应对初中生代数概念理解障碍的策略.docx
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应对初中生代数概念理解障碍的策略
应对初中生代数概念理解障碍的策略
“这么简单的问题都不会做,你是怎么搞的?
”W老师指着试卷上的一道题目。
对着一位学生说到。
笔者定睛一看,问题是“
的算术平方根是”学生的答案是3。
我不禁哑然失笑。
对于这样的问题,刚学的学生会弄错并不奇怪,但到中考复习时还有很多学生会错。
这说明学生对平方根、算术平方根的概念,在初学时没有真正的理解。
还有的学生,让他背诵某个概念,他会一字不错的背出来,但让他用该概念解决某个实际问题时,则常常无从下手,动弹不得。
这也是学生没有真正把握概念实质的缘故。
这些现象表明,学生在初学概念时,对概念的理解存在障碍。
《数学课程标准》总体目标指出:
通过义务阶段的数学学习,学生能够获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识(包括数学事实、数学活动经验)以及基本的数学思想方法和必要的应用技能。
这就要求学生理解基本的数学概念,体会其中的思想方法,了解它的产生背景、应用和在后继学习中的作用。
但是,学生在学习数学概念的过程中理解水平不高,在理解过程中存在着障碍。
无论是后进生、中等生还是优秀生,在概念学习中或多或少地存在着某些障碍。
因此,对数学概念的理解障碍进行研究十分必要。
一、问卷调查
为了了解学生代数概念理解的情况,笔者设计了一份调查问卷。
初中生代学概念理解的调查问卷
班级姓名
亲爱的同学:
你好!
老师想了解同学们代数概念的理解情况,以便教学更具有针对性,请根据你目前的学习情况,如实填写下面的问卷。
1.你认为数学是什么?
( )
A数学是一门符号的游戏
B数学就是学习概念、公理、定理,然后做题
C数学是训练思维的一个材料,是一种思维的体操
D说不清
2.你认为在学习数学概念中,应该()
A理解B死记C知道就可以了D说不清
3.每次学习的新概念,你能否记住?
()
A完全能B知道怎么回事,但说不出来C有点印象D说不清
4.你在学习新概念后,能否用自己的语言叙述概念?
()
A能B基本能C有时能D不能
5.你认为你的数学老师概念教学的方式如何?
()
A很好,我愿意学B还行,能接受
C枯燥、乏味,没意思D说不清
6.你认为教师使用实物、教具、多媒体等辅助工具对你理解数学概念()
A很有帮助B有些帮助C没有帮助D说不清
7.对于下列概念,尽可能写出较多的形式:
①无理数②负数③平方根④分式⑤一元二次方程⑥函数
11.按你的理解,给出下列概念的含义:
①无理数:
②负数:
③平方根:
④分式:
⑤一元二次方程:
⑥函数:
2012年4月9日晚自修。
笔者在自己任教的两个班中进行了问卷调查。
时间30分钟。
参加问卷的学生人数91人,下发问卷91份,收到问卷91份。
经检查有效问卷91份。
二、问卷结果分析
1。
学生的回答情况统计
选项
题号
A
B
C
D
1
0.90%
21.08%
65.66%
12.35%
2
80.72%
3.31%
12.95%
3.01%
3
9.94%
56.33%
26.20%
7.53%
4
3.31%
15.18%
41.27%
40.24%
5
35.24%
49.10%
11.14%
4.52%
6
52.71%
42.47%
1.20%
3.61%
2.结果分析
客观题:
(1)21.08%的学生认为数学就是学习概念、公理、定理,然后做题,这反映出一些学生对于数学学习缺乏正确的认识;有12.35%的学生对数学学习很模糊,这表明部分学生数学学习兴趣不浓。
(2)80.72%的学生认为学习数学概念需要理解,这表明绝大部分学生渴望理解数学概念,知道“理解”对于概念学习的重要性。
