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浅析教育技术与数学模型方法
浅析教育技术与数学模型方法
近几十年来,随着科学技术的迅猛发展,人类的知识总量在不断增长、知识更新的速度也日益加快,不断涌现的新技术、新学科都与数学密切相关。
特别是由于计算机技术的发展,使数学的应用范围更广泛,几乎没有哪个行业不用到数学,特别是一些重大的突破性创造常常要借助于数学。
数学与其它科学与技术的关系更加密切,不仅物理、化学、生物、天文、地理、工程技术靠数学支撑,而且许多人文科学、社会科学也大量运用数学,这恰好印证了马克思的判断:
一门科学只有成功地运用数学时,才算达到了完善的地步。
在科学技术的发展中,数学最早成为一门横断学科,数学方法得到普遍的应用,其中数学模型方法更加受到人们的重视。
它不仅是数学理论研究的一种经典方法,而且也是研究自然界和社会实际问题的一般方法。
可以预言,随着科学数学化地发展和电子计算机广泛应用,数学模型方法将会进入科学技术研究的一切领域。
对于教育技术学科建设和发展而言,数学模型方法正发挥着越来越重要的作用,从教育技术学科的理论基础到其实践领域,从其自身的学科性质到由其所拓展的研究方向,无不体现数学模型方法的重要意义。
一、数学模型方法及其优越性科学数学化就是把实践中提出的问题,利用数学理论和计算方法,给出正确的数学描述。
运用数学方法解决自然科学、工程技术、经济科学、军事科学和管理科学中的实际问题,多数人认为其工作程序是:
实际问题一数学化—数学模型—检验—应用。
可见数学模型是用数学方法解决实际问题的重要环节,从实际问题中提炼、建立数学模型就要用到数学模型方法。
数学模型方法(mathematicalmodellingmethod)简称MM方法。
它是根据研究的目的将研究的某种事物系统,采用数学形式化语言把该系统的特征和数量关系,抽象出一种数学结构的方法,这种数学结构就叫数学模型。
也就是把所考察的实际问题,化为数学问题,构造相应的数学模型,通过对数学模型的研究,使实际问题得以解决的一种数学方法。
其一般模式见图一。
所谓数学模型,就是根据研究的目的,将所研究的客观事物的过程和现象的主要特征、主要关系,采用形式化的数学语言概括地或近似地表达出来。
具体来说,数学模型就是为了某种目的,用字母、数字及其它数学符号建立起来的等式或不等式以及图表、框图、程序等,用以描述客观事物的特征及其关系。
通常意义下,数学模型常常是指那些直接描述现实原型的数学关系结构。
例如,反映某个物体外形的几何图形;反映某个交通运输问题的线路;反映某种变化的数学图表或函数式等。
广义地说,数学中的各种基本概念,如各种数、向量、集合、群、环、域、线性空间、函数空间等,它们都是以各自相应的现实原型为背景而加以抽象出来的最基本概念,都可以叫做数学模型。
一个实际系统的数学模型,就是对其中某些特征的变化规律作出最精炼的概括。
数学建模则是指对现实世界的某一特定对象,为了某一特定目的,做出一些重要的简化和假设,运用适当的数学工具得到一个数学结构即数学模型,用它来解释特定现象的现实性态,预测对象的未来状况,提供处理对象的优化决策和控制,设计满足某种需要的产品等。
数学建模是解决各种实际问题的一种数学的思考方法,它从量和型的侧面去考察实际问题,尽可能通过抽象、简化,确定出主要的参量、参数,应用与各学科有关的定律、原理建立起它们之间的某种关系,这样一个明确的数学问题就是某种简化层次上的一个数学模型。
数学所描述的是事物之间最本质的联系。
人们在研究中总是设法建立起有关系统的数学模型,由此来认识并分析系统内各主要因素的运动规律及其之间的主要联系,从而找到解决问题的关键。
采用模型化的方法来分析和解决问题具有显著的优越性:
