ez)
单调增区间_伽一申,加+号)伙WZ)
奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
3.—般地对于函数/(X),如果存在一个非零的常数使得当x取定义域内的每一个值时,都有/(x+T)=/«,那么函数./(x)就叫做周期函数,非零常数T叫做这个函数的周期,把所有周期中存在的最小正数,叫做最小正周期(函数的周期一般指最小正周期)
函数y=/4sin((^x+0)和y=Acos((^x+0)的最小正周期为
co
y=ta.n(c^x+Q)的最小正周期为■>r.
a>
佥求三危函数值城(最值)的方法i……
(!
)利出…工的-有界性二一
关于正、余弦函数的有界性
由于正余弦函数的值域都是[-1,1],因此对于0jvWR,恒有一lWsinjvWI,—lWcos无冬1,所以1叫做尸sinXy尸cos/的上确界,一1叫做尸sinx.尸cos*的下确界.
(2)形一式复杂的凶数应化为丄三座也(幺」土一0)一土&的形式逐步分析上兰土一空的范围一,…很据止弦函数里週性写出函数的值盛…含参数的最值问题,要讨论参数对最值的影响•
(3)按元法匚把S卫/或怎匚壬看作二个整体n回化为求函数在区间上的值域(最值1回題-
利用换元法求三角函数最值时注意三角函数有界性,如:
y=sin2x-4sin%+5,令Qsin班|方|W1),则尸(L2)'QiMl,解法错误.
-2x
5.求三角函数的单调区间时,应先把函数式化成形如尸〃sin(G*+O)(3>0)的形式,再根据基本三角函数的单调区间,求出/所在的区间.应特别注意,应在函数的定义域内考虑.注意区分下列两题的单调增区间不同;利用换元法求复合函数的单调区间(要注意;r系数的正负号)
(1)尸sin(2/—f|;
(2)y=sin^y
二、例题讲解
题型1:
三角函数的图象
例1.(2000全国,5)函数y=—xcosx的部分图象是()
解析:
因为函数是奇函数,它的图象关于原点对称,所以排除〃、C,当^(0,f)时,
y=—xqosxVO。
答案为D。
解析:
由奇偶性定义可知函数尸科sin|x|,xW[―刀,幻为非奇非偶函数。
选项久D为奇函数,B
为偶函数,c为非奇非偶函数。
点评:
利用函数的性质來描绘函数的图象,这样既有利于掌握函数的图象与性质,又能熟练地运用数形结合的思想方法。
题型2:
三角函数图象的变换和五点作图
例2-1・试述如何由y=-sin(2对生)的图彖得到尸sinx的图彖。
'33
]7T
解析:
尸—sin(2对一)
'33
横坐标扩大为原來的2倍〉lsin(x+l)
纵坐标不变3i
纵坐标扩大到原来的3倍〉sinx横坐标不变'
另法答案:
(1)先将y=—sin(2x+—)的图象向右平移巴个单位,得y=—sin2x的图象;
3363
(2)再将尸丄sir)2x上各点的横坐标扩大为原来的2倍(纵坐标不变),得y=-sinx的图象;
33
(3)再将y=-sinx图象上各点的纵坐标扩大为原来的3倍(横坐标不变),即可得到尸sinx的图象。
3
练习27把曲线烬”厂口先沿,轴向右平移㊁个单位,再沿y轴向下平移】个单位,得到的
解析:
将原方程整理为:
尸
2+cosx
71
因为要将原曲线向右、向下分别移动㊁个单位和!
个单位,
因此可得产
—1为所求方程•整理得(严1)sinx+2严1=0.
2+cos(x-―)
点评:
本题考查了曲线平移的基本方法及三角函数中的诱导公式。
如果对平移有深刻理解,可直接化为:
(严1)cos(x——)+2(jH-l)—1=0,即得C选项。
2
例2-2.已知函数/(x)=2sin(2r+^)
(1)用五点法作出/(X)在一个周期内的简图;
⑵该函数图象可由y=sinr(xeR)的图象经过怎样的平移变换与伸缩变换得到?
7T
【解析】(l)y=/(x)=2sin(2x+^)
2x+?
