平面直角坐标系.docx
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平面直角坐标系
第一课时平面直角坐标系
1、有序数对
①定义:
有顺序的两个数a与b组成的数对叫做有序数对,记做(a,b)。
②有序数对的作用:
可以准确地表示出平面内一个点的位置。
注意:
有序数对的书写格式(a,b)间的分隔号是逗号而不是顿号
例1、判定下列有序数对书写格式的正误:
⑴(5、9)⑵(4,2)⑶4,6⑷(34)
例2、用1,2,3可以组成有序数对______对,分别是:
例3、类有序数对(x,y)满足方程x+y=5,则下列数对不属于这类的是______.
(A)(3,2)(B)(2,3)
(C)(5,1)(D)(-1,6)
2、平面直角坐标系
①确定直线上点的位置:
在直线上规定了原点、正方向、单位长度就构成了数轴。
数轴上的点可以用一个数来表示,这个数叫做这个点在数轴上的坐标.例如点A在数轴上的坐标为-3,点B在数轴上的坐标为2。
反过来,知道数轴上一个点的坐标,这个的点在数轴上的位置就确定了。
②确定平面上点的位置:
坐标平面内的点与有序数对是一一对应的
平面直角坐标系的引入:
平面内两条互相垂直、原点重合的数轴,组成平面直角坐标系,水平方向的数轴称为x轴或横轴,习惯取向右的方向为正方向,竖直方向上的数轴称为y轴或纵轴,习惯取向上的方向为正方向;两坐标轴的交点是平面直角坐标系的原点。
可以看出,原点O的坐标为(0,0);x轴上的点的纵坐标为0,例如(1,0),(-1,0)…;y轴上的点的横坐标为0,例如(0,1),(0,-1)….
建立了平面直角坐标系后,坐标平面就被两条坐标轴分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ四个部分,每个部分称为象限,分别叫做第一象限、第二象限、第三象限和第四象限。
坐标轴上的点不属于任何象限。
注意:
⑴坐标轴上的点不属于任何象限
⑵平面直角坐标系:
两条数轴 互相垂直 公共原点
⑶平面直角坐标系中两条数轴特征:
⑴互相垂直;⑵原点重合;⑶通常取向上、向右为正方向;⑷单位长度一般取相同的
⑷平面上点的表示:
平面内任意一点P,过P点分别向x、y轴作垂线,垂足在x轴、y轴上对应的数a、b分别叫做点p的横坐标、纵坐标,则有序数对(a,b)叫做点P的坐标。
记为P(a,b)。
注意:
横坐标写在前,纵坐标写在后,中间用逗号隔开.
⑸几个象限内点的特点:
点的位置
横坐标符号
纵坐标符号
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
例:
已知点A和一条直线MN,画出这个点关于已知直线的对称点?
解:
过点A作AO⊥MN于O,然后延长AO至OA′,使AO=OA′.
∴A′就是点A关于直线MN的对称点。
图示:
对称点的坐标
★⑹特殊位置的点的符号特征:
⑴平行于x的直线上的点的纵坐标相同;
纵坐标相同的点的连线平行于x轴;
⑵平行于y的直线上的点的横坐标相同;
横坐标相同的点的连线平行于y轴;
⑶横轴上的点纵坐标为0,表示为(x,0);
纵轴上的点横坐标为0,表示为(0,y);
坐标轴的点至少有一个是0;
⑷x轴对称的点的横坐标相同,纵坐标互为相反数,(a,b)关于X轴的对称点是(a,-b);
⑸关于y轴对称的点的纵坐标相同,横坐标互为相反数,(a,b)关于Y轴的对称点是(-a,b);
⑹关于原点对称的点的横坐标、纵坐标都互为相反数,点(a,b)关于原点的对称点是(-a,-b);
⑺点到坐标轴的距离
⑴点到X轴的距离为该点纵坐标的绝对值;
⑵到Y轴的距离为该点横坐标的绝对值。
例1、填空:
⑴点(3,-2)在第_____象限;(-1.5,-1)在第_______象限;
点(0,3)在____轴上;
⑵若点(a+1,-5)在y轴上,则a=______.
⑶点M(-8,12)到x轴的距离是_______,到y轴的距离是________.
⑷点A(-2,4)关于x轴的对称点是_________.
⑸点A在x轴上,距离原点4个单位长度,则A点的坐标是_____________.
⑹坐标平面内点P(m,2)与点Q(3,-2)关于原点对称,
则m=_____.
⑺若点P在第三象限且到x轴的距离为2,到y轴的距离为1.5,则点P的坐标是__________.
