八年级下平行四边形专题汇总.doc
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八年级下平行四边形专题汇总.doc
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八年级平行四边形专题汇总
一、平行四边形与等腰三角形专题
例题1已知:
如图,平行四边形ABCD中,E为AD的中点,BE的延长线交CD的延长线于点F.
(1)求证:
CD=DF;
(2)若AD=2CD,请写出图中所有的直角三角形和等腰三角形.
训练一
1.如图,在▱ABCD中,分别以AB、AD为边向外作等边△ABE、△ADF,延长CB交AE于点G,点G在点A、E之间,连接CE、CF,EF,则以下四个结论一定正确的是( )
①△CDF≌△EBC;②∠CDF=∠EAF;③△ECF是等边三角形;④CG⊥AE.
A.只有①②B.只有①②③C.只有③④D.①②③④
2.如图,四边形ABCD是平行四边形,△AB′C和△ABC关于AC所在的直线对称,AD和B′C相交于点O,连接BB′.
(1)请直接写出图中所有的等腰三角形(不添加字母);
(2)求证:
△AB′O≌△CDO.
3.如图,已知AD和BC交于点O,且△OAB和△OCD均为等边三角形,以OD和OB为边作平行四边形ODEB,连接AC、AE和CE,CE和AD相交于点F.
求证:
△ACE为等边三角形.
4.如图,已知:
平行四边形ABCD中,∠BCD的平分线CE交边AD于E,∠ABC的平分线BG交CE于F,交AD于G.求证:
AE=DG.
二、平行四边形与面积专题
例题2已知平行四边形ABCD,AD=a,AB=b,∠ABC=α.点F为线段BC上一点(端点B,C除外),连接AF,AC,连接DF,并延长DF交AB的延长线于点E,连接CE.
(1)当F为BC的中点时,求证:
△EFC与△ABF的面积相等;
(2)当F为BC上任意一点时,△EFC与△ABF的面积还相等吗?
说明理由.
训练二
1.如图,过▱ABCD的对角线BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH,那么图中的▱AEMG的面积S1与▱HCFM的面积S2的大小关系是( )
A.S1>S2B.S1<S2C.S1=S2D.2S1=S2
2.农业技术员在一块平行四边形的实验田里种植四种不同的农作物,现需将该实验田划成四个平行四边形地块(如图),已知其中三块田的面积分别是14m2,10m2,36m2,则第四块田的面积为
3.如图,AE∥BD,BE∥DF,AB∥CD,下面给出四个结论:
(1)AB=CD;
(2)BE=DF;(3)SABDC=SBDFE;(4)S△ABE=S△DCF.其中正确的有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
4.在面积为15的平行四边形ABCD中,过点A作AE垂直于直线BC于点E,作AF垂直于直线CD于点F,若AB=5,BC=6,则CE+CF的值为( )
A.B.C.或D.或
5.平行四边形ABCD的周长为20cm,AE⊥BC于点E,AF⊥CD于点F,AE=2cm,AF=3cm,求ABCD的面积.
6.如图,四边形ABCD的对角线AC、BD交于点P,过点P作直线交AD于点E,交BC于点F.若PE=PF,且AP+AE=CP+CF.
(1)求证:
PA=PC.
(2)若BD=12,AB=15,∠DBA=45°,求四边形ABCD的面积.
7.如图,平行四边形ABCD中,AB:
BC=3:
2,∠DAB=60°,E在AB上,且AE:
EB=1:
2,F是BC的中点,过D分别作DP⊥AF于P,DQ⊥CE于Q,则DP:
DQ等于( )
A.3:
4B.:
C.:
D.:
三、平行四边形与角度专题
例题3如图,在平行四边形ABCD中,∠BAD=32°.分别以BC、CD为边向外作△BCE和△DCF,使BE=BC,DF=DC,∠EBC=∠CDF,延长AB交边EC于点G,点G在E、C两点之间,连接AE、AF.
(1)求证:
△ABE≌△FDA;
(2)当AE⊥AF时,求∠EBG的度数.
训练三
1.如图,将一平行四边形纸片ABCD沿AE,EF折叠,使点E,B′,C′在同一直线上,则∠AEF= 度.
2.如图,已知平行四边形ABCD,DE是∠ADC的角平分线,交BC于点E.
(1)求证:
CD=CE;
(2)若BE=CE,∠B=80°,求∠DAE的度数.
3.如图,E、F是▱ABCD对角线AC上的两点,且BE∥DF.
求证:
(1)△ABE≌△CDF;
(2)∠1=∠2.
四、平行四边形与线段专题
例题4如图,ABCD为平行四边形,AD=2,BE∥AC,DE交AC的延长线于F点,交BE于E点.
(1)求证:
EF=DF;
(2)若AC=2CF,∠ADC=60°,AC⊥DC,求DE的长.
训练四
1.如图,□ABCD的对角线相交于点O,过点O任引直线交AD于E,交BC于F,则OE=
OF(填“>”“=”“<”),并说明理由.
2.如图,在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,如果AC=14,BD=8,AB=x,那么x的取值范围是
3<x<11
3.已知:
如图,在▱ABCD中,∠ADC、∠DAB的平分线DF、AE分别与线段BC相交于点F、E,DF与AE相交于点G.
