人教版八年级数学下册 第18章《平行四边形》讲义 第10讲 中位线及矩形.docx
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人教版八年级数学下册第18章《平行四边形》讲义第10讲中位线及矩形
第10讲中位线、矩形
第一部分知识梳理
知识点一:
三角形中位线
三角形的中位线的定义:
连结三角形两边____________叫做三角形的中位线.
三角形中位线性质:
三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半.
知识点二:
基本概念
1、矩形的定义:
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形。
2、基本性质:
(1)角:
矩形的四个内角都是直角;
(2)边:
矩形的对边平行且相等;
(3)对角线:
矩形的对角线相等且互相平分;
(4)对称性:
矩形是轴对称图形,中心对称图形,旋转对称图形;
(5)面积:
S=长×宽。
知识点三:
矩形的判定方法
(1)有一个角是直角的平行四边形叫做矩形;
(2)有三个角是直角的四边形是矩形;
(3)对角线相等的平行四边形是矩形;
(4)对角线相等且互相平分的是矩形。
知识点四:
直角三角形中线的性质
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。
第二部分考点精讲精练
考点1、中位线
例1、如图,D,E,F分别为△ABC三边的中点,则图中平行四边形的个数为_________.
例2、如图,在□ABCD中,AC、BD相交于点O,点E是AB的中点,OE=3cm,则AD的长是_________cm.
例3、如图,已知四边形ABCD中,R、P分别是BC、CD上的点,E、F分别是
AP、RP的中点,当点P在CD上从C向D移动而点R不动时,那么下列结论成立的是()
A、线段EF的长逐渐增大B、线段EF的长逐渐减小
C、线段EF的长不变D、线段EF的长与点P
(例1)(例2)(例3)
例4、如图,四边形ABCD中,一组对边AB=DC=4,另一组对边AD≠BC,对角线BD与边DC互相垂直,M、N、H分别是AD、BC、BD的中点,且∠ABD=30°
求:
(1)MH的长;
(2)MN的长。
例5、已知:
如图,E为□ABCD中DC边的延长线上的一点,且CE=DC,连结AE分别交BC、BD于点F、G,连结AC交BD于O,连结OF.求证:
AB=2OF.
举一反三:
1、如图,已知△ABC的周长为1,连结△ABC三边的中点构成第二个三角形,再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形,依此类推,第2021个三角形的周长为。
2、如图所示,在△ABC中,AC=6cm,BC=8cm,AB=10cm,D,E,F分别是AB,BC,CA的中点,求△DEF的面积.
3、如图:
已知D、E、F分别是△ABC各边的中点,求证:
AE与DF互相平分.
4、如图所示,已知在□ABCD中,E,F分别是AD,BC的中点,求证:
MN∥BC.
5、如图,已知四边形ABCD中,点E,F,G,H分别是AB、CD、AC、BD的中点,并且点E、F、G、H有在同一条直线上.求证:
EF和GH互相平分.
6、如图所示,在ABCD中,EF∥AB且交BC于点E,交AD于点F,连接AE,BF交于点M,连接CF,DE交于点N,求证:
MN∥AD且MN=
AD.
考点2、矩形的性质
例1、若顺次连结一个四边形各边中点所得的图形是矩形,那么这个四边形的对角线()
A、互相垂直 B、相等 C、互相平分D、互相垂直且相等
例2、如图所示,O为矩形ABCD的对角线交点,DF平分∠ADC交AC于E,BC于F,∠BDF=15°,则∠COF=______.
