; 又设导体球接地,所以导体球内电势为 在球外,(除点电荷处) 坏 任意点的电势是点电荷Jr-产生的电势-'■""■ 和导体球 感应电荷产生的电势 y(rr&) 的叠加。 因静电感应电荷只在球面上,故由它在球外所产生的电势 "(匚切满足拉普拉斯方程。 于是定解问题为, -二, (a (1) -纠口十卅 所以「—-J'•,: 在轴对称情况下,方程 (1)的一般解为, (2) 卩("二左的'+盘)幷(mW) i-0F 考虑到 (2)的无限远边界条件,应舍弃项, gD =22-rr^Ccos/? ) U)尸 (3) 以(3)代入 (2)的球面边界条件, Z耳仗理日2-j2° s/-口g: B+g 引用母函数 乞禺AeWw®八0乞务£(金召)M)& 比较两边的广义傅里叶系数,得 rl +E〔切略•占缺恥巧s广1r (4) 在解(4)中,第二项 于像电荷产生的电势,这像电荷处在球内极轴 (―)a-2(—JrcMfl+r3 &庁,相当 aAa -斗览1$孕一 上,带电量为匚。
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- 数学 物理 方法 作业 第三