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第五章相交线与平行线
同学们,你们对粕交线、平行线一定不陌生吧!
你看,大桥上的钢集和钢索,棋盘上的横线和竖线.学校操场上的双杠.教室中的课桌面、,黑板面相邻的两条边与相对的两条边都给
我们以相交线、平疔线的形第.你能庄身边再找到一些相交线和平疔线的实例吗?
两条直线相交能彫成哪些角?
这些角有什么粘征?
什么样的两条直线互柏垂直?
垂线有什么性质?
什么样的两条直线互相平庁?
互相平疔的直线有什么特征?
怎样平移一个图形?
这些,都是本辛要学习的内容.
』相交线
5.1.1相交线
ra>1-1
握紧把手时.随看两个把手之间的角逐渐变小.剪刀刃之间的角也相应变小.直到剪开布片•如果把旳刀的构造看作两条相交的W线,这就关系到曲条相交直线(intersectionlines)所成的角的问题.
任意画两条相交的直线.在形成的四个角(图5.1-2)中.两两相配共能组成几对角?
各对角存在怎样的位置关系?
根据这种位置关系将它们分类.
分别量一下各个角的度数.各类角的度数有什么关系?
为什么?
在图5.1-1转动剪刀把手的过程中.这个关系还保持吗?
两直线相交
所形成的角
分类H
位置关系|大小关系
€B
、2/7
Z1和Z2Z2和z_
ZlZ2
Z和ZZ和Z
厂fD
Z3Z4
图5.1-2
Z1和Z3Z_和Z_
Z1和Z2有一条公共边("・它们的另一边互为反向延论线(Z1和Z2互补).貝有这种关系的两个角・勺.为邻补角(adjacentanglesonastraightline).
Zl和/3有一个公共顶点O并H.Z1的两边分别MZ3的两边的反向延氏线・具冇这种位遼关系的两个角,互为对顶角(verticalangles).
在图5,1-2中,Z1与Z2互补,Z3与Z2互补.由“同角的补角相等"・可以得出Z1=Z3.类似地.Z2=Z4.这样.我们得到:
对顶角相等.
你能利用这个性质解释前面观察中的现象吗?
例如图5,1-3.直线a、b相交.Zl=40\求Z2.Z3.Z4的度数.
解,由邻补角的定义.可得
Z2=180°-Z1=180°-40°=110°;
由对顶角相等•可得
Z3=Z1=4O°°
4=Z2=140°・
对顶角吗?
如果其中一个角是35°・其他三个用各是多少度?
这个馬是90—115°、h呢?
5-1.2垂线
图xl-6
如图5・1-7.
1.用三角尺或量命器画已知直线/的垂线.这样的垂线能画出几条?
2.经过直线/上一点人画/的垂线.这样的垂线能画出几策?
3.
经过直线/外一点〃画/的垂线,这样的垂线能画出儿条?
经过一点(L2知直线匕或直线外).能価出已知直线的一条垂线•并且只能画出一条垂线■瞼
过一点有且只有一条直线与己知点线垂直.
1
练习
画一条线段或射线的垂线.
就是画它们所在立
线的垂线.如图.
请你过点P画出线心B<
射线.4〃的垂线.
2
Q
P
•B
A
P
•
AIf
V
(1)
(2)
A
PB
V,7
、
⑶
图5.1-9
如图5・1-9.连接直线/外一点P与直线Z上各点(人A】▼,Aj・・・・・其中PO_LI(我们称P0为点P到
直线/的垂线段).比较拔段卩(丿・PA・PA2.
PA3.…的长短.这些线段中•哪一条最短?
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中.垂线段最短.
简单•说成’垂线段锻短.
fl线外一点到这条直线的垂线段的氏度.叫做点到直线的距离.
现在・你知道水渠该怎么挖了吗?
在图I•.画出来.如果图中比例尺为1:
100000.水渠大约耍挖名K?