例3、如图,矩形
的面积为4,顺次连结各边中点得到四边形
,再顺次连结四边形
四边中点得到四边形
,依此类推,求四边形
的面积是 。
(例2)(例3)
例4、如图,已知矩形ABCD,一条直线将该矩形ABCD分割成两个多边形,若这两个多边形的内角和分别为M和N,则M+N不可能是()
A.360
B.540
C.720
D.630
例5、如图,ABCD是矩形纸片,翻折∠B、∠D,使BC、AD恰好落在AC上。
设F、H分别是B、D落在AC上的两点,E、G分别是折痕CE、AG与AB、CD的交点。
(1)求证:
四边形AECG是平行四边形;
(2)若AB=4cm,BC=3cm,求线段EF的长
举一反三:
1、如图,矩形ABCD中,E点在BC上,且AE平分∠BAC.若BE=4,AC=15,则△AEC面积为( )
A、15B、30C、45D、60
2、矩形的两边长分别为10cm和15cm,其中一个内角平分线分长边为两部分,这两部分分别为( )
A、6cm和9cm B、5cm和10cm
C、4cm和11cm D、7cm和8cm
3、矩形ABCD的两对角线AC与BD相交于O点,∠AOB=2∠BOC,若对角线AC的长为18 cm,则AD= cm。
4、如图,四边形ABCD是矩形,△PBC和△QCD都是等边三角形,且点P在矩形上方,点Q在矩形内.
求证:
(1)∠PBA=∠PCQ=30°;
(2)PA=PQ.
考点3、矩形判定
例1、已知:
如图,在△ABC中,∠BAC=90°,DE、DF是△ABC的中位线,连接EF、AD.求证:
EF=AD.
例2、设凸四边形ABCD的4个顶点满足条件:
每一点到其他3点的距离之和都要相等.试判断这个四边形是什么四边形?
例3、如图,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
(1)试判断线段BD与CD的大小关系;
(2)如果AB=AC,试判断四边形AFBD的形状,并证明你的结论;
例4、如图,□ABCD中,AE、BF、CG、DH分别是各内角的平分线,E、F、G、H为它们的交点,求证:
四边形EFGH的矩形。
例5、如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,E、O是边AC,AB上的中点,BF∥AC,连接EO交BE于F.
(1)求证:
△AOE≌△BOF;
(2)求证:
四边形BCEF是矩形.
举一反三:
1、在四边形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C,要使四边形ABCD为矩形,还需添加一个条件,这个条件可以
2、已知:
如图,平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E,F,G,H,求证:
四边形EFGH是矩形。
3、如图,在矩形ABCD中,AB=20cm,BC=4cm.动点P从点A开始沿AB边以4cm/s的速度运动,动点Q从点C开始沿CD边以1cm/s的速度运动.点P和点Q分别从点A和点C同时出发,当其中一点到达终点时,另一点也随之停止运动.设动点的运动时间为ts,
(1)当t=1秒时,四边形APQD的面积是多少?
(2)当t为何值时,四边形APQD是矩形?
4、如图,在△ABC中,AB=AC,D为BC中点,四边形ABDE是平行四边形.求证:
四边形ADCE是矩形
5、在□ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,连接AF、CE.
(1)求证:
△BEC≌△DFA;
(2)连接AC,当CA=CB时,判断四边形AECF是什么特殊四边形?
并证明你的结论.
考点4:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例1、如图,BE和AD是△ABC的高,F是AB的中点,则图中的三角形一定是等腰三角形的有( )
A、2个B、3个C、4个D、5个
例2、如图所示,BD、CE是三角形ABC的两条高,M、F分别是BC、DE的中点。
求证:
MN⊥DE
例3、过矩形ABCD对对角线AC的中点O作EF⊥AC分别交AB、DC于E、F,点G为AE的中点,若∠AOG=30o
求证:
OG=
DC
例4、如图,四边形ABCD中,∠DAB=∠DCB=90o,点M、N分别是BD、AC的中点。
MN、AC的位置关系如何?
证明你的猜想。
例5、如图,已知:
△ABC中,AD是高,CE是中线,DC=BE,DG⊥CE,G是垂足.求证:
(1)G是CE的中点;
(2)∠B=2∠BCE.
举一反三:
1、在△ABC中,∠ACB=90°,CE是AB边上的中线,那么与CE相等的线段有________,与∠A相等的角有________,若∠A=35°,那么∠ECB=________。
2、如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,点D是斜边AB的中点,DE⊥AC,垂足为E,若BC=4,CD=
,则BE的长为( )
A、
B、
C、
D、
3、如图,M是Rt△ABC斜边AB上的中点,D是边BC延长线上一点,∠B=2∠D,AB=16cm,求线段CD的长.
4、如图,在Rt△ABC中,CD是斜边上的中线,CE是高.已知AB=10cm,DE=2.5cm.
