第8讲---二面角和面面垂直专题练习.doc
- 文档编号:14666121
- 上传时间:2023-06-25
- 格式:DOC
- 页数:4
- 大小:716.50KB
第8讲---二面角和面面垂直专题练习.doc
《第8讲---二面角和面面垂直专题练习.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《第8讲---二面角和面面垂直专题练习.doc(4页珍藏版)》请在冰点文库上搜索。
第8讲二面角和面面垂直专题练习
(教师版)
例1.如图,在立体图形中,若是的中点,则下列命题中正确的是().
(A)平面⊥平面
(B)平面⊥平面
(C)平面⊥平面,且平面⊥平面
(D)平面⊥平面,且平面⊥平面
分析:
要判断两个平面的垂直关系,就需固定其中一个平面,找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.
解:
因为且是的中点,所以同理有,于是平面.因为平面,所以平面平面.又由于平面,所以平面平面.所以选C.
说明:
本题意图是训练学生观察图形,发现低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平面内,得到线线垂直的重要途径是出现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面垂直,由线面垂直可得到面面垂直.
例2.如图,是所在平面外的一点,且平面,平面平面.求证.
分析:
已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直..
证明:
在平面内作,交于.因为平面平面于,平面,且,所以.又因为平面,于是有①.另外平面,平面,所以.由①②及,可知平面.因为平面,所以.
说明:
在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到,面面垂直线面垂直线线垂直.
例3.如图,是⊙的直径,垂直于⊙所在的平面,是圆周上异于、的任意一点,求证:
平面平面.
分析:
证明面面垂直的有两个依据,一是证明二面角的平面角为直角,二是利用两个平面垂直的判定定理.由于点的任意性,用方法一的可能性不大,所以要寻求线面垂直.
证明:
因为是⊙的直径,是圆周上的点,所以有①.
因为平面,平面,则②.
由①②及,得平面.
因为平面,有平面平面.
说明:
低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据,根据条件,由线线垂直线面垂直面面垂直.通过这个例题展示了空间直线与平面的位置关系的内在联系,垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系.
例4.如图,点在锐二面角的棱上,在面内引射线,使与所成的角为,与面所成的角大小为,求二面角的大小.
分析:
首先根据条件作出二面角的平面角,然后将平面角放入一个可解的三角形中(最好是直角三角形),通过解三角形使问题得解.
解:
在射线上取一点,作于,连结,则为射线与平面所成的角,.再作,交于,连结,则为在平面内的射影.由三垂线定理的逆定理,,为二面角的平面角.
设,在中,,在△中,
是锐角,,即二面角等于.
说明:
本题综合性较强,在一个图形中出现了两条直线所称的角,斜线与平面所称的角,二面角等空间角,这些空间角都要转化为平面角,而且还要彼此联系相互依存,要根据各个平面角的定义添加适当的辅助线.
例5.如图,将边长为的正三角形以它的高为折痕折成一个二面角.
(1)指出这个二面角的面、棱、平面角;
(2)若二面角是直二面角,求的长;
(3)求与平面所成的角;
(4)若二面角的平面角为,求二面角的平面角的正切值.
分析:
根据问题及图形依次解决.
解:
(1)二面角的面为和面,棱为,二面角的平面角为.
(2)若,.
(3)平面,为与平面所成的角.在直角三角形中,,于是.
(4)取的中点,连结、,
,
为二面角的平面角.
在直角三角形中,.
说明:
这是一个折叠问题,要不断地将折叠前后的图形加以比较,抓住折叠前后的变与不变量.
例6 正方体的棱长为1,是的中点.求二面角的大小.
分析:
求二面角关键是确定它的平面角,按定义在二面角的棱上任取了点,在二个半平面上分别作棱的垂线,方法虽简便,但因与其他条件没有联系,要求这个平面角一般是很不容易的,所以在解题中不大应用.在解题中应用得较多的是“三垂线定理”的方法,如图考虑到垂直于平面,在平面上的射影就是.再过作的垂线,则面,过作的垂线,即为所求二面角的平面角了.
解:
过作及的垂线,垂足分别是、,连结.
∵面,面,
∴,
又,∴面.
又∵,∴,
∴为所求二面角的平面角.
∵∽,∴.
而,,,∴.
在中,.
∵,∴.
在中,,
在中,,
∴.
例7在所在平面外有一点,已知,与底面所成角为,二面角的大小为,且.求二面角的大小.
分析:
由题设易证,由已知得平面,显然所求的二面角是直二面角,此时只需证明二面有的两个面垂直即可.在解这种类型题时,如果去作二面角的平面角,那么可能会走弯路.
解:
如图所示,作平面于,连结并延长交于,连结.
∵平面,
∴是与平面所成角,.
∵平面,,
∴,.
∴是二面角的平面角,.
∵,∴.
又∵,∴平面,
∴平面平面,
∴二面角的大小为.
说明:
二面角的平面角满足三个条件:
(1)顶点在棱上,
(2)两边在面内,(3)两边与棱垂直.应注意不满足第(3)条,不是二面角的平面角.
在求二面角大小时,若其平面角不易作出时,则可考虑判定两平面是否垂直,如果两平面垂直,则其二面角为,反之亦然.
例8 为的二面角内一点,到和的距离均为10,求点到棱的距离.
分析:
本题已知二面角的大小而求点到直线的距离,须做出二面角的平面角,然后将条件揉和在一起,便可解决问题.
解:
如图,
过点作于,于,
设相交直线、确定的平面为,,则,
连结,则
∵,,
∴,而平面,
∴,
∴的长即为点到直线的距离.
又∵,,
∴是二面角的平面角,即.
而四边形为一圆内接四边形,且为该四边形的外接圆直径.
∵四边形的外接圆半径等于由、、、中任意三点确定的三角形的外接圆半径,因此求的长可利用.
在中,,,∴.
由正弦定理:
.
说明:
(1)该题寻找的二面角的平面角,所采取的方法即为垂面法,由此可见,若题目可找到与棱垂直的平面,用“垂面法”确定二面角的平面角也是一种可取的方法.
(2)充分借助于四边形为一圆内接四边形,∵,,∵即为其外接圆直径,然后借助于四边有的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移,由正弦定理帮助解决了问题.
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 二面角 和面 垂直 专题 练习