高等数学.厦门大学出版社徐荣聪.高数课后习题详细参考答案.doc
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第三章参考答案
习题3-1(P66)
1、
(1)不满足,在处不连续;
(2)不满足,在处不可导;
2、
(1)、;
(2);
3、证明:
设任意区间,显然函数在上连续,在内可导,
所以函数满足拉格朗日中值定理的条件,
所以有
又
所以,从而
所以命题成立。
4、方程有2个根,分别位于区间和内;
5、;
6、证明:
设,显然函数在内处处连续,处处可导,
设区间,则在上满足拉格朗日子中值定理的条件
所以内至少存在一点,使,
所以,
即
习题3-2(P70)
1、
(1)1;
(2)2;(3);(4);(5);
(6)0;(7);(8);(9)0;(10);
2、
(1)1,不能;
(2)1,不能;
习题3-3(P77)
1、
(1)增加,减少;
(2)减少;
(3)和增加,减少;(4)减少,增加;
2、
(1)减少,增加;
(2)减少,增加;
(3)增加,减少;
(4)和增加,减少;
3、证明:
设,则,当时,
所以函数在上单调增加,
所以当时,,即,从而
4、证明:
设,
显然函数在上连续,且
由零点存在定理知,函数在至少有一个零点,
又当时,,函数单调减少
所以函数在至多只有一个零点,即方程在至多只有一个实根,
因为,所以不是方程的根,
所以方程在至多只有一个实根。
5、
(1)极小值,无极大值;
(2)极小值,极大值;
(3)极小值,极大值;
(4)极小值,无极大值;
(5)极小值,极大值;
(6)无极值;
(7)极小值,极大值;
(8)提示:
,极小值,极大值;
6、解:
显然函数在上可导,
要使函数在处取得极值,须有,
即,解得
因为
所以函数在处取得极大值,此时
所以当时,函数在处取极大值。
7、
(1)最大值,最小值;
(2)最大值,最小值;
(3)最大值,最小值;
(4)最大值,最小值;
(5)最大值,最小值;
(6)最大值,最小值;
8、解:
设车间靠墙壁的长为米,则不靠墙壁的长为米,
面积,
,令,得唯一驻点,因为
所以在处取极大值,又驻点唯一,
所以在处取最大值,
所以当小屋靠墙壁的长为10米,不靠墙壁的长为5米时,面积最大。
9、解:
设经过小时两船相距为海里,则
当时,,
令,得驻点,没有不可导点,
依题意知目标函数存在最小值,且驻点唯一,所以当时,函数取最小值
当时,
综上可知,经过5小时,两船距离最近。
10、解:
设,那么,
所以掘进费
令,得唯一驻点,没有不可导点
当时,;当时,;时,
比较得最小,此时,
所以从A处沿水平掘进516.7米后,再斜向下沿直线掘进到C处,掘进费最省,为4717.2元。
11、解:
矩形底宽为米,高为米,则周长
由得,所以
,令,得驻点
依题意目标函数存在最小值,且驻点唯一,所以当米时,截面的周长最小。
12、解:
设漏斗的地面半径为,高为,则
由,得,
所以
,令,解得
依题意,目标函数存在最大值,且驻点唯一,所以当时,函数取最大值,
即当时,做成的漏斗容积最大。
13、解:
设内接直圆柱的底半径为,高为,则圆柱的体积
因为球内接圆柱,所以有,得
所以,,
令,得,此时
依题意,函数 存在最大值,且驻点=唯一,所以当时,函数取最大值,
所以内接直圆柱的半径为、高为时,体积最大。
14、解:
如图
因为,
所以
,令,解得
此时,
依题意知,函数存在最大值,且驻点唯一,所以当时,函数取最大值
所该吊车能把屋架吊上去。
15、解:
利润
,令,得唯一驻点
依题意,函数存在最大值,且驻点唯一,所以当时,最大,
即应生成7500台,才能获得最大利润。
习题3-4(P83)
1、
(1)凸区间为,凹区间为,拐点为;
(2)凸区间为和,凹区间为,拐点为和;
(3)凸区间为和,凹区间为,拐点为和;
(4)凸区间为和,凹区间为,拐点为;
(5)凸区间为和,凹区间为和,
拐点为、和;
2、略;
综合练习(三)(P83)
一、填空题
1、2;2、2;3、;4、;5、;6、2;7、;
8、0;9、必要;10、;
二、选择题
1、D;2、C;3、A;4、B;5、B;6、C;7、B;8、D;9、C;10、B;
三、计算题
1、
(1);
(2);
(3)原式
;
(4)原式
2、解:
函数的定义域为
,令,得驻点,
导数不存在的点为
列表讨论
—
+
—
—
减
增
减
减
所以,函数在区间和单调减少,在区间单调增加,极小值为0,极大值为。
3、函数在区间和单调增加,在区间单调减少,极大值为0,极小值为
4、函数在区间和是凸的,在区间是凹的,拐点为和
5、解:
因为为函数的极值点,所以有,解得
6、函数在区间是凸的,在是凹的,拐点为。
四、应用与证明题
1、解:
设车间靠墙的长为米,则宽为米,面积,
,令,得唯一驻点,因为
所以在处取极大值,又驻点唯一,
所以在处取最大值,此时
所以这些存砖足够围成64平方米的小屋。
2、解:
设围成圆形的铁丝长为,围成正方形的铁丝长为
则面积之和,
因为,令,得唯一驻点
因为,所以在处取极小值,
又驻点唯一,所以在处取最小值
即当围成圆形的铁丝长为,围成正方形的铁丝长为时,两图形的面积之和最小。
3、证明:
因为,不妨设
设,则函数处处连续,处处可导,
所以函数在区间上满足拉格朗日中值定理的条件,
所以在内至少存在一点,使
所以
同理,当时,上式同样成立
所以当时,
4、证明:
设
所以当时,,此时单调增加,
所以当时,,即
所以当时,恒有
5、证明:
设
因为当时,均可导,且
所以当时,可导,且
所以当时,单调增加,所以
即
所以当时,。
6、证明:
设(),
则
所以当时,恒为常数,又
所以当时,恒有
7、证明:
设,
显然函数在上连续,且
由零点存在定理知,函数在内至少有一个零点,
又当时,,函数单调增加
所以函数在至多只有一个零点,
综合可知函数在有且只有一个零点
即方程在有且只有一个实根,
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