(3)对于每次学习的新概念,有56.33%的学生选择是知道怎么回事,但说不出来,这反映大多数学生对于新概念的理解不够透彻,说明大多数学生在概念学习中存在理解障碍。
(4)40.24%的学生认为在学习新概念后,不能用自己的语言叙述概念,有41.27%的学生认为不能很好地用自己的语言叙述概念,这反映学生不能顺利地用自己的语言叙述数学概念,表明学生在用自己的语言叙述数学概念方面存在着明显的障碍。
(5)对于数学教师概念教学的方式,有49.10%的学生表现出不太满意,有11.14%的学生表现出很不满,这说明一些教师的概念教学达不到学生的要求,一些学生认为,数学老师讲得不深动、不简洁,使上课时心情吊不上来,兴奋不起,在一定的程度上影响他们对数学概念的理解。
(6)有52.71%的学生认为教师使用多媒体等辅助工具对概念理解很有帮助,这说明大多数学生希望老师运用实物、教具、多媒体等辅助教具进行概念教学。
主观题:
(7)本题共有6个小题,学生回答情况统计如下:
①正确回答如:
等,都是与
或根号有关;
错误回答如:
3.13789……,3.1257404……,2.412345……等,任意写出一个小数形式;
②正确回答如:
-2,
等;
错误回答如:
-x等;
③正确回答如:
±2,
等;
错误回答如:
等;
④能写对的学生极少,绝大部分都认为
等为分式;把分数、整式、分式混为一谈,实际上就是没有理解分式与整式的概念;
⑤正确回答:
大部分学生都写成ax2+bx+c=0(a≠0)的形式,有的学生忘记(a≠0)这个条件;
错误回答如:
x=y2+1,y=ax2+bx+c,1+x=4等;
⑥能写的学生基本上都写出一个或几个函数解析式,只有个别学生画出函数图象(直线、抛物线),别的图像没有,列表法表示的没有;
(8)本题共有6小题,能把这6小题中的概念意思表述完全正确的人没有,有的学生忘记了,大多数学生只能回忆起某些概念中的某些本质属性。
3.个案访谈
对于调查问卷中的第7、8题,虽然问卷能够考察学生的回答情况,但无法反映学生具体的思维过程;针对问卷中出现的典型错误以及不明白的地方,根据学生的回答情况,笔者有针对性的选取部分学生进行个别访谈,作为问卷调查的必要补充,旨在进一步了解错误产生的原因。
具有代表性的访谈如下:
访谈1
师:
(面带微笑指着第11题)你这道题的回答全部是“不知道”,真的都不知道吗?
生:
(低着头,无所谓的表情)……
师:
在你所学过的数中,你能说出一个或几个无理数吗?
生:
(停顿一会儿)
,……
师:
还有呢?
生:
(摇摇头)
师:
(指着第10题第①题)你不是知道
是无理数吗?
这里为什么空着?
生:
……
师:
是懒得写吗?
生:
不是。
师:
那是为什么呢?
生:
做题时没有想,一时写不出。
师:
(指着第10题中另外几个空着的题目)这些是不是也是没有认真想呢?
生:
不是的。
师:
那是什么原因?
生:
(低着头)我不会。
师:
看来你对数学没什么兴趣。
生:
(点点头)……
访谈2
师:
从你的答题情况来看,你还是认真思考了,是吗?
生:
(点点头)是的。
师:
学习一个新概念后,你课后背诵吗?
生:
从不背诵,我觉得能做题就可以了。
师:
(指着第11题第④小题)你认为分式就是几分之几?
生:
嗯。
师:
是分数吗?
生:
是。
师:
(指着第10题第④小题)你又认为
是分式,那说明分数与分式一样了?
生:
(沉默一会儿,面带难色)……好像不一样。
师:
你认为分式应该是怎样的式子?
生:
……
师:
是分式吗?
生:
应该是吧?
师:
再想想,分式具有怎样的特征?
生:
(思索)分母中含有字母。
师:
真的很棒!
师:
(指着第10题第①小题)
是无理数吗?
生:
是的。
师:
你是怎样得出的?
