高中的常见函数图像与基本性质.docx
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高中的常见函数图像与基本性质
标准实用
常见函数性质汇总及简单评议对称变换
常数函数
f(x)=b
(b∈R)
y
b
1)、y=a
和x=a
的图像和走势
2)、图象及其性质:
函数
f(x)的图象是平行于
x轴或与x轴重合(垂直于
y轴)的直线
O
一次函数
f
(
x
)=
kx
b
k≠
0,
b∈
R)
+(
1)、两种常用的一次函数形式
:
斜截式——
y
点斜式——
f(x)=kx+b
2)、对斜截式而言,
k、b的正负在直角坐标系中对应的图像走势:
3)、|k|越大,图象越陡;
|k|
越小,图象越平缓
Ox
4)、定义域:
R
值域:
R
单调性:
当
0时
;当
k<
0时
k>
奇偶性:
当b=0时,函数f(x)为奇函数;当
b≠0时,函数f(x)没有奇偶性;
反函数:
有反函数(特殊情况下:
K=±1并且b=0的时候)。
补充:
反函数定义:
例题:
定义在r上的函数y=f(x);y=g(x)都有反函数,且
f(x-1)和g-1(x)函数的图像关于
R
g(5)=2016,求f(4)=
周期性:
无
5)、一次函数与其它函数之间的练习
1、常用解题方法:
2)点关于直线(点)对称,求点的坐标
2、与曲线函数的联合运用
f(x)=b
x
y=x对称,若
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标准实用
反比例函数
f
(
x
)=
k
(
k≠,
值不相等永不相交;
k
越大,离坐标轴越远
)
x
0k
k>0时,函数f(x)的图象分别在第一、第三
图象及其性质:
永不相交,渐趋平行;当
象限;当k<0
时,函数f(x)的图象分别在第二、第四象限;
y
f(x)=
双曲线型曲线,x轴与y轴分别是曲线的两条渐近线;
ax
b
既是中心对成图形也是轴对称图形
cx
d
定义域:
(,0)(0,)
值
域:
(,0)(0,)
x
O
单调性:
当k>0时;当k<0时
周期性:
无
奇偶性:
奇函数
反函数:
原函数本身
补充:
1、反比例函数的性质
2、与曲线函数的联合运用(常考查有无交点、交点围城图行的面积)——入手点常有两个——⑴直接带入,
利用二次函数判别式计算未知数的取值;⑵利用斜率,数形结合判断未知数取值(计算面积基本方法也基于此)
3、反函数变形(如右图)
1)、y=1/(x-2)和y=1/x-2的图像移动比较
2)、y=1/(-x)和y=-(1/x)图像移动比较
3)、f(x)=axb(c≠0且d≠0)(补充一下分离常数)
cxd
(对比标准反比例函数,总结各项内容)
二次函数
(
)
2
(
y
f(x)=ax2
bxc
一般式:
f
x
ax
bxca
顶点式:
f(
x)
a(x
k)2
h(a
0)
两根式:
f(
x)
a(x
x1)(x
x2)(a0)
图象及其性质:
①图形为抛物线,对称轴为,顶点坐标为
②当
a
0时,开口向上,有最低点
当a
0时。
。
。
。
。
O
x
③当
=
>0
时,函数图象与
x轴有两个交点
(
);当<0时,函数图象与x轴有一个交点(
);当=0时,函数图象与x轴没有交点。
④
()
2
(
0)
关系
()
2
(
0)
f
x
ax
bxca
fx
axa
定义域:
R
值
域:
当a
0时,值域为(
);当a
0时,值域为(
)
单调性:
当a
0时;当a
0时.
