高考数学二轮复习专题四函数与导数第1讲函数的图象与性质学案.docx
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高考数学二轮复习专题四函数与导数第1讲函数的图象与性质学案
第1讲 函数的图象与性质
[考情考向分析] 1.函数的概念和函数的基本性质是B级要求,主要是利用函数图象,即通过数形结合思想解决问题.2.指数与对数的运算、指数函数与对数函数的图象和性质都是考查热点,B级要求.3.函数与方程是B级要求,但经常与二次函数等基本函数的图象和性质综合起来考查,试题难度中等偏上.
热点一 函数性质及其运用
例1
(1)(2018·江苏徐州铜山中学期中)已知函数f(x)=ex-e-x+1(e为自然对数的底数),若f(2x-1)+f(4-x2)>2,则实数x的取值范围是________.
答案 (-1,3)
解析 令g(x)=f(x)-1,则g(x)为奇函数,且为增函数,
由f(2x-1)+f(4-x2)>2,得g(2x-1)+g(4-x2)>0,所以g(2x-1)>g(x2-4),即2x-1>x2-4,
所以x2-2x-3<0,解得-1 (2)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时,f(x)=|x-a|-a(a∈R).若∀x∈R,f(x+2016)>f(x),则实数a的取值范围是________. 答案 (-∞,504) 解析 当a=0时,f(x)=x,x∈R,满足条件; 当a<0时,f(x)=为R上的单调递增函数,也满足条件; 当a>0时,f(x)= 要满足条件,需4a<2016,即0 综上,实数a的取值范围是a<504. 思维升华 (1)可以根据函数的奇偶性和周期性,将所求函数值转化为给出解析式的范围内的函数值. (2)利用函数的单调性解不等式的关键是化成f(x1) 跟踪演练1 (1)(2018·江苏省前黄中学等三校联考)若f(x)是周期为2的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=x2-8x+30,则f()=__________. 答案 -24 解析 ∵f(x)是周期为2的奇函数,当x∈(0,1)时,f(x)=x2-8x+30, ∴f =f =-f =-24. (2)(2018·常熟期中)已知奇函数f(x)在上单调递减,且f (2)=0,则不等式>0的解集为________. 答案 (-2,0)∪(1,2) 解析 ∵函数f(x)为奇函数且在(-∞,0)上单调递减, ∴f(x)在(0,+∞)上也单调递减, 又∵函数f(x)为奇函数且f (2)=0, ∴f(-2)=-f (2)=0,∴当x<-2或0<x<2时,f(x)>0,当-2<x<0或x>2时,f(x)<0(如图), ∴不等式>0等价于 或 解得x∈(-2,0)∪(1,2). 热点二 函数图象及其运用 例2 (1)已知函数f(x)=若|f(x)|≥ax,则实数a的取值范围是________. 答案 [-2,0] 解析 函数y=|f(x)|的图象如图,y=ax为过原点的一条直线,当a>0时,与y=|f(x)|在y轴右侧总有交点,不合题意;当a=0时,成立;当a<0时,找与y=|-x2+2x|(x≤0)相切的情况,即y′=2x-2,切线方程为y=(2x0-2)(x-x0),由分析可知x0=0,所以a=-2,综上,a∈[-2,0]. (2)已知函数f(x)=若a 答案 解析 作出函数f(x)=的图象,如图所示. ∵当a ∴-log4a=log4b,即log4a+log4b=0,则log4(ab)=0, ∴ ∴16=24 即c的取值范围是. 思维升华 (1)涉及到由图象求参数问题时,常需构造两个函数,借助两函数图象求参数范围; (2)图象形象地显示了函数的性质,因此,函数性质的确定与应用常与图象数形结合研究. 跟踪演练2 (1)已知定义在区间上的函数y=f的图象如图所示,对于满足0 ①f-f>x2-x1; ②x2f>x1f; ③ 其中正确的结论是________.(把所有正确结论的序号都填写在横线上) 答案 ②③ 解析 由f -f >x2-x1,可得>1,即两点与连线的斜率大于1,显然①不正确;由x2f >x1f ,得>,即表示两点,与原点连线的斜率的大小,可以看出结论②正确;结合函数图象,容易判断结论③正确. (2)(2018·江苏省常州市横林高中月考)已知函数f(x)=则不等式f(2x2-|x|)≤5的解集为________. 答案 解析 方法一 作出函数f(x)的图象如图所示. 若2x2-<0,则不等式f ≤5恒成立,此时<0,得0<<; 若2x2-≥0,∵f =5,∴不等式f ≤5等价于f ≤f, 则2x2-≤1,则0≤≤1,又≥或≤0, ∴≤≤1或=0, 综上,0≤≤1,故-1≤x≤1. 方法二 ∵f (1)=5,∴f(2x2-|x|)≤5等价于2x2-|x|≤1, 解得0≤|x|≤1,故-1≤x≤1. 热点三 函数与方程 例3 (1)函数f(x)=4cos2·cos-2sinx-|ln(x+1)|的零点个数为________. 答案 2 解析 f(x)=4cos2sinx-2sinx-|ln(x+1)| =2sinx·-|ln(x+1)| =sin2x-|ln(x+1)|, 令f(x)=0,得sin2x=|ln(x+1)|. 在同一坐标系中作出两个函数y=sin2x与函数y=|ln(x+1)|的大致图象如图所示. 观察图象可知,两函数图象有2个交点,故函数f(x)有2个零点. (2)已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(x)=-2f(x+1),当x∈时,f(x)=x2,若函数y=af(x)-log4(x+1)(a>0)恰有4个零点,则a的取值范围是________. 