(该学生无理数含义的描述是正确的)
生:
用计算器算的。
师:
(拿出计算器)你算算看。
生:
(用计算器算,拿给教师看,结果是3.142857143…)是无限不循环小数。
师:
计算器上显示的末位3是8四舍五入得到的。
(然后教师进行列式除法计算,得出
是无限循环小数)
生:
(面带惊讶)真的是啊!
4.结论
由测试结果以及个案访谈,可以得出以下结论。
(1)部分学生对数学学习缺乏兴趣,“兴趣是最好的老师”,对数学学习没有了兴趣,也就无所谓学习的动机与欲望,数学学习无从谈起。
(2)学生在表示概念时,采用的各种表示方式大多与概念本身脱节。
(3)学生的数学语言表达能力、语言转换能力欠缺。
(4)学生不重视对概念的记忆,只能记得概念的部分属性,以偏概全。
三、代数概念理解障碍成因分析
1.学生自身的原因
(1)数学概念学习动机不强
数学学习动机是学生学习数学的内部驱动力,是个体发动和维持其行为的一种心理状态。
人本主义的主要教育观点是:
“每个学生是他或她自己的‘主宰’,……,教师诱发和提供学习机会,学生只有通过他们自己的努力,才能使真正的学习出现”;瑞士心理学家皮亚杰的主要观点之一是:
“认识发生于主客体之间的相互作用。
”这个论点突出了主体在认识中的能动作用。
他强调了学习过程中学生的兴趣和主动性的问题;他说:
“儿童是具有主动性的人,他的活动受兴趣和需要的支配。
”由此,学生“真正的学习”“只有通过他们自己努力”才能出现。
“认识发生”与“主动性”有关。
也就是说,如果学生缺少自己努力、缺乏主动性——学习动机,真正的学习便不会出现,出现的仅仅是徒有其形式的学习!
认识的发生也是不可能的。
此时,概念理解障碍的发生也就不可避免了;
调查发现,34.34%的学生对数学学习没有正确的认识,认为数学学习是枯燥的,没有多大兴趣,在主观上没有战胜困难的信念;研究表明,数学学习兴趣是学习动机中最现实、最活跃的成份,数学学习成绩与数学学习兴趣有显著地相关性,高水平的兴趣产生较大的学习动力,使学生的注意集中于数学学习,以积极的心态投入学习。
数学概念学习充满着挑战,充满着种种困难,需要学生以积极的心态投入进去,肯花时间,肯钻研,才能理解哪些抽象的概念;而概念学习又具有连贯性,前面的概念,往往是后继概念学习的基础,前面概念没理解,后继学习更谈不上,概念理解障碍接踵而至。
(2)学生数学认知结构体系混乱
一般情况下,当学生处于非学习状态时,它的认知结构处于相对静止状态;然而,当学生学习新知识时,首先要激活原有的认知结构,才能使新旧知识发生联系,进一步理解、学习,若学生原有的认知结构不完善,势必导致在学习理解新知识时产生障碍。
学生在学习一个新概念后不能在心理上建立起一个适当有效的认知结构,即虽然学生已有经验中对理解形式化的定义拥有足够丰富的类型表征,但却无法使这些具有丰富内涵的表征与形式定义之间,以及这些表征之间建立起自洽性关联,从而导致学生对对概念理解不全,甚至错误。
例如:
本人在校内教师听课中,曾经碰到这样一个情景:
(浙江版数学七上4.5合并同类项)教师讲好同类项、合并同类项概念之后,让学生做同类项练习,请几名学生上讲台板演,其中有一题为:
5+3ab-2ab;
学生1:
5+3ab-2ab=6ab
教师:
你的理由是什么?
学生1:
5+3-2=6;故结果为6ab;
教师:
如果现有一个水果拼盘,里面有5个梨子和3个苹果,现在吃掉2个苹果,你看拼盘里还剩下什么?
学生1(思考片刻):
拼盘还有5个梨子和1个苹果;
教师:
你认为该题结果正确吗?
