单招考试辅导资料.doc
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2018年单招考试辅导资料
一.解答题(共8小题)
1.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,平面PAC⊥平面PBD.
(1)求证:
PB=PD;
(2)若M为PD的中点,AM⊥平面PCD,求三棱锥DACM的体积.
2.2017年10月18日至10月24日,中国共产党第十九次全国代表大会(简称党的“十九大”)在北京召开.一段时间后,某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查,调查问卷共有20个问题,每个问题5分,调查结束后,发现这100名员工的成绩都在[75,100]内,按成绩分成5组:
第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100],绘制成如图所示的频率分布直方图,已知甲、乙、丙分别在第3,4,5组,现在用分层抽样的方法在第3,4,5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习.
(1)求这100人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(2)求第3,4,5组分别选取的作深入学习的人数;
(3)若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习,之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度,求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率.
3.已知函数f(x)=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为.
(1)求a的值;
(2)求f(x)≥0使成立的x的集合.
4.已知函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;
(2)求函数f(x)在区间上的最值.
5.设数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an=n.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an+log2an}的前n项和.
6.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=﹣,
(1)求抛物线的方程;
(2)设直线y=k(x﹣2)(k≠0)与抛物线相交于M,N两点,O为坐标原点,证明:
OM⊥ON.
7.直线y=a与函数f(x)=x3﹣3x的图象有三个互不相同的公共点,求a的取值范围.
8.某次有600人参加的数学测试,其成绩的频数分布表如图所示,规定85分及其以上为优秀.
区间
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100]
人数
36
114
244
156
50
(Ⅰ)现用分层抽样的方法从这600人中抽取20人进行成绩分析,求其中成绩为优秀的学生人数;
(Ⅱ)在(Ⅰ)中抽取的20名学生中,要随机选取2名学生参加活动,记“其中成绩为优秀的人数”为X,求X的分布列与数学期望.
2018年单招考试辅导资料
参考答案与试题解析
一.解答题(共8小题)
1.如图,在四棱锥PABCD中,底面ABCD是边长为2的正方形,平面PAC⊥平面PBD.
(1)求证:
PB=PD;
(2)若M为PD的中点,AM⊥平面PCD,求三棱锥DACM的体积.
【分析】
(1)设AC∩BD=O,连接PO,过O做OQ⊥PC于Q点推导出OQ⊥BD,从而BD⊥PO,由此能证明PB=PD.
(2)过M作MN⊥AD于N,AM⊥PD,PA=AD=2,MN=1,由此能求出三棱锥DACM的体积.
【解答】证明:
(1)设AC∩BD=O,连接PO,过O做OQ⊥PC于Q点,
则有OQ⊥平面PBD
∴OQ⊥BD
又∵BD⊥AC
∴BD⊥平面PAC
∴BD⊥PO
又∵O为BD中点
∴PB=PD
解:
(2)过M作MN⊥AD于N
∵AM⊥平面PDC,∴AM⊥PD
又∵M为PD中点
∴PA=AD=2,
∴AM=MD=,∴MN=1
故三棱锥DACM的体积V===.
【点评】本题考查线线相等的证明,考查三棱锥的体积的求法,考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识,考查推理论证能力、运算求解能力、空间想象能力,考查化归与转化思想、函数与方程思想、数形结合思想,是中档题.
2.2017年10月18日至10月24日,中国共产党第十九次全国代表大会(简称党的“十九大”)在北京召开.一段时间后,某单位就“十九大”精神的领会程度随机抽取100名员工进行问卷调查,调查问卷共有20个问题,每个问题5分,调查结束后,发现这100名员工的成绩都在[75,100]内,按成绩分成5组:
第1组[75,80),第2组[80,85),第3组[85,90),第4组[90,95),第5组[95,100],绘制成如图所示的频率分布直方图,已知甲、乙、丙分别在第3,4,5组,现在用分层抽样的方法在第3,4,5组共选取6人对“十九大”精神作深入学习.
(1)求这100人的平均得分(同一组数据用该区间的中点值作代表);
(2)求第3,4,5组分别选取的作深入学习的人数;
(3)若甲、乙、丙都被选取对“十九大”精神作深入学习,之后要从这6人随机选取2人再全面考查他们对“十九大”精神的领会程度,求甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率.
【分析】
(1)利用频率分布直方图的性质能求出这100人的平均得分.
(2)第3组的人数为30,第4组的人数为20,第5组的人数为10,用分层抽样能求出在这三个组选取的人数.
(3)记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己,从这6人随机选取2人,利用列举法能出甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率.
【解答】(本小题满分12分)
解:
(1)这100人的平均得分为:
×.…(3分)
(2)第3组的人数为0.06×5×100=30,
第4组的人数为0.04×5×100=20,
第5组的人数为0.02×5×100=10,故共有60人,
∴用分层抽样在这三个组选取的人数分别为:
3,2,1.…(7分)
(3)记其他人为甲、乙、丙、丁、戊、己,
则所有选取的结果为(甲、乙)、(甲、丙)、(甲、丁)、(甲、戊)、(甲、己)、
(乙、丙)、(乙、丁)、(乙、戊)、(乙、己)、(丙、丁)、(丙、戊)、(丙、己)、
(丁、戊)、(丁、己)、(戊、己)共15种情况,…(9分)
其中甲、乙、丙这3人至多有一人被选取有12种情况,
故甲、乙、丙这3人至多有一人被选取的概率为.…(12分)
【点评】本题考查频率分布直方图、分层抽样的应用,考查概率的求法,考查分层抽样、列举法等基础知识,考查运算求解能力,考查函数与方程思想,是基础题.
3.已知函数f(x)=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为.
