湖南省益阳市中考数学试题及解析.docx
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湖南省益阳市中考数学试题及解析
20XX年湖南省益阳市中考数学试卷
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(5分)(2015•益阳)下列实数中,是无理数的为( )
A.
B.
C.
0
D.
﹣3
2.(5分)(2015•益阳)下列运算正确的是( )
A.
x2•x3=x6
B.
(x3)2=x5
C.
(xy2)3=x3y6
D.
x6÷x3=x2
3.(5分)(2015•益阳)某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示,关于“劳动时间”的这组数据,以下说法正确的是( )
劳动时间(小时)
3
3.5
4
4.5
人数
1
1
2
1
A.
中位数是4,平均数是3.75
B.
众数是4,平均数是3.75
C.
中位数是4,平均数是3.8
D.
众数是2,平均数是3.8
4.(5分)(2015•益阳)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是( )
A.
三棱锥
B.
三棱柱
C.
圆柱
D.
长方体
5.(5分)(2015•益阳)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,以下说法错误的是( )
A.
∠ABC=90°
B.
AC=BD
C.
OA=OB
D.
OA=AD
6.(5分)(2015•益阳)下列等式成立的是( )
A.
+
=
B.
=
C.
=
D.
=﹣
7.(5分)(2015•益阳)沅江市近年来大力发展芦笋产业,某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元.设这两年的销售额的年平均增长率为x,根据题意可列方程为( )
A.
20(1+2x)=80
B.
2×20(1+x)=80
C.
20(1+x2)=80
D.
20(1+x)2=80
8.(5分)(2015•益阳)若抛物线y=(x﹣m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为( )
A.
m>1
B.
m>0
C.
m>﹣1
D.
﹣1<m<0
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上)
9.(5分)(2015•益阳)计算:
= .
10.(5分)(2015•益阳)已知y是x的反比例函数,当x>0时,y随x的增大而减小.请写出一个满足以上条件的函数表达式 .
11.(5分)(2015•益阳)甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影,甲没有站在中间的概率为 .
12.(5分)(2015•益阳)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,⊙O的半径为1,则
的长为 .
13.(5分)(2015•益阳)如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案,第1个图案中有6根小棒,第2个图案中有11根小棒,…,则第n个图案中有 根小棒.
三、解答题(本大题共2小题,每小题8分,共16分)
14.(8分)(2015•益阳)化简:
(x+1)2﹣x(x+1).
15.(8分)(2015•益阳)如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=65°,求∠2的度数.
四、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
16.(10分)(2015•益阳)如图,直线l上有一点P1(2,1),将点P1先向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到像点P2,点P2恰好在直线l上.
(1)写出点P2的坐标;
(2)求直线l所表示的一次函数的表达式;
(3)若将点P2先向右平移3个单位,再向上平移6个单位得到像点P3.请判断点P3是否在直线l上,并说明理由.
17.(10分)(2015•益阳)20XX年益阳市的地区生产总值(第一、二、三产业的增加值之和)已进入千亿元俱乐部,如图表示20XX年益阳市第一、二、三产业增加值的部分情况,请根据图中提供的信息解答下列问题
(1)20XX年益阳市的地区生产总值为多少亿元?
(2)请将条形统计图中第二产业部分补充完整;
(3)求扇形统计图中第二产业对应的扇形的圆心角度数.
18.(10分)(2015•益阳)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠CAB=∠ACB,过点B作BE⊥AB交AC于点E.
(1)求证:
AC⊥BD;
(2)若AB=14,cos∠CAB=
,求线段OE的长.
五、解答题(本大题共2小题,每小题12分,共24分)
19.(12分)(2015•益阳)大学生小刘回乡创办小微企业,初期购得原材料若干吨,每天生产相同件数的某种产品,单件产品所耗费的原材料相同.当生产6天后剩余原材料36吨,当生产10天后剩余原材料30吨.若剩余原材料数量小于或等于3吨,则需补充原材料以保证正常生产.
(1)求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数;
(2)若生产16天后,根据市场需求每天产量提高20%,则最多再生产多少天后必须补充原材料?