2.如图.直线AB.CDEF相交于点Q
(1)
(2)
(3)
复习巩固匚
写出匕/VOZB()E的邻补角:
写岀ZDOA、ZEOC的对顶角$
如果ZAOC=50°・求Z"OD、Z(OB的度数.
(第2题)
3.找出图中互相垂育的线段,并用三角尺检脸.
4.如图.在一张半透明的纸上画一条直线人在/上任取一点P・在/外任取-点Q・折出过点"且与/垂直的IT线.这样的直线能折出儿条?
为什么?
过点Q呢?
5.如图,HAE丄BC,CF丄AD.垂足分别为比F.
(第4軀)
D
(ft6tf)
(第5即
“.如图・用ht角器iWiZAOB的平分线OC・在(XT:
任取一点P・比较点P到(讥、(M的距离的大小.
综合运用
7.如图•比线人乩CD相交于点ZE(r=70\0A平分ZE(X.\求ZBOD的ftft.
«.困中是对顶你能说;I:
用它测城角的原理吗?
9・建筑匚人常在-根细绳上拴•个重物,做成一个“铅锂”.挂铅锤的线总乘住于地面内的任何血线•当这条线贴近墙壁时•说明培与地面垂耳请你也做•个铅寮检脸••下你的课京桌腿等•叫看起来与地而垂血的物体足件姗实与地向垂m
(第9聽》(第10
hi.如图.这是小明鬧学在体ffiftk跳远后留下的脚印.他的跳远成绩址多少(比例尺为1:
150)?
拓广探索
11.如圈.AB1I.HCA/.B为垂足.那么九B.C三点在耐一条直线上吗?
12.直线八〃、(Q相交于点O.
(1)OE、OF分别是ZAOC、ZBOD的平分线.画出这个图形.
(2)射线OE、OF在同-条血线上吗?
⑶画乙AOD的平分线(心(疋与OG冇什么位鞋关系?
10
选学
“观察与猜想
看图时的錯觉
規察以下19形.并回签所提的问題.
1.圈1中的线段"与”哪一条牧?
田1
2.图2中的圆a大还是an夕圮?
3.图3中的四边形是正方形吗?
图3
侏对自己的结论有砂吗?
和用劃度尺和三用尺爻一童、测一测・这时你的苓案是什么?
要对事物作出某种判斯.总是虽于对这个亨物的观常、实於与理考,其中观察和实脸是作出判斷的玄妥依携.所以,观察必灰认鼻、仔细,不能规枝大•+、马马虎虎.有时观糜得出的猜想不一定正确.还要借助于实脸进行栓脸.
图4屮的线“与〃互相平行吗?
如何检验?
学习了后而的知识后・你的检验方法会更多.
12M.s>
5.2.1平行线
如图5.2-1,分别将木条a、b与木条(•钉在一起.并把它们想象成两端可以无限延伸的三条直境.转动s直线"从在c的左便1与苴毁b相交逐步变为在右侧与”相交.想象一下・在这个过程中.有没有直线"与直线〃不相交的位置呢?
在木条转动过程屮.存在一个直线G与直线厶不相交的位JT,这时直线d与b互相平行(parallel),记作aHb.
平行线在生活中是很常见的(图5.2-2)・你还能举出其他一些例子吗?
在同一平面内,两条玄线有几种位置关系?
动手画一画.
C
B・
本书中所•说的基本审实足人们在长期实践屮总结出来的结论,展衣亨实也称为公理,它可以作为以后推理的依扯
在图5.2-1转动木条&的过程中.有几个位置使得a与力平行?
如图5.2-3,过点H画直线“的平行线,能画出几条?
再过点「画直线。
的平行线.它和前面过点B画出的直线平行吗?
通过观察和画图.可以体验一个基本M实(平行公理):
经过直线外一点.有且只有一条直线与这条直线平行.
同样.我们还有:
如果两条直线都与第三条直线平行.那么这两条直线也互相平行.