0
兀
2
Tt
3兀T
2兀
X
n
2ti
5兀
8兀
Hu
12
12
12
12
12
y
0
2
0
-2
0
4
(I)(理)用五点法画岀函数在区间-兰,兰上的图象,长度为一个周期;
_22.
(II)说明f(X)=2sinx(sinx+cosx)的图像可由尹=sinx的图像经过怎样变换而得到.
分析:
化为/sin(0x+0)形式.
解:
(I)由/'(X)=1+V2sin(2x-—)
4
故函数y=f(x)在区间上的图象是:
列表,取点,描图:
X
37V
8
兀
I
it
I
3龙
8
5/r
8
y
1
1-V2
1
1+V2
1
(II)把^=sinx图像上所有点向右平移一个单位,得到y=sin(x——)的图像,再把y=sin(x——)
444
17C
的图像上所有点的横坐标缩短为原来的㊁(纵坐标不变),得到y=sin(2x--)的图像,然后把
71(07171171
又由图象门J得相位移为一一,/•—~=——C.(D-—•即尸2sin(—x+—)o
212424
2
根据条件辰sin(*+彳),・・・}+扌如+彳XZ)或$+扌如+扌”WZ),
例3-2已知函数fix)=Asin(cox+(p),%eR(其屮/>0,Q0,0<^)<|)的图象与x轴的交点屮,相邻两个交点之间的距离为号,且图象上一个最低点为M(今,-2).
(1)求./U)的解析式;
(2)将函数/⑴的图彖向右平移令个单位后,再将所得图彖上各点的横坐标缩小到原来的*,纵坐标不变,得到y=g(x)的图象,求函数y=g(x)的解析式,并求满足g(x)>\[2且xW[0,兀]的实数x的取值范围.
【解析】⑴由函数图象的最低点为M(乎,一2),得A=2f由X轴上相邻两个交点间的距离为乡,得£=申,即T=7l,.•s=¥=2.又点M(乎,一2)在图象上,得2sin(2x普+?
)=—2,
4兀
即sin(—+
>)=—1,
24兀,“兀"-r•“11兀
故了+/=2£兀一刁kWZ、..(p=2kn——^,
又0丘(0,号),(p=?
.综上可得f{x)=2sin(2x+?
).⑵将/(x)=2sin(Zv+^)的图象向右平移令个单位,
得到f\W=2sin[2(x—yy)+^],即/i(x)=2sin2x的图象,
然后将./i(x)=2sin2x的图象上各点的横坐标缩小到原来的*,纵坐标不变,得到g(x)=2sin(21v),
即g(x)=2sin4x.
7r37i$9兀1Ik故厉或南仝可?
•
练习3.
A.
(2)(2002全国文5)在(0,2〃)内,使sin%>cos%成立的x取值范围为(
)
兀
(一,
4
71、z
—)U(刀,
2
571
—)B.
4
71(―,
4
刀)
71
571
71
5龙
3兀
C,
(―,
一)
D.
(―,
〃)U(——,
—)
4
4
4
4
2
解析:
G
JT5龙
解法一:
作出在(0,2乃)区间上正弦和余弦函数的图象,解出两交点的横坐标一和——,由图144
可得C答案。
图1图2
解法二:
在单位圆上作出一、三象限的对角线,由正弦线、余弦线知应选G(如图2)
题型4:
三角函数的定义域
例4T.
(1)已知fix)的定义域为[0,1],求f(cosx)的定义域;
(2)求函数尸lgsin(cosQ的定义域;
分析:
求函数的定义域:
(1)要使0WqosxWI,
(2)要使sin(cos%)>0,这里的qosx以它的值充当角。
解析:
(1)OWcos/Vl=>兀一巴+巴,且心2&兀(WWZ)。
22
・•・所求函数的定义域为{x\xe2巾+巴]且x*2kH,圧Z}。
22
(2)由sin(cosx)>0=>2斤nV
osxV2斤n+皿(WWZ)。
又T—1WcosxW1,A0故所求定义域为{xI(2An——,2An+—),胆Z}。
22
点评:
求三角函数的定义域,要解三角不等式,常用的方法有二:
一是图象,二是三角函数线。
练习4.求函数y=lgsin2x+y]9—x的定义域;
\2kTi<2K2^n+n,&WZ,得3WxW3.