20.(12分)(2015•益阳)已知点P是线段AB上与点A不重合的一点,且AP<PB.AP绕点A逆时针旋转角α(0°<α≤90°)得到AP1,BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2,连接PP1、PP2.
(1)如图1,当α=90°时,求∠P1PP2的度数;
(2)如图2,当点P2在AP1的延长线上时,求证:
△P2P1P∽△P2PA;
(3)如图3,过BP的中点E作l1⊥BP,过BP2的中点F作l2⊥BP2,l1与l2交于点Q,连接PQ,求证:
P1P⊥PQ.
六、解答题(本题满分15分)
21.(15分)(2015•益阳)已知抛物线E1:
y=x2经过点A(1,m),以原点为顶点的抛物线E2经过点B(2,2),点A、B关于y轴的对称点分别为点A′,B′.
(1)求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式;
(2)如图1,在第一象限内,抛物线E1上是否存在点Q,使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形?
若存在,求出点Q的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)如图2,P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点,连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′,求△PAA′与△P′BB′的面积之比.
20XX年湖南省益阳市中考数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题(本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.(5分)(2015•益阳)下列实数中,是无理数的为( )
A.
B.
C.
0
D.
﹣3
考点:
无理数.菁优网版权所有
分析:
无理数就是无限不循环小数.理解无理数的概念,一定要同时理解有理数的概念,有理数是整数与分数的统称.即有限小数和无限循环小数是有理数,而无限不循环小数是无理数.由此即可判定选择项.
解答:
解:
A、是无理数,选项正确;
B、是分数,是有理数,选项错误;
C、是整数,是有理数,选项错误;
D、是整数,是有理数,选项错误.
故选A.
点评:
此题主要考查了无理数的定义,其中初中范围内学习的无理数有:
π,2π等;开方开不尽的数;以及像0.1010010001…,等有这样规律的数.
2.(5分)(2015•益阳)下列运算正确的是( )
A.
x2•x3=x6
B.
(x3)2=x5
C.
(xy2)3=x3y6
D.
x6÷x3=x2
考点:
同底数幂的除法;同底数幂的乘法;幂的乘方与积的乘方.菁优网版权所有
分析:
根据同底数幂的乘法,可判断A;根据幂的乘方,可判断B;根据积的乘方,可判断C;根据同底数幂的除法,可判断D.
解答:
解:
A、同底数幂的乘法底数不变指数相加,故A错误;
B、幂的乘方底数不变指数相乘,故B错误;
C、积的乘方等于乘方的积,故C正确;
D、通敌数幂的除法底数不变指数相减,故D错误;
故选:
C.
点评:
本题考查了同底数幂的除法,熟记法则并根据法则计算是解题关键.
3.(5分)(2015•益阳)某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示,关于“劳动时间”的这组数据,以下说法正确的是( )
劳动时间(小时)
3
3.5
4
4.5
人数
1
1
2
1
A.
中位数是4,平均数是3.75
B.
众数是4,平均数是3.75
C.
中位数是4,平均数是3.8
D.
众数是2,平均数是3.8
考点:
中位数;加权平均数;众数.菁优网版权所有
分析:
根据众数和中位数的概念求解.
解答:
解:
这组数据中4出现的次数最多,众数为4,
∵共有5个人,
∴第3个人的劳动时间为中位数,
故中位数为:
4,
平均数为:
=3.8.
故选C.
点评:
本题考查了中位数、平均数、众数的知识,解答本题的关键是掌握各知识点的概念.
4.(5分)(2015•益阳)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体是( )
A.
三棱锥
B.
三棱柱
C.
圆柱
D.
长方体
考点:
由三视图判断几何体.菁优网版权所有
分析:
根据三视图的知识,正视图为两个矩形,左视图为一个矩形,俯视图为一个三角形,故这个几何体为直三棱柱
解答:
解:
根据图中三视图的形状,符合条件的只有直三棱柱,因此这个几何体的名称是直三棱柱.
故选:
B.
