陕西省数学竞赛预赛试题及其答案.docx
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陕西省数学竞赛预赛试题及其答案
2016年全国高中数学联赛陕西赛区预赛试题
(4月24日上午8:
30—11:
00)
第一试
一、选择题(每小题6分,共48分.给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1、已知集合M={1,2,3,,10},A是M的子集,且A中各元素的和为8,则满足条件的子集A共有()
A.8个B.7个C.6个D.5个
⎧3x-y≤0
⎨
2、在平面直角坐标系中,不等式组⎪x-3y+2≥0表示的平面区域的面积是()
3
A.B.
2
⎪y≥0
⎪
⎩
C.2D.2
3、设a,b,c是同一平面内的三个单位向量,且a⊥b,则(c-a)⋅(c-b)的最大值是()
A.1+B.1-C.-1D.1
4、从1,2,,20这20个数中,任取3个不同的数,则这3个数构成等差数列的概率为()
1133
A.
B.C.D.
5101938
5、A,B是抛物线y=3-x2上关于直线x+y=0对称的相异两点,则|AB|等于()
A.3B.4C.3D.4
6、如图,在棱长为1的正四面体ABCD中,G为∆BCD的重心,M是线段AG的中点,则三棱锥M-BCD的外接球的表面积为()
A.πB.3π
248
BD
7、设函数f(x)=x3+ax2+bx+c(a,b,c均为非零整数).
若f(a)=a3,f(b)=b3,则c的值是()C
A.-16
B.
-4
C.4D.16
8、设非负实数a,b,c满足ab+bc+ca=a+b+c>0,则++的最小值为
()
A.2B.3C.
D.2
二、填空题(每小题8分,共32分)
9、在数列{an}中,a4=1,a11=9,且任意连续三项的和都是15,则
a2016=.
10、设m,n均为正整数,且满足24m=n4,则m的最小值是.
11、设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=2x,若对x∈[1,2],不等式af(x)+g(2x)≥0恒成立,则实数a的取值范围是.
12、设x∈R,则函数f(x)=|2x-1|+|3x-2|+|4x-3|+|5x-4|的最小值为.
第二试
xsinπ+ycosπ
一、(本题满分20分)设x,y均为非零实数,且满足55
xcosπ-ysinπ
55
9π
=tan.
20
(1)求y的值;
(2)在∆ABC中,若tanC=y,求sin2A+2cosB的最大值.
xx
二、(本题满分20分)已知直线l:
y=3x+4,动圆O:
x2+y2=r2(1 ABCD的一个内角为600,顶点A,B在直线l上,顶点C,D在圆O上,当r变化时,求菱形ABCD的面积S的取值范围. 三、(本题满分20分)如图,圆O1与圆O2相交于P,Q两点,圆O1的弦PA与圆O2相切,圆O2的弦PB与圆O1相切,直线PQ与∆PAB的外接圆O交于另一点R.求证: PQ=QR. 四、(本题满分30分)设函数f(x)=lnx+a(1-1),a∈R,且f(x)的最小值为0, x (1)求a的值; (2)已知数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)+2(n∈N+),设 Sn=[a1]+[a2]+[a3]++[an],其中[m]表示不超过m的最大整数.求Sn. 五、(本题满分30分)设a,b,c为正实数,且满足abc=1,对任意整数n≥2,证明: ++≥.
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