大纲版高中高一数学全套教案:平面向量.doc
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第五章平面向量
第一教时
教材:
向量
目的:
要求学生掌握向量的意义、表示方法以及有关概念,并能作一个向量与已知向量相等,根据图形判定向量是否平行、共线、相等。
过程:
AB
一、开场白:
课本P93(略)
实例:
老鼠由A向西北逃窜,猫在B处向东追去,
问:
猫能否追到老鼠?
(画图)
结论:
猫的速度再快也没用,因为方向错了。
二、提出课题:
平面向量
1.意义:
既有大小又有方向的量叫向量。
例:
力、速度、加速度、冲量等
注意:
1°数量与向量的区别:
数量只有大小,是一个代数量,可以进行代数运算、比较大小;
向量有方向,大小,双重性,不能比较大小。
A(起点)
B
(终点)
a
2°从19世纪末到20世纪初,向量就成为一套优良通性的数学体系,用以研究空间性质。
2.向量的表示方法:
1°几何表示法:
点—射线
有向线段——具有一定方向的线段
有向线段的三要素:
起点、方向、长度
A
B
北
记作(注意起讫)
2°字母表示法:
可表示为(印刷时用黑体字)
P95例用1cm表示5nmail(海里)
3.模的概念:
向量的大小——长度称为向量的模。
记作:
||模是可以比较大小的
4.两个特殊的向量:
1°零向量——长度(模)为0的向量,记作。
的方向是任意的。
注意与0的区别
2°单位向量——长度(模)为1个单位长度的向量叫做单位向量。
例:
温度有零上零下之分,“温度”是否向量?
答:
不是。
因为零上零下也只是大小之分。
例:
与是否同一向量?
答:
不是同一向量。
例:
有几个单位向量?
单位向量的大小是否相等?
单位向量是否都相等?
答:
有无数个单位向量,单位向量大小相等,单位向量不一定相等。
三、向量间的关系:
1.平行向量:
方向相同或相反的非零向量叫做平行向量。
a
b
c
记作:
∥∥
规定:
与任一向量平行
2.相等向量:
长度相等且方向相同的向量叫做相等向量。
记作:
=
规定:
=
任两相等的非零向量都可用一有向线段表示,与起点无关。
3.共线向量:
任一组平行向量都可移到同一条直线上,
所以平行向量也叫共线向量。
COBA
===
例:
(P95)略
变式一:
与向量长度相等的向量有多少个?
(11个)
变式二:
是否存在与向量长度相等、方向相反的向量?
(存在)
变式三:
与向量共线的向量有哪些?
()
四、小结:
五、作业:
P96练习习题5.1
第二教时
教材:
向量的加法
目的:
要求学生掌握向量加法的意义,并能运用三角形法则和平行四边形法则作几个向量的和向量。
能表述向量加法的交换律和结合律,并运用它进行向量计算。
过程:
六、复习:
向量的定义以及有关概念
强调:
1°向量是既有大小又有方向的量。
长度相等、方向相同的向量相等。
2°正因为如此,我们研究的向量是与起点无关的自由向量,即任何向量可以在不改变它的方向和大小的前提下,移到任何位置。
七、提出课题:
向量是否能进行运算?