学生1:
(脸红啦,有点胆怯):
好像错了,5+3ab好像不能计算;
这个情景说明了一个事实,对学生来说,真实的生活情境或相关情境比形式定义更易被学生理解;同时也说明了学生学习同类项、合并同类项时,没能在其所构建的关于同类项、合并同类项的认知结构中建立起关于同类项、合并同类项的口头语言表征、图形表征、相关情境表征等各种表征之间的联系;因此,不能将同类项、合并同类项的形式定义与其原先具有的这些表征和经验作出必要的整合,导致了学生对这些概念的理解障碍。
(3)概念之间缺乏联系
概念记忆固然重要,因为记忆是过去感知过的事物在大脑中的反映。
但不得不注意到记忆通常具有不稳定性和模糊片段性。
由于学生接触数学概念时的已有知识经验不尽相同,具体情况也不同,许多学生无法建立概念之间的联系,尤其是与那些对于理解新的概念,运用新的概念有利的已有概念。
教学中碰到的许多后进生们,经常将记忆表象当作概念的精确定义,没有把表象合理组织、整合、深化,固而考虑问题只注意其中一个方面,而忽视其它方面,影响概念的理解和掌握;出现这种现象的根本原因就是没有建立起数学概念之间的联系。
例如无理数的定义,关键在于建立“无限”与“不循环”间的联系,然而,大部分同学不能建立起这两个概念之间的联系,他们认为:
无限就是不循环,不循环就是无限;从而导致对于新概念理解的障碍;学生在学习数学概念时,经常不去建立概念内部及概念之间的联系;导致学生所掌握的概念是孤立的,实质上,并没有真正理解数学概念,像那样孤立僵化地看待数学概念而产生的理解障碍,一般出现在同时有各种数学概念交织的复杂背景中,在这种背景中,学生往往同时接触多个数学概念,只有恰当地建立这些概念之间的联系,才能解决问题。
由于学生却经常孤立、僵化地运用每一个数学概念,结果导致以下情况的发生:
即学生对每一个概念都很熟悉,但问题仍然解决不了,或者概念定义背得很熟,但到运用时却不知所措。
经调查发现,有70.48﹪的学生认为在解决数学问题时,经常出错的原因是不能将问题与有关概念联系起来,根源就在于此!
因此,在概念教学中,应逐步培养学生建构数学概念网络和在概念运用中激活网络中相关结点的能力,增强学生对认知结构的建构和重组能力,以获得对概念深层次的理解。
2.外部因素的影响
(1)教材因素
现代认知心理学研究结果表明:
学生的数学学习是一个从量变到质变的过程,具有阶段性、层次性,具有螺旋式上升的特点。
因此,教学内容的安排应由浅入深,由易到难,循序渐进,符合学生的认知规律,如果教材的编排不当,教材呈现的知识点不连续或具有跳跃性,学生容易在该处产生理解障碍,由于在这些地方,学生学习所需要的准备知识,即认识结构中对新知识起固定作用的知识比较薄弱或根本不存在,于是给学生的理解带来一定的障碍。
例如浙江版初中数学教材中函数知识的编排就有不当之嫌,函数的概念、一次函数的内容被编排在八年级上册第七章,而反比例函数、二次函数的内容被编排在九年级上册第一、二章,时间跨度太长,对于函数知识的后续学习带来障碍;若不考虑学生的经验,忽视这一年龄组孩子的特定知识、概念的内在表达方式等主观方面因素,也会造成概念理解障碍。
如浙江版初中数学教材中平方根的概念就是学生比较难以理解的地方之一;学生在学习平方根概念之前,刚接触过平方运算,在他们的的经验中,平方运算只与“正”的联系在一起,而一个正数的平方根有正负两个数,这与他们的经验是非常不同的,于是就出现了学生对平方根概念学习的极大困难;与此同时,又要学习算术平方根的概念,而算术平方根又只能是正数或0,是一个数,这样就出现了有时要取正负两个值,有时又只能取一个值,从而引起学生理解的障碍。
(2)教师因素