开、71
・;一3W*—~y或0二函数卩=lgsin2x+p9—/的定义域为
{x\—3W*—7T或0题型5:
三角函数的单调性与周期性
例5.写出下列函数的单调区间及周期:
(l)y=sin(—2x+T;
(2)y=Itanx\.
思维启迪:
(1)化为y=—sin(2/—*),再求单调区间及周期.
(2)由y=tan的图象->./=|tan的
图象f求单调性及周期.
它的增区I'可是F=sin(2X—专)的减区间,
它的减区间是尸sin(2x—闌的增区间.
JIJIJI
由21{丸—_2x——^z2k+_,WWZ,
八兀5兀
得&31—+卫",kWl・
jin3兀
由2k只+—^2%―W2A开+~—,AWZ,
得kn斤兀+[少‘kW
ji5叮
故所给函数的减区间为历,公兀+市]斤GZ;
5n11Ji*
增区间为“+—,,kEZ.
9j[
最小正周期T=—=71.
(2)观察图象可知,y=|tanx|的增区间是kn最小正周期T=n.
练习5.求下列函数的单调区间和周期:
4sin(7-T);
1/]c,7C一2x7C.7C
故由2A*兀一一W———W2&兀+—o
2342
=3^—西WxW3E+竺(ZrEZ),为单调减区间;88
由2/r兀+—W———W2Wn+—o
2342
=>3kJi+竺W/W3&H+岂(AEZ),为单调增区间。
88
・・・递减区间为[3加-辛,3如善],
递增区I'可为[3&H十竺,3F+匹](^ez)o
88
题型6:
三角函数的对称性与奇偶性
例6.
(1)已知A%)=2sin^+y^GR),函数y=t\x+(|如冬于)的图象关于直线*=0对称,则
e的值为.
(2)如果函数y=3cos(2x+0)的图象关于点(牛,o]中心对称,那么丨加的最小值为()
y=f(x+O)=2sin「+§+。
[图彖关于x=0对称,
即fJIJIJI
1GL、0=&n+~~,kUL.
326
⑵由题意得3cos(2X丄厂+Q)=3cos
収£=0,得丨如的最小值为*.故选A.
练习6.关于x的函数/(%)二sin(对0)有以下命题:
1对任意的0,/(%)都是非奇非偶函数;
2不存在0,使f(力既是奇函数,又是偶函数;
3存在0,使f(Q是奇函数;
4对任意的0,f(Q都不是偶函数。
其中一个假命题的序号是•因为当0二时,该命题的结论不成立。
答案:
①,kJf(&GZ);或者①,一+&〃(WEZ);或者④,H(^eZ)
22
解析:
当(p=2kn,&WZ吋,f(^)=sin^是奇函数。
当0=2(佔1)”,AeZ吋f(Q二一sinx
7171
仍是奇函数。
当(p=2k卄—,AeZ时,f(Q=cos/,或当(p=2k”一—,B寸,f(Q=—cos/,
f(Q都是偶函数.所以②和③都是正确的。
无论。
为何值都不能使f(无)恒等于零。
所以f(力不能既是奇函数又是偶函数。
①和④都是假命题。
题型7:
三角函数的最值
例7.已知函数,/(x)=-26/sin^2x+2a+b的定义域为[o,f],函数的最大值为1,最小值为一5,
⑴求q和b的值.
⑵若a>0,设g(x)=/(x+另且lgg(x)>0,求g(x)的单调区间.解(ljVxeTo,号]・'・2x+和住,普..•・sin@+号丘1
又T—5(x)因此a=2,b=~5.
(2)由⑴得g=2,b=—5,・伽=一4血@+沪1,g(x)=r卜+另=—4sin(2x+¥)—1=4sin(^2r+^)-1,又由lgg(x)>0得g(x)>1,.•・4sin(2x+¥)—1>1,
IT7TJTT
.•・2hc+&V2x+&<2hi+石,kWZ,
其中当2ht+¥<2x+*2£n:
+号,圧Z吋,g(x)单调递增,即kn又:
•当2刼+号<2兀+¥<2加+才,MZ时,g(x)单调递减,即(&兀+号hr+扌),胆乙练习7.已知函数£3=2曰sin(2x—*)+方的定义域为0,y,函数的最大值为1,最小值为一5,求
自和方的值.