ABC
5.某人从A到B,再从B按原方向到C,
则两次的位移和:
CAB
6.若上题改为从A到B,再从B按反方向到C,
AB
C
则两次的位移和:
7.某车从A到B,再从B改变方向到C,
AB
C
则两次的位移和:
8.船速为,水速为,
则两速度和:
提出课题:
向量的加法
三、1.定义:
求两个向量的和的运算,叫做向量的加法。
注意:
;两个向量的和仍旧是向量(简称和向量)
a
a
a
C
C
C
B
B
B
A
A
A
2.三角形法则:
a+b
b
a
b
b
a+b
a+b
强调:
1°“向量平移”(自由向量):
使前一个向量的终点为后一个向量的起点
2°可以推广到n个向量连加
3°
4°不共线向量都可以采用这种法则——三角形法则
O
A
B
a
a
a
b
b
b
3.例一、已知向量、,求作向量+
作法:
在平面内取一点,
作
则
4.加法的交换律和平行四边形法则
上题中+的结果与+是否相同验证结果相同
从而得到:
1°向量加法的平行四边形法则
2°向量加法的交换律:
+=+
A
B
C
D
a
c
a+b+c
b
a+b
b+c
9.向量加法的结合律:
(+)+=+(+)
证:
如图:
使,,
则(+)+=
+(+)=
∴(+)+=+(+)
从而,多个向量的加法运算可以按照任意的次序、任意的组合来进行。
四、例二(P98—99)略
五、小结:
1°向量加法的几何法则
2°交换律和结合律
3°注意:
|+|>||+||不一定成立,因为共线向量不然。
六、作业:
P99—100练习P102习题5.21—3
第三教时
教材:
向量的减法
目的:
要求学生掌握向量减法的意义与几何运算,并清楚向量减法与加法的关系。
过程:
八、复习:
向量加法的法则:
三角形法则与平行四边形法则
AB
DC
向量加法的运算定律:
例:
在四边形中,
解:
九、提出课题:
向量的减法
1.用“相反向量”定义向量的减法
1°“相反向量”的定义:
与a长度相同、方向相反的向量。
记作-a
2°规定:
零向量的相反向量仍是零向量。
-(-a)=a
任一向量与它的相反向量的和是零向量。
a+(-a)=0
如果a、b互为相反向量,则a=-b,b=-a,a+b=0
3°向量减法的定义:
向量a加上的b相反向量,叫做a与b的差。
即:
a-b=a+(-b)求两个向量差的运算叫做向量的减法。
2.用加法的逆运算定义向量的减法:
向量的减法是向量加法的逆运算:
O
a
b
B
a
b
a-b
若b+x=a,则x叫做a与b的差,记作a-b
3.求作差向量:
已知向量a、b,求作向量
∵(a-b)+b=a+(-b)+b=a+0=a
作法:
在平面内取一点O,
作=a,=b
则=a-b
即a-b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量。
注意:
1°表示a-b。
强调:
差向量“箭头”指向被减数
2°用“相反向量”定义法作差向量,a-b=a+(-b)
显然,此法作图较繁,但最后作图可统一。
O
A
B
a
B’
b
-b
b
B
a+(-b)
a
b
a-b
A
A
B
B
B’
O
a-b
a
a
b
b
O
A
O
B
a-b
a-b
B
A
O
-b
4.a∥b∥ca-b=a+(-b)a-b
十、例题:
例一、(P101例三)已知向量a、b、c、d,求作向量a-b、c-d。
解:
在平面上取一点O,作=a,=b,=c,=d,
A
B
C
b
a
d
c
D
O
作,,则=a-b,=c-d
AB
DC
例二、平行四边形中,,用表示向量,
解:
由平行四边形法则得:
=a+b,==a-b
变式一:
当a,b满足什么条件时,a+b与a-b垂直?
(|a|=|b|)
变式二:
当a,b满足什么条件时,|a+b|=|a-b|?
(a,b互相垂直)
变式三:
a+b与a-b可能是相当向量吗?
(不可能,∵对角线方向不同)
十一、小结:
向量减法的定义、作图法|
十二、作业:
P102练习
P103习题5.24—8
第四教时
教材:
向量、向量的加法、向量的减法综合练习《教学与测试》64、65、66课
目的:
通过练习要求学生明确掌握向量的概念、几何表示、共线向量的概念,掌握向量的加法与减法的意义与几何运算。
过程:
十三、复习:
1°向量的概念:
定义、表示法、模、零向量、单位向量、平行向量、
相等向量、共线向量
2°向量的加法与减法:
定义、三角形法则、平行四边形法则、运算定律
十四、1.处理《教学与测试》P135—136第64课(略)
2.处理《教学与测试》P137—138第65课
例一、设a表示“向东走3km”,b表示“向北走3km”,
B
a+bb
OaA
则a+b表示向东北走km
解:
=+
(km)
例二、试用向量方法证明:
对角线互相平分的四边形是平行四边形。
AB
DC
O
证:
由向量加法法则:
=+,=+
由已知:
=,=
∴=即AB与CD平行且相等
AB
OPC
EF
∴ABCD为平行四边形
例三、在正六边形中,若=a,=b,试用
向量a、b将、、表示出来。
解:
设正六边形中心为P
则a+b+a
a+b+a+b
由对称性:
=b+b+a
3.处理《教学与测试》P139—140第66课(略)
十五、有时间可处理“备用题”:
例一、化简
解:
=
====0
AB
DC
30°
上游
下游
例二、在静水中划船的速度是每分钟40,水流的速度是每分钟20,如果船从岸边出发,径直沿垂直与水流的航线到达对岸,那么船行进的方向应该指向何处?