(1)求:
∠BDC的度数;
(2)求△BCD的面积.
5、如图所示;过矩形ABCD的顶点A作一直线,交BC的延长线于点E,F是AE的中点,连接FC、FD。
求证:
∠FDA=∠FCB
第三部分课堂小测
1、矩形具有而一般的平行四边形不具有的性质是()
A、对角相等B、对角线相等
C、对边相等D、对角线互相平分
2、如图,△ABC中,∠C=90°,D在CB上,E为AB之中点,AD、CE相交于F,且AD=DB.若∠B=20°,则∠DFE=( )
A、40°B、50°C、60°D、70°
3、如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=8,AD平分∠BAC交BC于点D,点E为AC的中点,连接DE,则△CDE的周长为( )
A、20B、12C、14D、13
4、在矩形ABCD中,对角线交于O点,AB=0.6,BC=0.8,那么△AOB的面积为;周长为.
5、已知,矩形的一条边上的中点与对边的两个端点的连线互相垂直,且该矩形的周长为24cm,则矩形的面积为cm2。
6、如图所示,在四边形ABCD中,E,F,G,H分别是AB,BC,CD,AD的中点,则四边形EFGH是平行四边形吗?
为什么?
7、如图,将矩形ABCD沿着直线BD折叠使点C落在点 C'处,BC'交AD于E,AD=8,AB=4,BE=5,求△BED的面积。
8、如图所示,A,B两点被池塘隔开,在A,B外选一点C,连接AC和BC,并分别找出AC和BC的中点M,N,如果测得MN=20m,那么A,B两点间的距离是多少?
9、如图,AD//BC,AB=DC,∠BDC=∠BAC=90°,BC=2AD=4CM,E是BC中点
问:
(1)求△ADE周长
(2)△ADE是什么三角形?
说明理由.
(3)线段AC与DE有什么关系?
10、如图在△ABC中,D、E分别为AB、AC上的点,且BD=CE,M、N分别是BE、CD的中点.过MN的直线交AB于P,交AC于Q,线段AP、AQ相等吗?
为什么?
第四部分提高训练
1、如图所示,在□ABCD中,AB=2AD,∠A=60°,E,F分别为AB,CD的中点,EF=1cm,那么对角线BD的长度是多少?
你是怎样得到的?
2、如图所示,在△ABC中,E为AB的中点,CD平分∠ACB,AD⊥CD于点D.
试说明:
(1)DE∥BC;
(2)DE=
(BC-AC).
3、如图,△ABC中,∠B=2∠C,AD为BC边上的高,点E为BC的中点.
求证:
DE=
AB.
4、
(1)如图1,四边形ABCD是矩形,E为AD上一点,且BE=ED,P为对角线BD上一点,PF⊥BE于点F,PG⊥AD于点G.判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由.
(2)如图2,当四边形ABCD变为平行四边形,其他条件不变,若∠ABC=60°,判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由.
(3)如图3,当四边形ABCD满足∠ABD=90°,AB=3,BD=4,其它条件不变,判断PF、PG和AB的数量关系并说明理由.
第五部分课后作业
1、如果矩形的一条对角线与一边的夹角为40°那么两条对角线所夹锐角的度数为________
2、矩形
中,对角线
、
交于点
,
于
若
则
.
3、如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8,BC=6.若DE是△ABC的中位线,延长DE交△ABC的外角∠ACM的平分线于点F,则线段DF的长为( )
A、7B、8C、9D、10
4、如图,已知OP平分∠AOB,∠AOB=60°,CP=2,CP∥OA,PD⊥OA于点D,PE⊥OB于点E.如果点M是OP的中点,则DM的长是( )
A、2B、
C、
D、2
(3)(4)
5、已知AD是三角形ABC的中线,E是AD中点,F是BE的延长线与AC的交点。
求证:
AF=
FC
6、如图,在等腰直角△ABC中,AB=BC,点E在AB上,DE⊥AC,DE交AC于点D,M是EC的中点,求证:
(1)△MBD是等腰三角形;
(2)将△DEA绕点A逆时针旋转,使点D落在AB上,如图
(2)中的“△MBD为等腰直角三角形”仍然成立吗?