(1)它能够突出事物和过程的主要特征,使问题得到最简单的表述,便于发现问题的本质。
(2)它是一种理论性的实验方法,可以通过修改模型参数来改变实验条件,不仅操作方便而且相当经济。
对于危险复杂以及人工无法实现条件下的工作来讲,它更具有不可替代的作用。
(3)它具有高度的抽象性与普适性。
一个成功的模型不仅仅适用于单一的专业领域,采用类比的方式可以将其有效地应用到其它学科领域。
(4)它是一种科学的思维方式,为科技工作者的形象思维提供了理想的“场所”,使人们对事物的分析和推理更有条理,更具有逻辑性。
二、教育技术与数学模型方法的本质联系
(一)教育技术学科性质与数学模型方法教育技术学是教育科学领域中技术学层次的方法论性质的学科。
首先,所谓教育的技术学层次的研究在于讨论如何分析、解决具体的教育、教学问题,研究“做什么”、“如何做”的问题,即主要是研究和开发达到一定教育目标的各种方法、手段,并努力去实践这些方法和手段。
而数学模型方法则是阐述客观现象和解决实际问题的重要工具,例如著名的哥尼斯堡七桥问题,就是瑞士数学家欧拉通过建立数学模型才得以解决的。
再如,在教育信息处理中,应用解释结构模型法(InterpretativeStructuralModelingMethod,简称ISM法)来确定系统要素的关系,从而优化系统结构。
其次,教育技术学的方法论性质则体现在教育技术学的核心是“系统方法”,正如美国AECT的定义中指出:
“它是按照具体的目标,根据对人类学习和传播的研究,以及利用人力与物力资源的结合以促进更有效的教学的一种设计、实施和评价学与教的全过程的系统方法。
”教育技术强调应用系统方法来分析和解决人类学习过程的问题,其宗旨是促进学习,提高学习质量和效率,即创设最优化的学习条件。
教育技术的实质是一种分析和解决问题的系统方法。
所谓系统方法,是把研究对象看成一个整体,看到系统与要素、要素与要素、系统与环境之间的相互联系和相互作用,并从整体的角度注意协调处理各要素之间的相互关系,以达到最优化效益的一种方法。
而系统方法与数学模型方法又存在着怎样的关系呢?
贝塔朗菲指出,一般系统论是逻辑和数学的领域,它可以成为非物理科学向精密科学前进的重要手段;它可以通过发展横贯于各门科学的系统原理使科学走向统一。
它的这些作用是基于不同科学之间存在相同或相似的系统定律——异质同型性这一事实的。
而数学和计算机技术的发展往往为这些作用的实现提供模型和工具。
以电子计算机为主要手段,现代数学的许多分支,如泛函分析、突变论、模糊数学、数理统计、运筹学(规划论、排队论、对策论、决策论)等对系统理论的发展和应用提供了新的模型和工具,系统分析方法的关键恰恰在于建立成功的数学模型。
例如,运筹学用数学来表达和研究有关运用、筹划和管理等问题,以达到“综合优化”的目标。
又如,“突变论”弥补了微积分只能描述“平滑”变化的缺陷,分别给出系统处于稳态和不稳态的参数区域,从而建立描述突变现象(如火山爆发、细胞分裂、粒子能级跃迁乃至社会变迁)的数学模型等等。
由此可见,从学科性质上看,教育技术学与数学模型方法关系密切。
(二)教育技术学科理论基础与数学模型方法1、教育技术学科理论基础与数学模型方法的关系教育技术学的理论基础有两个方面:
其一是过程理论,即传播理论和系统科学理论;其二是教育心理学的学习理论,即行为主义学习理论、认知主义学习理论和建构主义学习理论等。
其中的系统科学作为一门新兴科学技术,特别是一般科学方法论的系统论对教育技术的发展有着深刻的影响,对于教育技术学的形成提供了重要的理论依据。
系统观、系统论和系统方法的引入,促使教学系统开发的系统方法更加完善,从而在理论上形成教育技术学鉴定和解决教育、教学问题的基本和方法论。