奇偶性:
b=/≠0
反函数:
定义域范围内无反函数,在单调区间内有反函数
周期性:
无
补充:
1、a的正/负;大/小与和函数图象的大致走向(所以,a决定二次函数的)
2、
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标准实用
3、二次函数的对称问题:
关于x轴对称;关于y轴对称;关于原点对称;关于(m,n)对称
4、二次函数常见入题考法:
⑴交点(交点之间的距离)⑵值域、最值、极值、单调性⑶数形结合判断图形走
势(选择题)
指数函数
f(x)ax(a
0,a1)
,系数只能为1。
图象及其性质:
f(x)=ax(0
1、恒过(0,1),无限靠近x轴;
2、f(x)
ax与f(x)
(1)x
ax关于y轴对称;但均不
a
具有奇偶性。
3、在y轴右边“底大图高”;在y轴左边“底大图低”——靠近关系
定义域:
R值域:
(0,)
单调性:
当a0时;当a0时。
奇偶性:
无
反函数:
对数函数f(x)logax(a0,a1)周期性:
无
补充:
1、
2、图形变换
Log
1/x
-x
ln(x-1)和lnx-1
2
和Log2
对数函数(和指数函数互为反函数)
f(x)logax(a0,a1)
图象及其性质:
①恒过(1,0),无限靠近y轴;
②f(x)logax与f(x)log1xlogax关于x轴对称;
a
③x>1时“底大图低”;0<x<1时“底大图高”(理解记忆)
定义域:
R
值
域:
(0,
)
单调性:
当a
0时;当a
0时;
奇偶性:
无
反函数:
指数函数
f(x)
ax(a
0,a
1)
周期性:
无
补充:
1、
a1)yf(x)=ax(a1)
Ox
y
f(x)=logax(a1)
Ox
f(x)=logax(0a1)
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标准实用
双钩函数
f(x)
x
1
)
(变形式
x
图象及其性质:
①两条渐近线:
②最值计算:
定
义域:
值
域:
单
调性:
奇偶性:
奇函数
反函
数:
定义域内无反函数
周期性:
无
注意:
双沟函数在最值、数形结合、单调性的考察中用得较多,需特别注意最值得算法
幂函数(考察时,一般不会太难)
无论n取任何实数,幂函数图象必然经过第一象限,并且一定不经过第四象限。
不需要背记,只要能够快速画出n=±1,±1/2,±3,,1/3,0,的图象就行
注意:
掌握y=x3的图像;
掌握y=ax3+bx2+cx+d的图像(当a>0,当a<0时);
补充:
利用数形结合,判断非常规方程的根的取值范围。
例:
P393,例题10
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函数yf(x)图象变换
一.平移变换
y=f(x)+b
向上平移b个单位
二.对称变换
向左平移a个单位
向右a平移个单位
y=f(x-a)
y=f(x+a)
y=f(x)
①y=f(-x)与y=f(x)关于y轴对称;
②y=-f(x)与y=f(x)关于x轴对称;
③y=-f(-x)与y=f(x)关于原点对称;
④y=f-1(x)与y=f(x)关于直线y=x对称;
⑤y=|f(x)|的图象可将y=f(x)的图象在x轴下方的部分以余部分不变.
向下平移b个单位
y=f(x)-b
x轴为对称轴翻折到x轴上方,其
⑥y=f(|x|)的图象:
可将y=f(x),x≥0的部分作出,再利用偶函数关于y轴的对称性.
三、伸缩变换
①y=Af(x)(A>0)的图象,可将y=f(x)图象上每一点的纵坐标伸(A>1)缩(0<A<1)到原来的A倍,横坐标不变而得到.
②y=f(ax)(a>0)的图象,可将y=f(x)的图象上每一点的横坐标伸(0<a<1)缩(a>1)到
原来的1,纵坐标不变而得到.
a
四、函数及图象(大致图象)
典型例题精讲
例1:
已知y=f(x)的图象如图2—7所示,则下列式子中能作为f(x)的解析式是(A)
.
2
2|
|1
2
-
x
+
.
2
.
2
2
1
x
x
B
.x
2|
1C
x-
1|D
x
x
A
|
|
解析:
当f
(x)=
x2
2|x|
1
时,f(x)
(|x|
1)2
||x|
1|
x
1
(x
1)
1
x
(0
x
1)
1
x
(
1
x0)
(x1)
(x
1)
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标准实用
其图象恰好是上图.
例2:
画出函数y=lg|x+1|的图象.
解析:
y=lg|
x+1|
lg(x
1)
(x
1)
.
lg(x
1)
(x
1)
例3:
要将函数y=2
x的图象通过平移变换得到
y=1
的图象,需经过怎样的变换?
x
1
x
解析:
y=1
1
1
个单位,再沿y轴方向向上平移
1
个单位,即可得
-,先沿x轴方向向左平移
x1
到y=1的图象.x
例4:
方程kx=1(x2)2有两个不相等的实根,求实数k的取值范围.
解析:
设y1=kx①
y2=1(x2)2②
方程①表示过原点的直线,方程②表示半圆,其圆心(2,0),半径为1,如图2—9.易知当OA与半
圆相切时,kOA3,故当0≤k<3时,直线与半圆有两个交点,即0≤k<3时,原方程有两
333
个不相等的实根.
例5:
作函数f(x)=x+1的图象.x
分析:
f(x)=x+1不能由已知函数图象变换得到,故需对函数f(x)的性质进行研究.
x
解析:
函数的定义域是(-∞,0)∪(0,+∞),
∵f(-x)=-f(x),
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∴
f(x)是(-∞,
)∪(,+∞)上的奇函数,
0
0
又
|
f(x)
|=|
x+1
|
=
x
+
1≥,当且仅当
|
x
=
1
时等号成立,
x
|
|
2
|
|x|
∴当x>0时y≥2;当x<0时,y≤-2;
当x∈(0,1)时函数为减函数,且急剧递减;
当x∈[1,+∞)时函数为增函数,且缓慢递增,又x≠0,y≠0,
∴图象与坐标轴无交点,且y轴是渐近线,作出第一象限的函数的图象,
再利用对称性可得函数在定义域上的图象,如图
2—10所示.