⑻点A(1-a,5),B(3,b)关于y轴对称,则a=___,b=____。
⑼在平面直角坐标系内,已知点P(a,b),且ab<0,则点P的位置在_____________。
例2、实数x,y满足(x-1)2+|y|=0,则点P(x,y)在
(A)原点(B)x轴正半轴
(C)第一象限(D)任意位置
例3、如果同一直角坐标系下两个点的横坐标相同,那么过这两点的直线()
(A)平行于x轴(B)平行于y轴
(C)经过原点(D)以上都不对
例4、已知坐标平面内点A(m,n)在第四象限,那么点B(n,m)在()
A.第一象限B.第二象限.C.第三象限D.第四象限
例5、已知点P(3,a),并且P点到x轴的距离是2个单位长度,求P点的坐标。
例6、下列关于A、B两点的说法中,
(1)如果点A与点B关于y轴对称,则它们的纵坐标相同;
(2)如果点A与点B的纵坐标相同,则它们关于y轴对称;
(3)如果点A与点B的横坐标相同,则它们关于x轴对称;
(4)如果点A与点B关于x轴对称,则它们的横坐标相同、
正确的个数是( )
A、1个 B、2个 C、3个 D、4个
3、用坐标表示地理位置
利用平面直接坐标系绘制区域内一些地点分布情况平面图的过程如下:
①建立坐标系,选择一个适当的参照点为原点,确定X轴、Y轴的正方向;
②根据具体问题确定适当的比例尺,在坐标轴上标出单位长度;
③在坐标平面内画出这些点,写出各点的坐标和各个地点的名称。
4、用坐标表示平移
①平移:
把一个图形整体沿某一方向移动一定的距离,图形的这种移动,叫做平移。
②平移后得到的新图形与原图形有什么关系?
平移后图形的位置改变,形状、大小不变。
③规律:
一般地,在平面直角坐标系中,如果把一个图形各个点的横坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向右(或向左)平移a个单位长度;如果把它各个点的纵坐标都加上(或减去)一个正数a,相应的新图形就是把原图形向上(或向下)平移a个单位长度。
④图形平移与点的坐标变化的关系:
例1、将点A(-2,-3)进行如下平移:
⑴将点A向右平移5个单位长度得到点A1,则点A1的坐标是;
⑵将点A向左平移3个单位长度得到点A2,则点A2的坐标是;
⑶将点A向右平移a(a>o)个单位长度得到点An,则点An的坐标是;
⑷将点A向左平移a(a>o)个单位长度得到点An´,则点An´的坐是。
⑸将点A向上平移5个单位长度得到点A1,则点A1的坐标是;
⑹将点A向下平移3个单位长度得到点A2,则点A2的坐标是;
⑺将点A向上平移a(a>o)个单位长度得到点An,则点An的坐标是;
⑻将点A向下平移a(a>o)个单位长度得到点An´,则点An´的坐标是.
例2、点A`(6,3)是由点A(-2,3)经过__________________得到的;点B(4,3)向______________移动得到B`(6,3)【注意题目中问的顺序】
例3、如图△ABC中任意一点P(x,y)经平移后对应点为P1(x+5,y+3),将△ABC作同样的平移到△A1B1C1。
求A1、B1、C1的坐标
平面直角坐标系动点问题
(一)找规律
1.如图1,一只跳蚤在第一象限及x轴、y轴上跳动,在第一秒钟,它从原点跳动到(0,1),然后接着按图中箭头所示方向跳动[即(0,0)→(0,1)→(1,1)→(1,0)→…],且每秒跳动一个单位,那么第35秒时跳蚤所在位置的坐标是( )
A.(4,0)B.(5,0)
C.(0,5)D.(5,5)
2、如图2,所有正方形的中心均在坐标原点,且各边与x轴或y轴平行.从内到外,它们的边长依次为2,4,6,8,…,顶点依次用A1,A2,A3,A4,…表示,则顶点A55的坐标是( )
A、(13,13)B、(﹣13,﹣13)
C、(14,14)D、(﹣14,﹣14)
3.如图3,在平面直角坐标系中,有若干个横、纵坐标分别为整数的点,其顺序按图中点的坐标分别为(1,0),(2,0),(2,1),(1,1),(1,2),(2,2),…的规律排列,根据这个规律,第2015个点的横坐标为.
4.在平面直角坐标系中,一蚂蚁从原点O出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位,其行走路线如下图所示。
(1)填写下列各点的坐标:
(____,____),
(____,____),
(____,____);
(2)写出点
的坐标(n是正整数);
(3)指出蚂蚁从点
到
的移动方向.
5.观察下列有序数对:
(3,﹣1)(﹣5,
)(7,﹣
)(﹣9,
)…根据你发现的规律,第100个有序数对是 .