审题视角⑴求出2x—守的范围,求出sin(2x—丁)的值域.
(2)系数日的正、负影响着的值,
因而要分日>0,水0两种情况讨论.(3)根据日>0或曰<0求代方的最值,列方程组求解.
规范解答
JlJlJT2
解~W2/―£亍兀,
综上可知,臼=12—6寸b——23+12^3或臼=—12+6^3,方=19—12萌.
基础练习:
1.函数尸寸cos*的定义域为
jin
A-L~rT
JIJI_
B.—丁,kTi+~,Aez
jin_
C.2kJi—,2kTi+—,WWZ
■■
D.R
答案C
解析由题意得cos心*,
JIJI
即2k只―WxW2k^+—,k&L,
JIJI
故函数定义域为2k/―,2k+—,k^Z.
■■
2.y=sin(x—书的图象的一个对称中心是
3.
jiJiji
4.(2011•山东)若函数f{x)=sin(^)x(q>0)在区间0,—上单调递增,在区间丁,—上单调递
减,则3等于
23
A.—B.~C.2D.3
答案B
解析Vf(x)=sin3x(少〉0)过原点,
JIJI
二当0W即0W/W—时,y=sin是增函数;
当专-w即託■才时,y=sin•/是减函数.
由f(x)=sin(®〉0)在0,—上单调递增,
rJin~1jin3
在丁,㊁上单调递减知,Yo)=~f・:
5.函数/(%)=cos2x+sin&-+»是
A.非奇非偶函数
B.仅有最小值的奇函数
C.仅有最大值的偶函数
D.有最大值又有最小值的偶函数
答案D
值,而且在R上有f(—处=代处,所以正确答案为D.
二、填空题(每小题5分,共15分)
6.函数y=lg(sinx)+a/cosx—~的定义域为
sinx〉0
解析要使函数有意义必须有q1
cosX—77三0
Isinx>0
即,解得<
cosx^~
2knJljt(&WZ),
—+2斤兀&兀
.•.2knaw可+2&n,&GZ,
o
r
・•・函数的定义域为“,Aez-.
to•
7.已知函数f3=3sin(sx)(®>0)和g(x)=2cos(2x+0)+1的图象的对称轴完全相同.若
汪[0,守],则/'3的取值范围是.
答案[—刁3]
解析由对称轴完全相同知两函数周期相同,・・・e=2,・・・f(;0=3sin(2/—十).
由圧[0,〒],得一W2x―二一专Wf(x)W3.
26662
8.函数fXx)=2sina>x(0)在0,十上单调递增,且在这个区间上的最大值是念,那么3=
答案I
解析因为A%)=2sin(心(。
>0)在0,彳■上单调递增,且在这个区间上的最大值是仗,所以兀/-„n兀4
2sin—6>=^/3,且0<—因此。
=§.
9.设函数f(x)=sin(2x+0)(―兀〈0<0),y=f{x)图象的一条对称轴是直线/=*•
⑴求0;
(2)求函数尸f3的单调增区间.
JIJIJI
解
(1)令2X—+=+"77*AUZ,•••。
=*兀+〒,&GZ,
oZ4
又一兀〈0〈0,则一*&〈—#,乙k=—1,贝ij0=—=—.
(2)由
(1)得:
f(x)=sin(2x——厂丿,
jr3兀兀,“兀5n
令一+2MW2x+2Zrn,WWZ,可解得瓦+MWxW~^-+£ji,WWZ,
rji5n~
因此y=f{x)的单调增区间为g+斤兀,—+k^,圧Z.
(JTAJIJI
10.
(1)求函数y=2sin(2x+丁J(—〈水石)的值域;
(2)求函数尸2cosS+5sinx—\的值域.
解(l)T—・・.y=2sin(2卄才)的值域为(0,2].
(2)y=2cosS+5sin4=2(1—sin。
)+5sinx—4.
=—2sin2%+5sinx—2
•••当sinx=l时,j^nax=L当sinx=—1时,弘询=一9,y=2cos2^+5sinx~\的值域为[—9,1].