(1)求a的值;
(2)求f(x)≥0使成立的x的集合.
【分析】
(1)利用降幂公式及辅助角公式化简,结合函数f(x)=sinxcosx﹣cos2x+a的最大值为即可求得a值;
(2)求解三角不等式即可得到使f(x)≥0成立的x的集合.
【解答】解:
(1)∵f(x)=sinxcosx﹣cos2x+a=
=,
∴=,
∴a=;
(2)由
(1)知,f(x)=,
由f(x)≥0,得≥0,
即,k∈Z.
∴,k∈Z.
∴f(x)≥0成立的x的集合为[],k∈Z.
【点评】本题考查三角函数的最值及其求法,考查y=Asin(ωx+φ)型函数的图象和性质,是中档题.
4.已知函数.
(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;
(2)求函数f(x)在区间上的最值.
【分析】
(1)直接利用三角函数关系式的恒等变换,把函数的关系式变形成正弦型函数,进一步求出函数的最小正周期和对称轴方程.
(2)直接利用单调性求出结果.
【解答】解:
(1)∵,
∴,
令:
,
解得:
.
函数f(x)的最小正周期为π,
对称轴方程为:
.
(2)∵,
∴.
因为在区间上单调递增,
在区间上单调递减,
所以,当时,f(x)取最大值1.
又∵,
当时,f(x)取最小值.
【点评】本题考查的知识要点:
三角函数关系式的恒等变换,正弦型函数的性质的应用.
5.设数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an=n.
(Ⅰ)求数列{an}的通项公式;
(Ⅱ)求数列{an+log2an}的前n项和.
【分析】(Ⅰ)直接利用递推关系式求出数列的通项公式.
(Ⅱ)利用数列的通项公式,进一步利用分组法求出数列的和.
【解答】解:
(Ⅰ)∵数列{an}满足
∴当n≥2时,…(2分)
∴当n≥2时,2n﹣1an=1,
即…(4分)
当n=1时,an=1满足上式
∴数列{an}的通项公式…(6分)
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,…(7分)
∴(a1+log2a1)+(a2+log2a2)+(a3+log2a3)+…+(an+log2an),
=…(9分)
=…(12分)
【点评】本题考查的知识要点:
数列的通项公式的求法及应用,分组法在数列求和中的应用.
6.已知抛物线y2=2px(p>0)的准线方程是x=﹣,
(1)求抛物线的方程;
(2)设直线y=k(x﹣2)(k≠0)与抛物线相交于M,N两点,O为坐标原点,证明:
OM⊥ON.
【分析】
(1)根据抛物线的性质,即可求得p的值,求得抛物线方程;
(2)将直线方程代入抛物线方程,利于韦达定理即可x1x2=4,由(y1y2)2=4x1x2,即可求得y1y2=﹣4,利用向量的坐标运算,即可求得⊥.
【解答】解:
(1)由抛物线y2=2px(p>0)的准线方程为x=﹣,则﹣=﹣,则p=1,
∴抛物线方程为:
y2=2x;
(2)证明:
设M(x1,y1),N(x2,y2),由,消去y整理得k2x2﹣2(2k2+1)x+4k2=0,
∴x1x2=4,由y12=2x1,y22=2x2,两式相乘,得(y1y2)2=4x1x2,
注意到y1,y2异号,所以y1y2=﹣4,
则•=x1x2+y1y2=0,⊥,
∴OM⊥ON,
【点评】本题考查抛物线的性质,直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理及向量的坐标运算,考查计算能力,属于基础题.
7.直线y=a与函数f(x)=x3﹣3x的图象有三个互不相同的公共点,求a的取值范围.
【分析】首先根据函数的导数求出函数的单调区间,然后画出函数的图象,从而根据图象判断函数与直线的公共点的情况.
【解答】解:
先求函数f(x)的单调区间,
由f′(x)=3x2﹣3=0,
解得x=±1,
当x<﹣1或x>1时,f′(x)>0,
当﹣1<x<1时,f′(x)<0,
∴在(﹣∞,﹣1)和(1,+∞)上,f(x)=x3﹣3x是增函数,
在(﹣1,1)上,f(x)=x3﹣3x是减函数,
由此可以作出f(x)=x3﹣3x的草图(如图).
由图可知,当且仅当﹣2<a<2时,
直线y=a与函数f(x)=x3﹣3x的图象有三个互不相同的公共点.
【点评】掌握由导数求函数单调性的方法.
8.某次有600人参加的数学测试,其成绩的频数分布表如图所示,规定85分及其以上为优秀.
区间
[75,80)
[80,85)
[85,90)
[90,95)
[95,100]
人数
36
114
244
156
50
(Ⅰ)现用分层抽样的方法从这600人中抽取20人进行成绩分析,求其中成绩为优秀的学生人数;
(Ⅱ)在(Ⅰ)中抽取的20名学生中,要随机选取2名学生参加活动,记“其中成绩为优秀的人数”为X,求X的分布列与数学期望.
【分析】(I)根据频数=频率×样本容量,通过抽样比,可求出优秀的学生人数;
(Ⅱ)X的取值为0,1,2,然后利用排列组合的知识求出相应的概率,最后利用数学期望公式解之即可.
【解答】解:
(Ⅰ)设其中成绩为优秀的学生人数为x,则,解得x=15.
所以其中成绩为优秀的学生人数为15.…(5分)
(Ⅱ)依题意,随机变量X的所有取值为0,1,2.
P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==.…(11分)
所以X的分布列为
X
0
1
2
P
…(12分)
所以随机变量X的数学期望E(X)==…(13分)
【点评】本题主要考查了频率分布直方图,以及离散型随机变量的数学期望,同时考查了计算能力,属于基础题.
第11页(共11页)
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