点评:
本题考查由三视图确定几何体的形状,主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认识.
5.(5分)(2015•益阳)如图,在矩形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,以下说法错误的是( )
A.
∠ABC=90°
B.
AC=BD
C.
OA=OB
D.
OA=AD
考点:
矩形的性质.菁优网版权所有
分析:
矩形的性质:
四个角都是直角,对角线互相平分且相等;由矩形的性质容易得出结论.
解答:
解:
∵四边形ABCD是矩形,
∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°,AC=BD,OA=
AC,OB=
BD,
∴OA=OB,
∴A、B、C正确,D错误,
故选:
D.
点评:
本题考查了矩形的性质;熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键.
6.(5分)(2015•益阳)下列等式成立的是( )
A.
+
=
B.
=
C.
=
D.
=﹣
考点:
分式的混合运算.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
原式各项计算得到结果,即可做出判断.
解答:
解:
A、原式=
,错误;
B、原式不能约分,错误;
C、原式=
=
,正确;
D、原式=
=﹣
,错误,
故选C
点评:
此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
7.(5分)(2015•益阳)沅江市近年来大力发展芦笋产业,某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元.设这两年的销售额的年平均增长率为x,根据题意可列方程为( )
A.
20(1+2x)=80
B.
2×20(1+x)=80
C.
20(1+x2)=80
D.
20(1+x)2=80
考点:
由实际问题抽象出一元二次方程.菁优网版权所有
专题:
增长率问题.
分析:
根据第一年的销售额×(1+平均年增长率)2=第三年的销售额,列出方程即可.
解答:
解:
设增长率为x,根据题意得20(1+x)2=80,
故选D.
点评:
本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法.若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为a(1±x)2=b.(当增长时中间的“±”号选“+”,当下降时中间的“±”号选“﹣”).
8.(5分)(2015•益阳)若抛物线y=(x﹣m)2+(m+1)的顶点在第一象限,则m的取值范围为( )
A.
m>1
B.
m>0
C.
m>﹣1
D.
﹣1<m<0
考点:
二次函数的性质.菁优网版权所有
分析:
利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标,根据顶点在第一象限,所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组.
解答:
解:
由y=(x﹣m)2+(m+1)=x2﹣2mx+(m2+m+1),
根据题意,
,
解不等式
(1),得m>0,
解不等式
(2),得m>﹣1;
所以不等式组的解集为m>0.
故选B.
点评:
本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围,同时考查了不等式组的解法,难度较大.
二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填在答题卡中对应题号后的横线上)
9.(5分)(2015•益阳)计算:
= 4 .
考点:
二次根式的乘除法.菁优网版权所有
专题:
计算题.
分析:
原式利用二次根式的乘法法则计算,将结果化为最简二次根式即可.
解答:
解:
原式=
=
=4.
故答案为:
4
点评:
此题考查了二次根式的乘除法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
10.(5分)(2015•益阳)已知y是x的反比例函数,当x>0时,y随x的增大而减小.请写出一个满足以上条件的函数表达式 y=
(x>0),答案不唯一 .
考点:
反比例函数的性质.菁优网版权所有
专题:
开放型.
分析:
反比例函数的图象在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大,则反比例函数的反比例系数k<0;反之,只要k<0,则反比例函数在每个象限内,函数值y随自变量x的增大而增大.
解答:
解:
只要使反比例系数大于0即可.如y=
(x>0),答案不唯一.
故答案为:
y=
(x>0),答案不唯一.
点评:
本题主要考查了反比例函数y=
(k≠0)的性质:
①k>0时,函数图象在第一,三象限.在每个象限内y随x的增大而减小;
②k<0时,函数图象在第二,四象限.在每个象限内y随x的增大而增大.
11.(5分)(2015•益阳)甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影,甲没有站在中间的概率为
.
考点:
列表法与树状图法.菁优网版权所有
分析:
列举出所有情况,看甲没排在中间的情况占所有情况的多少即为所求的概率.