所以从这个意义上来说,系统技术是教育技术发展的新阶段,它把教育技术从对教育系统中的个别要素(教育媒体)的研究扩大到整个系统进行设计、实施、评价的研究,把教育技术发展成为研究实现教育最优化理论和技术的一门独立的学科——教育技术学。
系统科学的思想、观点和方法对教育技术学科的形成和发展有着广泛而深远的影响,是教育技术学最重要的理论基础之一。
教学系统设计又是教育技术学基本原理的核心部分。
教学系统设计在形式上贯彻了系统科学的整体思想:
从总体上研究事物,分析其要素、结构和功能;系统整体功能不等于各独立部分之和,而是1+12。
教学系统设计将教学系统看作自己的研究对象,分析教学过程的各个要素,注意各要素之间的联系,从总体上考虑,力求在可能的条件下,取得相对最佳的教学效果。
其核心思想是:
应用系统方法研究、探索教学系统中各个要素之间的本质联系。
并通过一套具体的操作程序来协调、配置这些要素,使它们有机地结合,共同完成教学系统的功能。
而数学模型方法又是系统方法的重要工具,如前所述系统分析方法的关键恰恰又在于建立成功的数学模型,例如:
对教育系统进行最优化设计,就需要抽象系统要素变量,构建求解最优化的数学模型。
最优化设计要围绕教育目标的最优化进行。
为了实现教育目标的最优化,必须对教育系统进行最优化控制。
最优化是一个动态的、发展的概念,它是随着教育系统发展变化的需要而发展变化的。
如,对学校教育的最优化可以用控制的结果与控制目标的符合程度来度量。
设目标为Pi,结果为Qi。
其比值越接近1越优,即:
(Pi/Qi)—1时,控制最优。
教育最优化的控制项目有时间(T):
以学期或学年计算;教学量(U):
按教材印刷的符号量计算;负担量(C):
平均一天教师工作时间和学生的学习时间;成本(S):
教学时间内的经费支出(按教育合理开支计算);成绩(W):
以受教育者对教学内容输出的正确率计算。
由此得出表达式:
E=f(W,S,C,U,T)。
E为教育优化程度,它代表教育的成就,由单位时间内的教学量、负担量、教育成本和教育成绩(包括德、智、体、美、劳诸方面)构成。
这样教育成就最优化就是:
控制项目时间量教学量负担量教育成本成绩行为特征最少最少最轻最低最高这样系统方法是教育技术学最重要的理论基础之一,并且渗透到教育技术中的各个分支,而数学模型方法又是系统方法的重要工具。
因此,数学模型方法必然与教育技术学科理论基础密不可分。
2、数学模型方法对于教育技术学科基础理论的发展、研究的重要作用数学化是当代科学发展的一个重要趋势,而数学化的重要工作就是寻求数学模型。
一门科学一旦找到了反映它的数学模型,就可以达到这门科学进行系统严密研究的阶段。
教育技术学的基础理论的发展研究同样离不开数学模型方法的支持。
传播理论是教育技术学科的重要理论基础,数学模型方法的应用在传播理论的发展研究中不乏其例,而且占有重要地位。
例如:
人们曾提出了各种各样的传播理论和模式,最主要的两种模式是工程学模式(EngineeringModels)和心理学模式(PsychologicalModels)。
其中工程学模式以香农-韦弗模式为代表。
本世纪四十年代,数学家香农出于对电报通信问题的兴趣,提出了一个关于通信过程的数学模型。
此模型最初是单向直线式的,不久,他与韦弗合作改进了模型,添加了反馈系统。
此模型后来被称为香农-韦弗模式,在技术中应用获得了巨大成功。
再如:
信息熵模型的建立,最大熵原理的应用等在信息论、传播理论中也都占有着重要的地位。
学习理论和教学理论也是教育技术学科的重要理论基础。
其中斯金纳的程序教学理论中的学习流程设计、加涅的信息加工系统模型都在其理论发展中占有重要地位。
还有教学系统设计理论的发展更是得益于各种设计模型、模式建立,如肯普模式等。
可见,数学模型方法对于教育技术学科的基础理论的发展、研究发挥着重要作用,甚至是不可替代的作用。