请说明理由.
7、在等边△ABC中,点D是BC边的中点,以AD为边作等边△ADE.
(1)求∠CAE的度数;
(2)取AB边的中点F,连接CF、CE,试证明四边形AFCE是矩形.
8、如图,平行四边形ABCD中,对角线AC、BD相交于点O,延长OA到N,ON=OB,再延长OC至M,使CM=AN,求证:
四边形NDMB为矩形.
9、如图所示,△ABC中,点O是AC边上一个动点,过点O作直线MN∥BC,设MN交∠BCA的平分线于E,交∠BCA的外角平分线于点F.
(1)求证:
EO=FO
(2)当点O运动到何处时,四边形AECF是矩形?
并证明你的结论.
第10讲中位线、矩形
参考答案
第二部分考点精讲精练
考点1、中位线
例1、3
例2、6
例3、C
例4、
由勾股定理:
例5、
举一反三:
1、
2、
3、
4、
5、
6、
考点2、矩形的性质
例1、A
例2、75°
例3、
例4、D
例5、
举一反三:
1、B
2、B
3、9
4、
考点3、矩形判定
例1、证明:
∵DE,DF是△ABC的中位线,
∴DE∥AB,DF∥AC,
∴四边形AEDF是平行四边形,
又∵∠BAC=90°,
∴平行四边形AEDF是矩形,
∴EF=AD.
例2、
例3、
例4、
例5、
举一反三:
1、略(符合条件即可)
2、
3、
(1)当t=1秒时,四边形APQD的面积是46㎝2;
4、
5、
考点4:
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
例1、D
例2、
例3、
例4、
例5、
举一反三:
1、AE,BE;∠ACE;55°
2、D
3、
4、
5、
解:
连接BF。
∵矩形ABCD
∴AD∥BC
∴ ∵点F是AE的中点 ∴BF=1/2AE=AF(RT△斜边上的中线等于斜边的一半) ∵AD=BC (矩形的对边相等) ∴△ADF≌△BCF(SAS) ∴ 第三部分课堂小测 1、B 2、C 3、C 4、0.12;1.6 5、32 6、 7、 8、AB=40m 9、 10、 第四部分提高训练 1、解: 连接DE. ∵四边形ABCD是平行四边形, ∴AB CD. ∵DF= CD,AE= AB, ∴DF AE. ∴四边形ADFE是平行四边形. ∴EF=AD=1cm. ∵AB=2AD,∴AB=2cm. ∵AB=2AD,∴AB=2AE,∴AD=AE. ∴∠1=∠4. ∵∠A=60°,∠1+∠4+∠A=180°, ∴∠1=∠A=∠4=60°. ∴△ADE是等边三角形,∴DE=AE. ∵AE=BE,∴DE=BE,∴∠2=∠3. ∵∠1=∠2+∠3,∠1=60°,∴∠2=∠3=30°. ∴∠ADB=∠3+∠4=90°. ∴BD= = (cm). 2、解: 延长AD交BC于F. (1)∵AD⊥CD, ∴∠ADC=∠FDC=90°. ∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠FCD. 在△ACD与△FCD中, ∠ADC=∠FDC,DC=DC,∠ACD=∠FCD. ∴△ACD≌△FCD,∴AC=FC,AD=DF. 又∵E为AB的中点,∴DE∥BF,即DE∥BC. (2)由 (1)知AC=FC,DE= BF. ∴DE= (BC-FC)= (BC-AC). 3、证明: 如图,取AC的中点F,连接EF、DF, ∵AD为BC边上的高, ∴CF=DF, ∴∠CDF=∠C, ∵点E为BC的中点, ∴EF是△ABC的中位线, ∴EF∥AB,EF= AB, ∴∠CEF=∠B, 由三角形的外角性质,∠CEF=∠CDF+∠DFE, ∵∠B=2∠C, ∴∠CDF+∠DFE=2∠CDF, ∴∠CDF=∠DFE, ∴EF=DE, ∴DE= AB. 4、 第五部分课后作业 1、80° 2、4(提示: △ABO是等边三角形) 3、B 4、C 5、 6、 7、 8、 9、
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