解答:
解:
甲、乙、丙三个同学排成一排拍照有以下可能:
甲乙丙,甲丙乙,乙甲丙,乙丙甲,丙甲乙,丙乙甲,全部6种情况,
有4种甲没在中间,
所以甲没排在中间的概率是
=
.
故答案为
.
点评:
本题考查用列举法求概率,用到的知识点为:
概率等于所求情况数与总情况数之比.
12.(5分)(2015•益阳)如图,正六边形ABCDEF内接于⊙O,⊙O的半径为1,则
的长为
.
考点:
弧长的计算;正多边形和圆.菁优网版权所有
分析:
求出圆心角∠AOB的度数,再利用弧长公式解答即可.
解答:
解:
∵ABCDEF为正六边形,
∴∠AOB=360°×
=60°,
的长为
=
.
故答案为:
.
点评:
此题将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合,构思巧妙,利用了正六边形的性质.
13.(5分)(2015•益阳)如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案,第1个图案中有6根小棒,第2个图案中有11根小棒,…,则第n个图案中有 5n+1 根小棒.
考点:
规律型:
图形的变化类.菁优网版权所有
分析:
由图可知:
第1个图案中有5+1=6根小棒,第2个图案中有2×5+2﹣1=11根小棒,第3个图案中有3×5+3﹣2=16根小棒,…由此得出第n个图案中有5n+n﹣(n﹣1)=5n+1根小棒.
解答:
解:
∵第1个图案中有5+1=6根小棒,
第2个图案中有2×5+2﹣1=11根小棒,
第3个图案中有3×5+3﹣2=16根小棒,
…
∴第n个图案中有5n+n﹣(n﹣1)=5n+1根小棒.
故答案为:
5n+1.
点评:
此题考查图形的变化规律,找出图形之间的联系,得出数字之间的运算规律,利用规律解决问题.
三、解答题(本大题共2小题,每小题8分,共16分)
14.(8分)(2015•益阳)化简:
(x+1)2﹣x(x+1).
考点:
整式的混合运算.菁优网版权所有
分析:
利用完全平方公式和整式的乘法计算,进一步合并得出答案即可.
解答:
解:
原式=x2+2x+1﹣x2﹣x
=x+1.
点评:
此题考查整式的混合运算,掌握计算方法与计算公式是解决问题的关键.
15.(8分)(2015•益阳)如图,直线AB∥CD,BC平分∠ABD,∠1=65°,求∠2的度数.
考点:
平行线的性质.菁优网版权所有
分析:
由平行线的性质得到∠ABC=∠1=65°,∠ABD+∠BDC=180°,由BC平分∠ABD,得到∠ABD=2∠ABC=130°,于是得到结论.
解答:
解:
∵AB∥CD,
∴∠ABC=∠1=65°,∠ABD+∠BDC=180°,
∵BC平分∠ABD,
∴∠ABD=2∠ABC=130°,
∴∠BDC=180°﹣∠ABD=50°,
∴∠2=∠BDC=50°.
点评:
本题考查了平行线的性质和角平分线定义等知识点,解此题的关键是求出∠ABD的度数,题目较好,难度不大.
四、解答题(本大题共3小题,每小题10分,共30分)
16.(10分)(2015•益阳)如图,直线l上有一点P1(2,1),将点P1先向右平移1个单位,再向上平移2个单位得到像点P2,点P2恰好在直线l上.
(1)写出点P2的坐标;
(2)求直线l所表示的一次函数的表达式;
(3)若将点P2先向右平移3个单位,再向上平移6个单位得到像点P3.请判断点P3是否在直线l上,并说明理由.
考点:
一次函数图象与几何变换;一次函数图象上点的坐标特征;待定系数法求一次函数解析式.菁优网版权所有
分析:
(1)根据“左加右减、上加下减”的规律来求点P2的坐标;
(2)设直线l所表示的一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0),把点P1(2,1),P2(3,3)代入直线方程,利用方程组来求系数的值;
(3)把点(6,9)代入
(2)中的函数解析式进行验证即可.
解答:
解:
(1)P2(3,3).