(三)教育技术学科研究方法与数学模型方法教育技术的研究方法能够为描述教育技术现象、揭示教育技术规律提供获取信息、加工整理信息的方法和步骤,从而做出科学的解释、预测和控制,建立理论、推进应用实践。
数学模型方法在其中同样发挥关键作用。
首先,系统科学与视听教学、个别化(程序)教学相结合,产生了教育技术研究领域。
系统科学方法已成为教育技术领域进行研究工作的基本方法。
系统方法在教育的技术学层次的应用,对于具体研究和解决教育、教学问题带来了新的思路。
对于复杂的教育、教学问题的解决,人们可以通过像工程中使用的系统方法一样,广泛采用需求分析、方案设计、实施、反馈、优化等环节来设计并完善教学系统,还可以通过定义系统和子系统的方法来定义问题和解决问题的空间。
数学模型方法与系统方法的密切关系如上所述,不再累述。
其次,数学模型方法不仅是教育技术学的一般研究方法中重要的定量研究方法,而且在能强化教育技术学科独立性的专门研究方法中发挥着重要作用。
解释结构模型法、课堂信息分析法(S—P表分析法)、教学过程分析法以及基于量规的评价研究法等这些研究方法的成熟和广泛运用使教育技术学研究方法具有相对的学科独立性,而这些研究方法的关键又是成功的数学模型的建立。
例如:
S-P表分析通过相应的数学模型的建立,基于计算机处理程序能够快捷直观的反映出有关学生学习的一些关键变量。
再如,在评价研究的计量化中,具备了良好的加权数学模型,也就具有了一个良好的计量体系。
由此可见,数学建模已成为教育技术研究方法不可或缺的重要工具。
(四)教育技术学科实践领域与数学模型方法教育技术实践领域是教育实践的一个特定的组成部分,它是应用教育技术学的理论、手段和方法来分析、解决教与学实际问题的领域。
它是按照系统方法的操作程序来解决教学问题的,即按照鉴定需求、寻找问题解决方案的技术流程,来设计、开发、利用、管理和评价有关的教学过程和教学资源,而数学模型方法则是阐述客观现象和解决实际问题的重要工具。
系统方法可有效的应用于教育问题的不同层次上。
在微观层次即教学过程层次上,已形成一个重要的组成部分,即教学设计,它系统的阐明了教学过程和设计、实施和评价的理论与技术;在亚宏观层次上,形成了有关“课程开发”方面的理论与技术。
教育系统设计的理论与技术除了在上述的两个领域中得到应用外,它更广泛的应用在职业教育的课程开发、军事训练、工业、商业等方面的教育课程的开发和教学开发上,从而形成了一个教学系统设计的实践领域。
当然这其中更离不开数学模型方法这一强有力的工具。
不论是绩效技术、知识管理,还是网络课程开发,都可以根据实际情况建立相关数学模型,实现优化设计、开发。
下面来看一例有关计算机辅助教育领域中数学模型方法的应用。
计算机进入测验领域后,诞生了计算机自适应测验(简称CAT——ComputerizedAdaptiveTesting),CAT是建构在现代测验理论——项目反应理论(IRT:
ItemResponseTheory)基础上的,从题库的建设、参数的估计、试题的选择再到最后的评分,都是以IRT为指导进行的。
IRT模型是一种数学模型,IRT的模型不下20余种,可根据实际情况选择适当的模型。
项目反映理论建立了考生反应与试题参数和能力水平之间的非线性模型,具有参数不变性,估计出来的能力值不依赖于测试题目样本的特性,同时可以根据题目的量,选择与受测者能力相匹配的题目,直到达到预定的测试精度要求。
计算机自适应测验CAT是指在以IRT理论为基础建立的题库之上,不断地根据题目的各方面和受测者的答题情况估计受测者的能力,然后从题库中选取符合受测者能力的题目进行测试,直到达到预定的测试精度要求,即可结束考试。
可见,数学模型方法不仅在技术实践领域有广泛的应用、而且发挥出其得天独厚的优势,甚至是不可替代的重要作用。