也就是说;如果b//a.g那么b//c(图5・2・4)・
图5.2I
14
5.2.2直线平行的条件
Q
V因为Z2=Z3.而Z3=Z1(为什么).所以Z1
同位角相等,两克线平行;
=Z2.即同位角相等.从而a//b.这样.由方法1・町以得出利用内错角判定两条直线平行的另-种方法;
内错角相寻,两直线平行;
方法2两条直线被第三条直线所戏.如果内错角相等.那么这两条直线平行.
同旁內角互补.
两克绒平行.
—J
利用同旁内角■有判怎两条直线平行的第三种方法;
方法3两条直线被第三条直线所截.如果同旁内角互补.那么这两条直线平行,
h
1
2
a
图5.210
例在同一平面内,如果两条貢线都眶百于同一条直线・那么这的条直线平行吗?
为什么?
分析:
垂直总与直角联系在一起.我们学过哪些判断两条亶线平行的方法?
答:
这两条直线平行.理山如下:
如图5.2-10.
因为〃丄"•c丄
所以Zl=Z2=90°.
从而b//c(为什么)・
你还能利用氏他方法说明b//c吗?
这是小明同学自己制作的英语抄写纸的一部分(图5.2-11).其中的横榕坝互相平行吗?
你有多少种判别方法?
复习巩固
I.如图.为了加匍房屋.要在屋架上加一根横梁DE.使DE//BC.如果ZABC=31\Z/ADE应为多少度?
(第1題)(第Z题)
2•如图.•个弯形骨逍AMD的拐角ZABC=120°・Z〃(D=60°・这时说管道
An//cr)对吗?
为什么?
3.如圏.这是两条道路互相垂直的交通路口.你能画岀它的平面示意图吗?
类似地.你能画出胸条道路成75°角的交通路口的示总图吗?
4.如图.宜线sb、「被直线?
所截.北得Z1=Z2=Z3・
(1)从Z1=Z2可以得出哪两条直线平行?
根据是什么?
(2)从Z1=Z3nJ以得出哪两条宜线平行?
根据是什么?
(3)青线a、b、「互相平行吗?
根据是什么?
5•如图,冇一块玻璃,用什么方法可以检査相对的两边是否平行?
(第5題》(第。
眩)
仇根据图中所给出的条件.找出互相平行的直线和互相垂宜的直线.
7・读下列语句.并画出图形;
(1)点卩是立线人“外一点,i[线经过点卩,r与r[线abr行;
⑵血线AB、是相交克线•点P&ftmAB.CD外的一点.也线EF经过点P且与直线平行.与直线CD相交于E.
&如图•利用平行线可以设计一些图案.请你设计一些类似图案.并把你的设计与同学们交流一下.
(第8越)
9借助血尺、三角尺和量用器・在图中找出互相平行的直线和互相垂直的直线.
g如图.为了说明示总图中的平安大道与长安街是互相平行的•在地图上ttftJZl
=90\你能通过盛贰图中C标岀的氏他的角来验证这个结论吗?
说岀你的理你
11.观察如图所示的长方体.用符号表示下列两梭的位置关系;
AJ3,AB.AA}AB・人卩GD・
ADBC・
你能在教电里找到这些位餐关系的实例吗?
与同学讨论•下.
12.两条燃被第三条直线所般,如果同位角相零・町以得出内错角
相氛同旁内角互补.如果内错角相职怎样得到同位角相轨同旁内角互补?
平行线的性质
利用坐标纸上的直线或者用
利用同位角相等.或者内错角相等.或者同旁内角互补.可以判定两条直线平行.反过来.如果两条直线平行.同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢?
直尺和三角尺画两条平行线
alib,然后.画一条截线t•与这
两条平行线相交,标出这些角
度量这些角,把结果填入下表;困5.3-1
角
ZI
Z2
Z3
Z4
•度数
角
Z5
Z6
Z7
Z8
度数
各对同位角、内错角.同旁内角的度数之间有什么关系?