数学是一门语言精炼,逻辑性较强的学科;若数学教师的语言表达能力不强,或者在教学中使用的语言不够合理也会造成学生理解上的困难,甚至错误;在听课中,我们发现教师的教学语言不当通常有以下几种情况:
其一,在讲授知识时,用词不准确,表达不科学,容易引起歧义;例如:
(-3)2与-32,前者教师读作:
负3的平方,后者读作:
负的3的平方,学生听起来好像是一样的;因此,学生总认为它们的结果是一样的,尤其在单独计算-32时,总是等于9;其二,语言不精炼、不简洁,对一些概念术语翻来覆去讲不清楚;其三,语言逻辑性、条理性缺乏,语意跳跃性较大,学生听起来不知所云。
数学教师在语言表达方面的这些缺陷无疑增加了学生理解知识的难度,给他们深刻理解知识带来很大的障碍。
受考试指挥棒的影响,“满堂灌”“轻过程,重结果”的课堂时有出现,数学概念教学常以大量练习代替概念学习,有些学校倡导“研究考试”、“研究试卷”的教法,顾名思义就是考什么教什么;从初一就开始与中考对口,平时训练、考试过于机械化,导致学生许多数学概念的不理解。
有的教师在教学中过多强调形式化的逻辑推理和形式化的结果,而对数学知识发现过程的展示注意较少,主要表现有:
其一,忽视概念的产生背景和约束条件。
比如:
在“零次幂”、“负整数次幂”教学中,只强调如何利用定义或公式计算幂的结果而忽视(a≠0)的约束条件。
这给学生对概念的深刻理解带来障碍。
其二,不注意揭示概念间的逻辑关系。
有些教师在概念教学中,不注意揭示概念间的逻辑关系,不能将新旧知识联系起来,只是孤立地呈现一些数学概念,这给学生在建立新旧知识的联系,以及在此基础上建构知识的意义带来一定的困难。
如:
方程与函数这两块知识的教学,在教材的编排上是分开的;但它们之间确是有联系的,函数解析式实际上就是方程。
许多教师在教学中并有向学生强调这两者之间的联系,从而给学生的函数学习带来一定的影响。
四、代数概念理解障碍消除策略
1.重视起始概念教学,丰富感性认识,引起学生兴趣
数学概念是在感性认识的基础上,经过理性的分析、综合、类比,最后再通过抽象和概括而形成;它具有高度的抽象性和概括性。
这种高层次的数学抽象若完全脱离数学直观,对于刚接触该知识的学生来说,常常显得茫然失措,不知所云。
由感性直观走向数学抽象,再由数学抽象返回到新的直观,丰富学生的感性直观与数学抽象之间的联系,是促进学生理解数学概念的重要途径之一。
概念引入是进行概念教学的第一步;引入的成功与否,对于学生概念理解有着重要的作用,概念引入就是要揭示概念发生的过程,就是要揭示概念发生的实际背景和基础,教学中,概念引入要和学生的认知水平、思维能力、兴趣、教材的实际需要等联系在一起。
教学片段:
问题1:
今天我们从学校出发去商业街参观,商业街距学校50千米,车的速度为40千米/时,那么经多少小时后到达?
问题2:
我们到达商业街后,看到门口的门票价格(成人每人20元,学生每人10元。
)我们有a个老师,b个同学,如果让你去买门票,你要付多少钱?
平均每人要付多少钱?
问题3:
进入商业街,在参观时我们了解到了展览馆的一些情况,请大家看…….(电脑显示问题:
①展览馆设有3个展厅,建筑面积共为a平方米,你知道平均每个展厅有多少平方米吗?
②展览馆内有展柜p个,展出馆藏漫画q件,平均每个展柜展出了多少件漫画?
)
问题4:
大家观察刚才得到的代数式:
20a+10b,
,哪些代数式是我们已学的?
哪些代数式是我们以前还没有学过的新的代数式?
学生:
(观察思考后)我们已学过的代数式有:
20a+10b,
;其中
是单项式;20a+10b是多项式,它们都是整式。
我们还没有学过的代数式有:
;
问题5:
观察这两个新的代数式,它们有什么共同特征?