评述:
(1)熟悉各种基本函数图的“原型”是函数作图的一项基本功;先研究函数的性质,再利用性质作图则能减少作图的盲目性,提高图象的准确性.
(2)与图象有关的“辅助线”要用虚线作,以起到定形、定性、定位、定量的作用.
例6:
f(x)是定义在区间[-c,c]上的奇函数,其图象如图所示.
令g(x)=af(x)+b,则下列关于函数g(x)的叙述正确的是(B)
A.若a<0,则函数g(x)的图象关于原点对称
B.若a=-1,-2
C.若a≠0,b=2,则方程g(x)=0有两个实根
D.若a≥1,b<2,则方程g(x)=0有三个实根
解析:
将
f(
x)图象上每点的纵坐标变为原来的a倍,横坐标不变,再将所得图象向上(
>0
b)
或向下(b)平移
b
个单位,得g(x)=af(x)+b的图象.
<0
|
|
例
6:
(全国Ⅱ)把函数y=ex的图象按向量a=(2,3)平移,得到
y=f(x)的图象,则
f(x)=
(
C)
(A)ex-3+2
(B)e
x+3-2(C)ex-2+3(D)e
x+2-3
例7:
菏泽模拟)如图为函数y=m+log
nx
mn
为常数,
则下列结
(
的图象,其中,
论正确的是
(
D
)
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标准实用
(A)m<0,n>1(B)m>O,n>l(C)m>O,0 例8: (安庆模拟)函数y=e-|x-1|的图象大致是(D) 例9: 在直角坐标系xOy中,已知△AOB三边所在直线的方程分别为 x=,y=,x+y= , 0023 30 则△AOB内部和边上整点(即横、纵坐标均为整数的点)的总数是(B) A.95 B.91 C.88 D.75 解析: 画出图象,补形做出长方形 AOBC,共有整点数 × = ,而六点(, ),(,), 11 16 176 0 1038 (6,6),(9,4),(12,2),(15,0)在长方形的对角线上,所以符合题意的点数为(176+6)×12 =91. 例10: 将函数y=log1 2 x的图象沿x轴方向向右平移一个单位,得到图象C,图象C1与C关于原 点对称,图象C2与C1关于直线y=x对称,那么C2对应的函数解析式是_____. 解析: : log1 1 log1 (-x 1 : y= log 1 的反函数得y Cy= (x-);由-y= -)得C1 2(-x-);求C1 2 2 =-1-2x. 例11: 若函数y=|-x2+4x-3|的图象C与直线y=kx相交于点M(2,1),那么曲线C与该 直线有个交点. 解析: (数形结合法)作y=|-x2+4x-3|的图象,知其顶点在M(2,1).过原点与点M(2,1)作直线y=kx,如图. 文案大全 标准实用 ∴曲线C与直线y=kx有四个交点. 例12: 作函数y= (1)|x-1|的图象. 2 解析: 2(x1) (x 1), (1)y= (x 故它在区间[1,+∞)上的图象, y= 2x1 1). 可由 -x (x≥)的图象沿 x轴方向向右平移 1 个单位得到 2 0 在区间(-∞,1)上的图象,可由y=2x(x<0)的图象沿x轴方向向右平移1个单位得到. 例13: 已知函数y=f(x)(x∈R)满足f(a+x)=f(a-x),求证y=f(x)的图象关于直线 x=a对称. 证明: 设p(x0,y0)是y=f(x)图象上的任一点,则有 y0=f(x0), 设点P关于直线x=a的对称点为p′(x′,y′),则有 x 2ax0, y y0 x0 2ax 由y0=f(x0) 即 y y0 y f(2a x) f[a(ax)] 又f(ax) f(a y′=f[a-(a-x′)]=f(x′). x) 即点p′(x′,y′)也在y=f(x)的图象上. ∴y=f(x)的图象关于直线x=a对称. 例14: 2x 1 的图象,并利用此图象判定方程 2x1 =x+a有两个不同的实数解 画出函数y= 时,实数a所满足的条件. 解析: 2 1 在y≥ 0 2 1 2 x 图象是抛物线 y2=x+ 上的部分.把y=x+a代入y2= x+,得(x+a) 2= 文案大全 标准实用 +,即x 2+(a-)x+a2-=,由= 0 得a=, 1 2 1 1 0 1 此时直线与抛物线相切.又因抛物线顶点是(- 1,0), 2 可知当直线过点(-1,0)时,即a=1时直线与抛物线有两交点, 22 故当1≤a<1时直线与此抛物线有两个交点,即原方程有两不同实数解. 2 文案大全
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