写出你的猜想:
两条平行线被第三条直线所截,同位角
.内错角,同旁内角.
再任意画一条截线乩同样度量并计算各个角的度数,你的猜想还成立吗?
•
第五草
平行线具有性质:
性质1两条平行线被第三条直线所截.同位角相等.
性质2两条平行线被第三条直线所截.内错角相等.
性质3两条平行线彼第三条直线所截・同旁内角互补.
你能根据性质1・说出性质2、性质3成立的道理吗?
例如:
如图5・3-2・
因为a//b.
所以Z1=Z2().
又Z3=(对顶角相等)・
所以Z2=Z3.
类似地・对于性质3・你能说岀道理吗?
例图5.3-3是一块梯形铁片的残余部分,秋得ZA=100°・Z«=115°・梯形另外两个角分别是多少度?
图5.3-3
解:
因为梯形上、下两底互郴平行.所UZA与ZD互补,ZE与ZC互补.
于是
ZD=180°-ZA=!
80o-100<>=80°•
ZC=180°-ZB=180#-115°=65°.
所以梯形的另外两个角分別是80°、65°・
阳5.34
用三角尺和直尺画平行线.做成一张5X5个格子的方格纸.观察做出的方格纸的一部分(图5.3-4),线段BiCi,BG,…,B>CS都与两条平行的橫线人艮和A2C5垂直吗?
它
们的长度相等吗?
可以发现.线段BiCuftQ.….BsG同时垂直于两条平行的直线A民和AG・并且它们的长度相等•像这样・同时垂直于两条平行线・并H夹在这两条平行线间的线段的长度•叫做这两条平行线的距离•
C
/
°
如图5.3-5.如果AB//CD.在CD上仕取一点E・向AB作垂线段EF・这时.EF是否也
(11
.D
供具Vp环7C:
-lx.IIJTT1FCDixtx.匸「A
的长度d是平行线AB、CD的距离吗?
/
It
rB
15.3-5
前面.我们学过一些对某一件乍悄作出判断的语句,例如:
<1)如果两条直线都与第三条直线平行.那么这
两条直线也互相平行,
<2)等式两边加同一个数.结果仍是等式:
(3)对顶角相等.
像这样判断一件那情的语句•叫做命题(proposition).许多命题都由题设和结论两部分细成.题设是已知事项,结论是由已知弟项推出的M项.
命题通常写成“如果・・・・・・那么……"的形式.这
时■”如果”后接的部分是题设•“那么"后接的部分是结论.例如.上面的命题(】)中两条点线都与第三条直线平行•’是题设.“这两条直线也互相平行”是结论.
(1)“等式两边乘同一个数.结果仍是等式”是命题吗?
它的题设和结论分别是什么?
(2)命题“两条平行线被第三条直线所截,内错角相等”是正确的吗?
命题•'如果两个角互补.那么它们畏邻补角”呢?
再举出一些命题的例子.讨论一下它们是否正确.
复习巩固
I.如图.一条公路两次转弯后.和原来的方向相同.如枭第•次拐的角址36°・第二次拐的角尺务少度?
为什么?
综合运用
6.选择题;
(1)如图■由AB//CLXnfW得到()
(A)Z1=Z2.
(C)Z1=Z4.
(B)Z2=Z3.
⑴)Z3=Z4.
(2)如图.AB//CD//EF・那么ZBAC4-ZACE4-^CEF=()
(A)l&T.
(B)270:
(D)540:
CO360:
(第6fl)
7・光线在不同介质中的传播速度是不同的.因此当光线从水中对向空代时■要发生折射.由于折射率相同.所以在水中平行的光线,在空气中也是平行的.如图,Zl=45\Z2-122\求图中其他角的度数.
&如图•用式子表示下列句子,
(1)因为Z1和Z2相等・根据“内错角相等.两直线平行”.所以A〃和EF丫iri
⑵因为DEHCT行.根据"两点线平行.同位用相等J所=ZB.