与
20a+10b,
有什么区别?
学生:
(思考后)分母中含有字母。
问题6:
小学里学过的像:
这样的数,我们称它为什么数?
如果让你来给这些
代数式取个名字的话,你觉得该叫它什么?
学生:
(思考后)分式。
教师:
很好,大家的联想很丰富,这正是我们今天一起要来探究的内容(板书课题),那么怎样的代数式叫分式呢?
……
2.构建知识网络,从整体上理解概念
建构主义认为:
任何一个数学对象若仅被看作某个孤立的存在,则是不可认识的;数学概念之间有着密切的内部联系,R.斯根普曾指出:
个别的概念一定要融入与其它概念合成的概念结构中才有效用。
这是因为:
概念结构能为学生上位学习某个概念提供具体实例,为学生下位学习某个概念呈现包摄程度更高的概念,为并列结合学习某个概念提供有潜在联系的类比概念,使学生通过对这类相似或类推概念进行比较、归纳和概括之后获得概念图式,进而发展、形成良好的概念认知结构。
数学是系统性很强的学科,各种概念之间有着内在的逻辑联系,由低到高、由易到难、由简到繁、由分到合,系统性和序列性十分严格;每一章都有一个概念群,每个概念群都有前后顺序,相互联系,形成一个不可分割的整体。
因此,在数学教学中要注意整体性教学,引导学生对学过的知识进行有意识地结构化整理,促使学生对习得的数学知识在头脑中呈现出合理化的布局。
通过一定的策略引导、训练,促使学生不断地将外在的数学知识纳入到已有的认知结构中去,使其原有的认知结构得到不断的更新和重组,进而把层次分明的数学知识网络内化为学生头脑中条理化、有序化和网络化的结构。
例如:
在学习方程(组)、一次函数、二次函数知识之后,可让学生由“二次函数”的观念为出发点,回忆一次函数、正比例函数、一元一次方程、一元二次方程、二元一次方程、二元一次方程组的概念及它们之间的联系,从而建立起方程和函数之间的知识体系。
3.提高教师素质
现代建构主义学习观认为:
数学学习并非是一个被动接受的过程,而是一个主动建构的过程。
也就是说数学知识不可能从一个人迁移到另一个人,一个人的数学知识必须基于个人对经验的操作、交流,通过反省来主动建构。
任何数学知识的获得,都必须以学生已有的知识、经验等作为新的知识、新的建构的基础,都必须经历“建构”这样一个由“外”到“内”的转化过程。
因此,老师是不能把知识传递给学生的;教师教学工作的目的应是引导学生进行有效地建构数学知识的活动,教师要调动学生的学习积极性,激发学生的学习动机,当学生遇到困难时,教师应成为一个鼓励者和启发者,当学生取得进步时,教师应给予肯定,树立其学习的自信心;鼓励学生在学习中多回顾、勤反思,在学生回答问题、发表见解时,应鼓励学生持有不同的观点,参与学生讨论,为学生的学习创造一个良好的课堂环境;对于教师来说,早已熟悉每个数学概念,能够很容易找到概念的本质属性,而对于学生来说,一切都是陌生的,更多的时候他们对数学概念的含义还未真正的理解;因此,在新概念的教学中,要从学生的角度出发,把教师对概念的理解过程全部展示出来,好像自己也是个初学者一样,这样不仅可以让学生从中得到借鉴,同时也促使教师在教学设计中充分考虑到学生的认知层次,引导学生开展数学活动,更好的为学生服务。
俗话说:
“教无定法,但教学有法”。
由于每个数学概念自身的结构和形成是不尽相同的,因此,教学方法的选择显得尤为重要,根据不同的概念选择适当的教学方法,这有利于学生对概念的理解。
随着科技的迅猛发展,多媒体已走进课堂,利用多媒体辅助教学可以很好地处理“动”的问题;例如:
函数图象的教学、图形对称、平移、旋转等,让学生亲历知识的生成过程,生动、直观,化抽象为具体,有助于加深对数学知识的理解。
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