(五)技术学科发展与数学模型方法自教育技术成为一门独立学科以来,其理论与实践相辅相成,相互促进的向前发展。
从教育技术学科发展演变的过程中,我们不难看出,技术是最活跃的因素,是学科发展的主要动因之一,而理论和方法则具有相对稳定性,尤其系统方法更表现出其强大的生命力。
无论是应用传统媒体,还是络的个性化学习,无不需要学习理论的指导,无不应用系统方法进行最优化设计等。
而数学模型方法——这一系统方法的利器,更是能以不变应万变来解决教育技术领域的各种具体问题。
可见,数学模型方法、系统方法从学科发展的角度来看不仅是相对稳定的因素,而且能体现学科发展的生命力。
同时,数学化是当代科学发展的一个重要趋势,一个学科如果充分利用了数学,它就会从数学那里获得活力,它的理论框架很容易改进,以便适应新的历史阶段。
而数学化的重要工作就是寻求数学模型,一门科学一旦找到了反映它的数学模型,就可以达到这门科学进行系统严密研究的阶段。
随着教育技术学这门新兴学科的不断发展,同样离不开数学模型方法的支持。
因此,在教育技术学科发展的过程中数学模型方法是值得也是必须予以强化和重视的。
另一方面,基于数学模型方法对教育技术的重要作用,可将具备数学建模能力作为专业培养的一项目标或从业人员的能力要求。
依据数学模型方法教育的体系层次的要求,可以设置本科、研究生等不同层次的培养方案,体现其系统性、连续性、层次性。
此外,数学建模教育具有非常强的实践性要求,必须通过亲身实践才能掌握其中的要领,因此必须结合教育技术系实践应用领域的一些经典的建模范例进行教学,从而熟悉常用的建模方法,并安排一定的实践性内容,如数学模型实验、社会实践活动等,让学生亲自去建立模型,体会利用数学模型方法解决一些教育技术实际问题的要义。
由于提出了数学建模能力的要求,从某种程度上,不仅进一步强化了学科发展的专业性和独立性,而且对教育技术从业人员有了更高的要求,进而推进学科发展。
此外,数学建模是一种创造性过程,它需要相当高的观察力、想象力以及一些灵感和顿悟。
在教学中加强数学建模的教育可使学生将学过的科学知识同周围的现实世界联系起来,甚至和真正的实际应用问题结合起来。
这样,学生不仅知道知识有用、怎么用,而且可以看到知识的魅力和价值,更重要的是可以体会到在真正的实际应用中还需继续学习,树立正确的学习态度。
著名科学家爱因斯坦说过:
想象力比知识更重要,因为知识是有限的,而想象力概括着世界上的一切,推动着进步,而且是知识的源泉。
在建模过程中往往要求学生充分发挥联想,把表面上完全不同的实际问题用相同或相类似的数学模型去描述。
通过数学建模,可以培养学生广泛的兴趣、勤于思考、勤于练习的习惯,而逐步达到能触类旁通的境界。
因此,通过数学建模教育能够全面培养学生素质,从而使教育技术专业人才的素质进一步提高,使他们在各自未来的工作中能够发挥更重要的作用,甚至具有不可替代性。
由于现实世界的复杂性,许多事物用数学模型来量化表示相当困难,而更多的情况则是计算量很大,以至于模型的求解很难实现。
这是过去数学模型方法被局限在较小范围内的主要原因。
近半个世纪以来,随着数学观念的不断更新,运筹学、模糊数学等分支的出现,使得用数学方法处理各种复杂变量的能力大大提高,特别是计算机技术的飞速发展促进了人们运算能力的迅速提高,许多原来无法实现的模型化方法如今已变得切实可行。
原先以定性研究为主的生物、管理、军事、心理、教育等诸学科业已大量地运用了数学模型的研究方法。
在工程学领域内,以前认为实验方法是至高无上的,但现在已把数学模型方法视为与其同等重要,甚至更为有效。
可以预见今后数学模型方法的运用还会得到更大的发展,这也必将对教育领域及教育技术学科发展产生深远的影响。
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