Z3=“
(第9题〉
叭如阳・这是一个国际象棋棋盘的示总图,它共有8行8列・仿照它做出一张国际象棋的棋盘纸.类似地•你还能做出一张中国象棋的棋盘纸吗?
10.操场中的柑交线与平行线.
(1)举出操场中一些相交线、垂线、平行线的例子i
(2)
如果要你画岀一个篮球场地.你怎样做才能保证相应的线垂宜或平行呢?
不妨在纸匕试一试・
(第12題)
3信息技术应用
选学
探索两条直线的位置关系
利用图形计幫若戎计菲机等倍息技术工具.可以很方便•克观地探索两条克线的位疋关系.下而・我们以《几何禹板》软件为価Hit明.
I.探索邻补角,对顶角的关系
画两条相交充线4”、CD(ffi1).农它们所成的4个商中.哪些互为邻补帘?
哪些互为对顶角?
度童这四个血的度软・它们的大小有什么关系?
抱动点BAAC・这个关系还保持吗?
图1
乙探索垂线段的性质
如困2.H)丄/•成八在克线/上运动.观察PO和P4的长度.你能发现什么结论?
Z
P
F?
J=2ft9cm
75?
=4..)0cm
AC
]
)1
1»2
3.探索平行线的性质
如田3・过点「画亢线人"的平行线・度走所形成的8个用的度戟,它们有什么关系?
境另田3总面的表格:
角的类型
第一组
第二组
第三组1
第四组II
同位仰
ZFCE和ZCAB
内错角
ZDCS和Z"“
同旁内角
ZACE和ZCAH
关系
拖动AA.这个关系还成立吗?
如图•再任意画两条克线以及它们的截线.类似地.度童它们所形成.的8个南的度敦.它们存崔上述的关系吗?
他动ABA点观茶这些角的度數•什么时候克线人B和
和用上而的规律.你能过点C画亢线A"的平行线吗(图5)?
你冇儿种方法?
利用软件的画斎功能试一试.
仔细观察下面一些美丽的图案(图5.4-1)•它们有什么共同的特点?
能否根据其中的一部分绘制出整个图案?
M5.4-1
图5.4-2
可以把半透明的纸盖在图5・4・2上,先描出一个雪人.然垢按同一方向陆续移动这张纸.冉描出第二个、第三个……(图5.4-3).
ffl5.4-3
1«5.II
在所画出的相邻两个雪人中,找出三组对应点(例如,它们的鼻尖A与4・帽顶”与纽扣C与—).连接这些对应点.观察得出的线段.它们的位置、长短有什么关系?
可以发现.AA,//BB7/CC,.并且AAf=BHf=cc.
再作出连接一些其他对应点的线段•它们是否仍有前面的关系?
2•新图形中的每一点•都是由原图形中的某一点移动后得到的,这两个点是对应点.连接各组对应点的线段平行且相等.
图形的这种移动.叫做平移变换・简称耳移
(translation).
图形平移的方向.不一定足水平的•如图5-1-5.
0B4~S
平移在我们日常生活中是很常见的.利用平移也町以制作很多美丽的图案.例如,住计算机上画出一个图形.然拆用取标把它拖到-个新位乱或把它复制•然后粘贴到这页文件的另一位实质上都是平移•你能举出生活中一些利用平移的例子吗?
例如图5.4-6<1),平移三角形ABC.使点A移动到点A,画出平移后的三角形八'叱・
分析:
图形平移后的对应点有什么特征?
再作出点B和点C的对应点厅、C、能确定ZVVBL吗?
解:
如图5.4-6
(2),连接/W.过点B作/W的平行线人在Z上截取=则点B就是点B的对
应点.类似地,你能作出点C(KJ对应点C\并进-步他到平移后的三角形A'B'C'吗?
动手试一试.
复习巩固
I.卜列图案可以由什么图形平移形成?