6、观察下列有规律的点的坐标:
依此规律,A11的坐标为 ,A12的坐标为 .
7、以0为原点,正东,正北方向为x轴,y轴正方向建立平面直角坐标系,一个机器人从原点O点出发,向正东方向走3米到达A1点,再向正北方向走6米到达A2,再向正西方向走9米到达A3,再向正南方向走12米到达A4,再向正东方向走15米到达A5,按此规律走下去,当机器人走到A6时,A6的坐标是 .
8、如图,将边长为1的正三角形
沿
轴正方向连续翻转2008次,点
依次落在点
的位置,则点
的横坐标为 .
9、如图,在平面直角坐标系上有个点P(1,0),点P第1次向上跳动1个单位至点P1(1,1),紧接着第2次向左跳动2个单位至点P2(﹣1,1),第3次向上跳动1个单位,第4次向右跳动3个单位,第5次又向上跳动1个单位,第6次向左跳动4个单位,…,依此规律跳动下去,点P第100次跳动至点P100的坐标是 .点P第2009次跳动至点P2009的坐标是 .
10、如图5,已知Al(1,0),A2(1,1),A3(﹣1,1),A4(﹣1,﹣1),A5(2,﹣1),….则点A2007的坐标为 .
(二)几何综合问题
1、已知点A的坐标是(3,0)、AB=5,
(1)当点B在X轴上时、求点B的坐标、
(2)当AB//y轴时、求点B的坐标
2、如图,已知A、B两村庄的坐标分别为(2,2)、(7,4),一辆汽车在
轴上行驶,从原点O出发.
(1)汽车行驶到什么位置时离A村最近?
写出此点的坐标.
(2)汽车行驶到什么位置时离B村最近?
写出此点的坐标.
(3)请在图中画出汽车行驶到什么位置时,距离两村的和最短?
4.如图,在平面直角坐标系中,点A,B的坐标分别为(-1,0),(3,0),现同时将点A,B分别向上平移2个单位,再向右平移1个单位,分别得到点A,B的对应点C,D,连接AC,BD,CD.
(1)求点C,D的坐标及四边形ABDC的面积
(2)在y轴上是否存在一点P,连接PA,PB,使
=
,
若存在这样一点,求出点P的坐标,若不存在,试说明理由.
(3)点P是线段BD上的一个动点,连接PC,PO,当点P在BD上移动时(不与B,D重合)给出下列结论:
的值不变,
的值不变,其中有且只有一个是正确的,请你找出这个结论并求其值.
5.已知:
在平面直角坐标系中,四边形ABCD是长方形,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB∥CD,AB=CD=8cm,AD=BC=6cm,D点与原点重合,坐标为(0,0).
(1)写出点B的坐标.
(2)动点P从点A出发以每秒3个单位长度的速度向终点B匀速运动,动点Q从点C出发以每秒4个单位长度的速度沿射线CD方向匀速运动,若P,Q两点同时出发,设运动时间为t秒,当t为何值时,PQ∥BC?
(3)在Q的运动过程中,当Q运动到什么位置时,使△ADQ的面积为9?
求出此时Q点的坐标.
6.如图在平面直角坐标系中,A(a,0),B(b,0),(﹣1,2).且|2a+b+1|+
=0.
(1)求a、b的值;
(2)①在y轴的正半轴上存在一点M,使S△COM=
S△ABC,求点M的坐标.
②在坐标轴的其他位置是否存在点M,使S△COM=
S△ABC仍成立?
若存在,请直接写出符合条件的点M的坐标.
7.如图,在下面的直角坐标系中,已知A(0,a),B(b,0),C(b,4)三点,其中a,b满足关系式
.
(1)求a,b的值;
(2)如果在第二象限内有一点P(m,
),请用含m的式子表示四边形ABOP的面积;
(3)在
(2)的条件下,是否存在点P,使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等?
若存在,求出点P的坐标;若不存在,请说明理由.
8.在平面直角坐标系中,点A(a,b)是第四象限内一点,AB⊥y轴于B,且B(0,b)是y轴负半轴上一点,b2=16,S△AOB=12.
(1)求点A和点B的坐标;
(2)如图1,点D为线段OA(端点除外)上某一点,过点D作AO垂线交x轴于E,交直线AB于F,∠EOD、∠AFD的平分线相交于N,求∠ONF的度数.
(3)如图2,点D为线段OA(端点除外)上某一点,当点D在线段上运动时,过点D作直线EF交x轴正半轴于E,交直线AB于F,∠EOD,∠AFD的平分线相交于点N.若记∠ODF=α,请用α的式子表示∠ONF的大小,并说明理由.
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