(2)设直线l所表示的一次函数的表达式为y=kx+b(k≠0),
∵点P1(2,1),P2(3,3)在直线l上,
∴
,
解得
.
∴直线l所表示的一次函数的表达式为y=2x﹣3.
(3)点P3在直线l上.由题意知点P3的坐标为(6,9),
∵2×6﹣3=9,
∴点P3在直线l上.
点评:
本题考查了待定系数法求一次函数解析式,一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象的几何变换.在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律是:
横坐标右移加,左移减;纵坐标上移加,下移减.
17.(10分)(2015•益阳)20XX年益阳市的地区生产总值(第一、二、三产业的增加值之和)已进入千亿元俱乐部,如图表示20XX年益阳市第一、二、三产业增加值的部分情况,请根据图中提供的信息解答下列问题
(1)20XX年益阳市的地区生产总值为多少亿元?
(2)请将条形统计图中第二产业部分补充完整;
(3)求扇形统计图中第二产业对应的扇形的圆心角度数.
考点:
条形统计图;扇形统计图.菁优网版权所有
分析:
(1)用第一产业增加值除以它所占的百分比,即可解答;
(2)算出第二产业的增加值即可补全条形图;
(3)算出第二产业的百分比再乘以360°,即可解答.
解答:
解:
(1)237.5÷19%=1250(亿元);
(2)第二产业的增加值为1250﹣237.5﹣462.5=550(亿元),画图如下:
(3)扇形统计图中第二产业部分的圆心角为
.
点评:
本题主要考查了条形统计图和扇形统计图,解题的关键是读懂统计图,从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.
18.(10分)(2015•益阳)如图,在▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,∠CAB=∠ACB,过点B作BE⊥AB交AC于点E.
(1)求证:
AC⊥BD;
(2)若AB=14,cos∠CAB=
,求线段OE的长.
考点:
菱形的判定与性质;平行四边形的性质;解直角三角形.菁优网版权所有
分析:
(1)根据∠CAB=∠ACB利用等角对等边得到AB=CB,从而判定平行四边形ABCD是菱形,根据菱形的对角线互相垂直即可证得结论;
(2)分别在Rt△AOB中和在Rt△ABE中求得AO和AE,从而利用OE=AE﹣AO求解即可.
解答:
解:
(1)∵∠CAB=∠ACB,
∴AB=CB,
∴▱ABCD是菱形.
∴AC⊥BD;
(2)在Rt△AOB中,cos∠CAB=
=
,AB=14,
∴AO=14×
=
,
在Rt△ABE中,cos∠EAB=
=
,AB=14,
∴AE=
AB=16,
∴OE=AE﹣AO=16﹣
=
.
点评:
本题考查了解直角三角形及菱形的判定与性质、平行四边变形的判定与性质的知识,解题的关键是读懂题意,选择合适的边角关系,难度不大.
五、解答题(本大题共2小题,每小题12分,共24分)
19.(12分)(2015•益阳)大学生小刘回乡创办小微企业,初期购得原材料若干吨,每天生产相同件数的某种产品,单件产品所耗费的原材料相同.当生产6天后剩余原材料36吨,当生产10天后剩余原材料30吨.若剩余原材料数量小于或等于3吨,则需补充原材料以保证正常生产.
(1)求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数;
(2)若生产16天后,根据市场需求每天产量提高20%,则最多再生产多少天后必须补充原材料?
考点:
一元一次不等式的应用;二元一次方程组的应用.菁优网版权所有
分析:
(1)设初期购得原材料a吨,每天所耗费的原材料为b吨,根据“当生产6天后剩余原材料36吨,当生产10天后剩余原材料30吨.”列出方程组解决问题;
(2)最多再生产x天后必须补充原材料,根据若剩余原材料数量小于或等于3吨列出不等式解决问题.
解答:
解:
(1)设初期购得原材料a吨,每天所耗费的原材料为b吨,
根据题意得:
.
解得
.
答:
初期购得原材料45吨,每天所耗费的原材料为1.5吨.
(2)设再生产x天后必须补充原材料,
依题意得:
4
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