11111N/N/
1111111K4\/T\/
II1
2.
/1K
(第2题)
如图.通过平移・你能用它组成什么图案?
试•试.把你的图案与同学们交流•下.
3.
在方格纸中平移三角形ABC.使点.4移列点M•点B和点C应移到什么位置?
再将点A由点M移到点N・分别画岀两次平移后的三角形;如果直接平移三角形ABC・使点A移到点N・它和我fl前面得到的三角形位置相同吗?
4.
如图.•束些行光线(其屮每网条光线m村平行)止对杵一个图案及它后啲的瑞壁.这个图案与它在墙匕的影子的形状和大小有什么关系?
说出其中的逍理.
综合运用
5.用平移方法说明怎样得岀平行四边形的面积公式S=ah.
<95®>
"•许多类丽的图案郁足用平移的方法绘制而成的.如图,观察它们的变化规律,你能类似地设计一些图案吗?
㊁◎㊁◎◎◎总◎㊁◎
(第6越)
拓广探索
7.(造桥选址问題)如图.A和B两地在•条河的两岸.现要在河上造一座桥MM桥造在何处才能便从.4到〃的路径AUXB放短?
(假窒河的曲岸是平行的直线.桥嘤与河垂轧)
(第7题)
选学
阅读与思考
几何学的起源
我们生活的世界址处存农酋关于数量和空间的问題.数学中以空间形式(简称形)为研究对韋的分更.叫做几何学.它有希悠久的历史.
在古埃及.向于尼罗河经常泛滥而需要不斯整修土地.由此测*土地的方法引超人们的晝視.几何学的英文单诃KeOniHry就是曲£
O(土地)和hlc!
t\f(测曼》纽成的.我凶古代対形的研究也与测童关系密切.夏禹治氷时期就己有規、4£v准、縄爭测童工具・约公尢前】000年的西周初期.人们已经知遗了立角三対
形的”勾三.股四•弦五"(即如果支角三角形的两条从4埃及金字城町以发现.巧时
直介边的长分别是3和!
・那么针边的长畏5)的*人们(2華握林度很髙的儿何^WfUil
因.
实.大量审实说明.测量活动是几何学形成的直接原算方法•
人类从幵始制作和使用工几起.就幵始研究工具的适愛、休积、外表装饰辛,这也对几何学的产生起了促进作用.从现存的旧无器时代的一些工具.可以•看出当时的人们已能於制出几有较复杂的儿何進型的器皿.在新石器时代制作的闊器上.已出现圆、三角形、正方形竽恳本因形.以及史R粮的对称几何图案、等分3]周花纹爭.
随着时间的推移.人们斜方格纹彩紳(辭耶甘船旳崔灼的实践中柚扩“
恤深财形的认识.得剑了许$关于形的如识和硏究形的方法.约公龙前300年.古帝貉敕学家欧几里拜(Euclid)广逆收集和研完前人的减果.将已有的关于形段歎的知识作了系统编摊・写成了《原本》一书.达是儿何发展史上的一个里翟碑.
活动I你有多少种画平行线的方法学习了平行线后,李強、张明、王玲三位同学分别想岀了过一点
画一条JL线的平行线的斯的方法.他们分别是这样做的?
李强
过点P作4线A>
作22=21
⑷
张明
你还冇其他方法吗?
动手试一试.与同学们交流一下.
活动2画出你的上学路线
如图,这是王非同学画的自己上学的路线.你能画
活动3设计美丽的图案
利用平移.可以设计非常美丽的图案.例如右图中毎一匹马都可以由正方形上的平移得到.如下图所示.
类似地.你还能设计一些图案吗?
一.本章知识结构图
二、回顾与思考
1•在平面内.不重合的两条直线的位置关系有两种:
相交、平行.在研究平行钱时.常常是通过有关的角来判断直线平行和反映平行线的性质的.下面是本章学到的一些数学名词.你能用自己的
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