双曲线的定义-高中数学知识点讲解.doc
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双曲线的定义
1.双曲线的定义
【定义】
双曲线(Hyperbola)是指与平面上到两个定点的距离之差的绝对值为定值的点的轨迹,也可以定义为到定点与
定直线的距离之比是一个大于1的常数的点之轨迹.双曲线是圆锥曲线的一种,即圆锥面与平面的交截线.双曲
线在一定的仿射变换下,也可以看成反比例函数.两个定点F1,F2叫做双曲线的焦点(focus),定直线是双曲线
的准线,常数e是双曲线的离心率.
【标准方程】
푥2
푎2
①
―
푦2
푏2
=1(a,b>0),表示焦点在x轴上的双曲线;
푦2
푎2
②
―
푥2
푏2
=1(a,b>0),表示焦点在y轴上的双曲线.
【性质】
푥2
푎2
这里的性质以
―
푦2
푏2
=1(a,b>0)为例讲解:
푎2
①焦点为(±c,0),其中c2=a2+b2;②准线方程为:
x=±;③离心率e=
푐
푐푏
푎>1;④渐近线:
y=±푎x;⑤
焦半径公式:
左焦半径:
r=|ex+a|,右焦半径:
r=|ex﹣a|.
【实例解析】
푥2
例1:
双曲线
4
―
푦2
16
=1的渐近线方程为
푥2
解:
由
4
―
푦2
16
푥2
=0可得y=±2x,即双曲线
4
―
푦2
16
=1的渐近线方程是y=±2x.
故答案为:
y=±2x.
这个小题主要考察了对渐近线的理解,如果实在记不住,可以把那个等号后面的1看成是0,然后因式分解得到
的两个式子就是它的渐近线.
例2:
已知双曲线的一条渐近线方程是x﹣2y=0,且过点P(4,3),求双曲线的标准方程
解:
根据题意,双曲线的一条渐近线方程为x﹣2y=0,
1/2
푥2
设双曲线方程为
4
―y2=λ(λ≠0),
∵双曲线过点P(4,3),
42
4
∴
―32=λ,即λ=﹣5.
푥2
∴所求双曲线方程为
4
―y2=﹣5,
푦2
即:
5
―
푥2
20
=1.
一般来说,这是解答题的第一问,常常是根据一些性质求出函数的表达式来,关键是找到a、b、c三者中的两者,
最后还要判断它的焦点在x轴还是y轴,知道这些参数后用待定系数法就可以直接写出函数的表达式了.
【考点点评】
这里面的两个例题是最基本的,必须要掌握,由于双曲线一般是在倒数第二个解答题出现,难度一般也是相当
大的,在这里可以有所取舍,对于基础一般的同学来说,尽量的把这些基础的分拿到才是最重要的,对于还剩下
的部分,尽量多写.
2/2
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