解:
如图:
船航行的方向是
与河岸垂直方向成30°夹角,
即指向河的上游。
十六、作业:
上述三课中的练习部分(选)
第五教时
教材:
实数与向量的积
目的:
要求学生掌握实数与向量的积的定义、运算律,理解向量共线的充要条件。
过程:
一、复习:
向量的加法、减法的定义、运算法则。
二、1.引入新课:
已知非零向量作出++和(-)+(-)+(-)
B
A
O
C
P
Q
M
N
==++=3
==(-)+(-)+(-)=-3
讨论:
1°3与方向相同且|3|=3||
2°-3与方向相反且|-3|=3||
2.从而提出课题:
实数与向量的积
实数λ与向量的积,记作:
λ
定义:
实数λ与向量的积是一个向量,记作:
λ
1°|λ|=|λ|||
2°λ>0时λ与方向相同;λ<0时λ与方向相反;λ=0时λ=
3.运算定律:
结合律:
λ(μ)=(λμ)①
第一分配律:
(λ+μ)=λ+μ②
第二分配律:
λ(+)=λ+λ③
结合律证明:
如果λ=0,μ=0,=至少有一个成立,则①式成立
如果λ¹0,μ¹0,¹有:
|λ(μ)|=|λ||μ|=|λ||μ|||
|(λμ)|=|λμ|||=|λ||μ|||
∴|λ(μ)|=|(λμ)|
如果λ、μ同号,则①式两端向量的方向都与同向;
如果λ、μ异号,则①式两端向量的方向都与反向。
从而λ(μ)=(λμ)
第一分配律证明:
如果λ=0,μ=0,=至少有一个成立,则②式显然成立
如果λ¹0,μ¹0,¹
当λ、μ同号时,则λ和μ同向,
∴|(λ+μ)|=|λ+μ|||=(|λ|+|μ|)||
|λ+μ|=|λ|+|μ|=|λ|||+|μ|||=(|λ|+|μ|)||
∵λ、μ同号∴②两边向量方向都与同向
即:
|(λ+μ)|=|λ+μ|
当λ、μ异号,当λ>μ时②两边向量的方向都与λ同向
当λ<μ时②两边向量的方向都与μ同向
还可证:
|(λ+μ)|=|λ+μ|
∴②式成立
第二分配律证明:
如果=,=中至少有一个成立,或λ=0,λ=1则③式显然成立
O
A
B
B1
A1
当¹,¹且λ¹0,λ¹1时
1°当λ>0且λ¹1时在平面内任取一点O,
作λλ
则+λ+λ
由作法知:
∥有ÐOAB=ÐOA1B1||=λ||
∴λ∴△OAB∽△OA1B1
∴λÐAOB=ÐA1OB1
因此,O,B,B1在同一直线上,||=|λ|与λ方向也相同
A
O
B
B1
A1
λ(+)=λ+λ
当λ<0时可类似证明:
λ(+)=λ+λ
∴③式成立
4.例一(见P104)略
三、向量共线的充要条件(向量共线定理)
1.若有向量(¹)、,实数λ,使=λ则由实数与向量积的定义知:
与为共线向量
若与共线(¹)且||:
||=μ,则当与同向时=μ
当与反向时=-μ
从而得:
向量与非零向量共线的充要条件是:
有且只有一个非零实数λ
使=λ
2.例二(P104-105略)
三、小结:
四、作业:
课本P105练习P107-108习题5.31、2
第六教时
教材:
平面向量基本定理
目的:
要求学生掌握平面向量的基本定理,能用两个不共线向量表示一个向量;或一个向量分解为两个向量。
过程:
一、复习:
1.向量的加法运算(平行四边形法则)。
2.实数与向量的积3.向量共线定理
二、由平行四边形想到:
1.是不是每一个向量都可以分解成两个不共线向量?