答案 4 解析 函数y=af(x)-log4(x+1)恰有4个零点,等价于y=af(x)与y=log4的图象有4个交点,则a>0,画出y=af(x)与y=log4(x+1)的图象. ∵f(x)满足f(x)=-2f(x+1),当x∈时,f(x)=x2, ∴当x∈时,f(x)=-2(x+1)2, 由图象知在上两图象有一个交点,在上有两个交点,只需在上有一个交点即可,如图, 解得4 思维升华 (1)求解零点或零点个数的方法: 解方程法、利用零点存在的判定定理、数形结合法. (2)利用函数零点的情况求参数范围的方法: ①利用零点存在的判定定理构建不等式求解;②分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解;③转化为熟悉的两函数图象的上、下关系,从而构建不等式求解. 跟踪演练3 (1)(2016·江苏)定义在区间[0,3π]上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点个数是________. 答案 7 解析 在区间[0,3π]上分别作出y=sin2x和y=cosx的简图如下: 由图象可得两图象有7个交点. (2)(2018·江苏省海门中学模拟)已知函数f(x)=若f(x)在区间[0,+∞)上有且只有2个零点,则实数m的取值范围是________. 答案 解析 当0≤x≤1时,由2x2+2mx-1=0,得m=-x+(x=0显然不是零点), 当x>1时,函数的零点满足mx+2=0,则m=-, 由题意可得函数y=m与函数g(x)=有两个不同的交点,绘制函数图象如图所示,结合函数图象可知,实数m的取值范围是. 1.(2016·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为2的函数,在区间[-1,1)上,f(x)=其中a∈R.若f =f ,则f(5a)的值是________. 答案 - 解析 由已知得, f =f =f =-+a, f =f =f ==. 又f =f , 则-+a=,∴a=, ∴f(5a)=f(3)=f(3-4)=f(-1) =-1+=-. 2.(2018·江苏)若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为________. 答案 -3 解析 f′(x)=6x2-2ax=2x(3x-a)(x>0). ①当a≤0时,f′(x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增, 又f(0)=1,∴f(x)在(0,+∞)上无零点,不合题意. ②当a>0时,由f′(x)>0,解得x>, 由f′(x)<0,解得0<x<, ∴f(x)在上单调递减, 在上单调递增. 又f(x)只有一个零点,∴f =-+1=0,∴a=3. 此时f(x)=2x3-3x2+1,f′(x)=6x(x-1), 当x∈[-1,1]时,f(x)在[-1,0]上单调递增,在(0,1]上单调递减. 又f (1)=0,f(-1)=-4,f(0)=1, ∴f(x)max+f(x)min=f(0)+f(-1)=1-4=-3. 3.(2017·江苏)设f(x)是定义在R上且周期为1的函数,在区间[0,1)上,f(x)=其中集合D=,则方程f(x)-lgx=0的解的个数是________. 答案 8 解析 由于f(x)∈[0,1),则只需考虑1≤x<10的情况,在此范围内,x∈Q,且x∉Z时,设x=,p,q∈N*,p≥2且p,q互质.若lgx∈Q,则由lgx∈(0,1),可设lgx=,m,n∈N*,m≥2且m,n互质.因此 =, 则10n=m,此时左边为整数,右边为非整数,矛盾.因此lgx∉Q,因此lgx不可能与每个周期内x∈D对应的部分相等,只需考虑lgx与每个周期内x∉D部分的交点,画出函数草图.图中交点除(1,0)外其他交点横坐标均为无理数,属于每个周期内x∉D部分,且x=1处(lgx)′==<1,则在x=1附近仅有1个交点,因此方程解的个数为8. 4.(2018·无锡期中)已知函数f(x)=-,则f(a+1)+f(a2-1)>0的解集为________. 答案 (-1,0) 解析 函数f(x)的定义域为R. f(-x)=-=, f(x)=-=, 所以f(-x)=-f(x),f(x)为奇函数. 又f(x)=-在R上单调递减, 所以f(a+1)+f(a2-1)>0⇔f(a+1)>f(1-a2), 所以a+1<1-a2,解得-1 5.(2018·江苏高考预测)已知a>0,若函数f(x)=且g(x)=f(x)-ax2有且只有5个零点,则a的取值范围是________. 答案 (2,e) 解析 由题意可知,x=0是g(x)的1个零点, 当x≠0时,由f(x)=ax2可得 a= 令h(x)=(x>0),则h′(x)=. 当0 ∴h(x)在(0,)上单调递增,在(,+∞)上单调递减, ∴h(x)≤h()=e,且当x→+∞时,h(x)→0,当x→0时,h(x)<0. 在同一平面直角坐标系中作出h(x)和y=的图象, 由图可知,g(x)=f(x)-ax2有且只有5个零点需满足2 则a的取值范围是(2,e). A组 专题通关 1.已知f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且在(-∞,0]上单调递增,若a=f( ),b=f(log35),c=f(0.20.5),则a,b,c的大小关系为________.(用“<”连接) 答案 b 解析 ∵f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数, ∴a=f( )=f(-log53)=f(log53), ∵1>log53>log5=,log35>log33=1,0<0.20.5=<,∴0.20.5 ∵f(x)在上是增函数, ∴f(x)在上为减函数, 则f>f>f,即b 2.已知函数f(x)是定义在R上且周期为4的偶函数.当x∈[2,4]时,f(x)=,则f 的值为____________. 答案 解析 由函数的周期性可得f =f =f , 由函数的奇偶性可得f =f =|log42|=. 3.函数y=logax(a>0且a≠1)在x∈[2,+∞)上恒有|y|>1,则a应满足的条件是_______. 答案 解析 若0 由题意知loga2<-1,∴a∈. 若a>1,当x≥2时,logax>0,∴logax>1. 由题意知loga2>1,∴a∈(1,2).
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