(1)求证:
AE⊥DF;
(2)若AD=10,AB=6,AE=4,求DF的长.
4.如图,已知△ABC是等边三角形,点D、F分别在线段BC、AB上,∠EFB=60°,DC=EF.
(1)求证:
四边形EFCD是平行四边形;
(2)若BF=EF,求证:
AE=AD.
5.如图,E、F分别是▱ABCD的边AD、BC上的点,且AE=CF,AF和BE相交于点G,DF和CE相交于点H,求证:
EF和GH互相平分.
6.已知:
平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,BD=2AD,E,F,G分别是OC,OD,AB的中点.求证:
(1)BE⊥AC;
(2)EG=EF.
7.如图,▱ABCD中,点E在边AD上,以BE为折痕,将△ABE向上翻折,点A正好落在CD上的F点,若△FDE的周长为8cm,△FCB的周长为20cm,则FC的长为 cm.
8.如图,已知:
在△ABC中,∠BAC=90°,延长BA到点D,使AD=AB,点G、E、F分别为边AB、BC、AC的中点.求证:
DF=BE.
五、三角形中位线专题
例题5如图,△ABC的周长为26,点D,E都在边BC上,∠ABC的平分线垂直于AE,垂足为Q,∠ACB的平分线垂直于AD,垂足为P,若BC=10,则PQ的长为( )
A.B.C.3D.4
训练五
1.如图,AB∥CD,E,F分别为AC,BD的中点,若AB=5,CD=3,则EF的长是( )
A.4B.3C.2D.1
2.如图,在四边形ABCD中,点P是对角线BD的中点,点E、F分别是AB、CD的中点,AD=BC,∠PEF=30°,则∠PFE的度数是( )
A.15°B.20°C.25°D.30°
3.如图,D是△ABC内一点,BD⊥CD,AD=6,BD=4,CD=3,E、F、G、H分别是AB、AC、CD、BD的中点,则四边形EFGH的周长是( )
A.7B.9C.10D.11
六、平行四边形综合探究专题
例题6如图所示,在□ABCD中,AB>BC,∠A与∠D的平分线交于点E,∠B与∠C的平分线交于F点,连接EF.
(1)延长DE交AB于M点,则图中与线段EM一定相等的线段有哪几条?
说明理由;(不再另外添加字母和辅助线)
(2)EF、BC与AB之间有怎样的数量关系?
为什么?
(3)如果将条件“AB>BC”改为“AB<BC”,其它条件不变,EF、BC与AB的关系又如何?
请画出图形并证明你的结论.
训练六
1.如图,分别以Rt△ABC的斜边AB、直角边AC为边向外作等边△ABD和△ACE,F为AB的中点,DE,AB相交于点G,若∠BAC=30°,下列结论:
①EF⊥AC;②四边形ADFE为平行四边形;③AD=4AG;④△DBF≌△EFA.其中正确结论的序号是
①②③④
2.如图所示,△ABC为等边三角形,P是△ABC内任一点,PD∥AB,PE∥BC,PF∥AC,若△ABC的周长为12,则PD+PE+PF=
3.如图,▱ABCD中,对角线AC与BD相交于点E,∠AEB=45°,BD=2,将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内,若点B的落点记为B′,则DB′的长为
4.点A、B、C是平面内不在同一条直线上的三点,点D是平面内任意一点,若A、B、C、D四点恰能构成一个平行四边形,则在平面内符合这样条件的点D有( )
A.1个B.2个C.3个D.4个
5.在平行四边形ABCD中,E是AD上一点,AE=AB,过点E作直线EF,在EF上取一点G,使得∠EGB=∠EAB,连接AG.
(1)如图①,当EF与AB相交时,若∠EAB=60°,求证:
EG=AG+BG;
(2)如图②,当EF与CD相交时,且∠EAB=90°,请你写出线段EG、AG、BG之间的数量关系,并证明你的结论.
6.在▱ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,直线EF过点O,分别交AD、BC于E、F,如图①
(1)求证:
AE=CF;
(2)将图①中▱ABCD沿直线EF折叠,使得点A落在A1处,点B落在B1处,如图②设FB1交CD于点G,A1B1分别交CD、DE于点P、Q,求证:
EQ=FG.
7.如图1,在四边形ABCD中,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF并延长,分别与BA、CD的延长线交于点M、N,则∠BME=∠CNE(不需证明).
(温馨提示:
在图1中,连接BD,取BD的中点H,连接HE、HF,根据三角形中位线定理,证明HE=HF,从而∠1=∠2,再利用平行线性质,可证得∠BME=∠CNE.)
问题一:
如图2,在四边形ADBC中,AB与CD相交于点O,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF,分别交DC、AB于点M、N,判断△OMN的形状,请直接写出结论;
问题二:
如图3,在△ABC中,AC>AB,D点在AC上,AB=CD,E、F分别是BC、AD的中点,连接EF并延长,与BA的延长线交于点G,若∠EFC=60°,连接GD,判断△AGD的形状并证明.
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