且分解是唯一?
2.对于平面上两个不共线向量,是不是平面上的所有向量都可以用它们来表示?
——提出课题:
平面向量基本定理
O
N
B
MM
CM
三、新授:
1.(P105-106),是不共线向量,是平面内任一向量
==λ1==+=λ1+λ2
==λ2
得平面向量基本定理:
如果,是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数λ1,λ2使=λ1+λ2
注意几个问题:
1°、必须不共线,且它是这一平面内所有向量的一组基底
2°这个定理也叫共面向量定理
3°λ1,λ2是被,,唯一确定的数量
2.例一(P106例三)已知向量,求作向量-2.5+3。
O
N
A
BM
CM
作法:
1°取点O,作=-2.5=3
2°作OACB,即为所求+
例二、(P106例4)如图ABCD的两条对角线交于点M,且=,=,
用,表示,,和
D
M
A
BM
CM
a
b
解:
在ABCD中
∵=+=+
=-=-
∴=-=-(+)=--
==(-)=-==+
=-=-=-+
例三、已知ABCD的两条对角线AC与BD交于E,O是任意一点,
求证:
+++=4
A
B
C
D
O
E
证:
∵E是对角线AC和BD的交点
∴==-
==-
在△OAE中+=
同理:
+=+=+=
以上各式相加,得:
+++=4
例四、(P107例五)如图,,不共线,=t(tÎR)用,表示
解:
∵=t
P
B
A
O
∴=+=+t
=+t(-)
=+t-t
=(1-t)+t
四、小结:
平面向量基本定理,其实质在于:
同一平面内任一向量都可以表示为两个不共线向量的线性组合。
五、作业:
课本P107练习P108习题5.33-7
第七教时
教材:
5.3实数与向量的积综合练习《教学与测试》P141-14467、68课
目的:
通过练习使学生对实数与积,两个向量共线的充要条件,平面向量的基本定理有更深刻的理解,并能用来解决一些简单的几何问题。
过程:
一、复习:
1.实数与向量的积(强调:
“模”与“方向”两点)
2.三个运算定律(结合律,第一分配律,第二分配律)
3.向量共线的充要条件
4.平面向量的基本定理(定理的本身及其实质)
二、处理《教学与测试》
1.当λÎZ时,验证:
λ(+)=λ+λ
证:
当λ=0时,左边=0•(+)=右边=0•+0•=分配律成立
当λ为正整数时,令λ=n,则有:
n(+)=(+)+(+)+…+(+)
=++…+++++…+=n+n
即λ为正整数时,分配律成立
当为负整数时,令λ=-n(n为正整数),有
-n(+)=n[-(+)]=n[(-)+(-)]=n(-)+n(-)=-n+(-n)=-n-n
分配律仍成立
综上所述,当λ为整数时,λ(+)=λ+λ恒成立。
2.如图,在△ABC中,=,=AD为边BC的中线,G为△ABC的重心,求向量
解一:
∵=,=则==
D
A
BM
CM
a
b
∴=+=+而=
∴=+
解二:
过G作BC的平行线,交AB、AC于E、F
D
A
EM
CM
a
b
BM
FM
GM
∵△AEF∽△ABC
====
==
∴=+=+
3.在ABCD中,设对角线=,=试用,表示,
O
D
A
BM
CM
解一:
====
∴=+=-=-
=+=+=+
解二:
设=,=
则+=+=∴=(-)
-=-==(+)
即:
=(-)=(+)
4.设,是两个不共线向量,已知=2+k,=+3,=2-,若三点A,B,D共线,求k的值。
解:
=-=(2-)-(+3)=-4
∵A,B,D共线∴,共线∴存在λ使=λ
即2+k=λ(-4)∴∴k=-8
5.如图,已知梯形ABCD中,AB∥CD且AB=2CD,M,N分别是DC,AB中点,设=,=,试以,为基底表示,,
解:
==连ND则DC╩ND
O
D
A
MM
CM
BM
NM
∴==-=-
又:
==
∴=-=-=--
=(-+)-=-
6.1kg的重物在两根细绳的支持下,处于平衡状态(如图),已知两细绳与水平线分别成30°,60°角,问两细绳各受到多大的力?
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