王进明初等数论习题解答.docx
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王进明初等数论习题解答.docx
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王进明初等数论习题解答
王进明初等数论习题及作业解答
P17习题1-11,2
(2)(3),3,7,11,12为作业。
1•已知两整数相除,得商12,余数26,又知被除数、除数、商及余数之和为454.求被除数.
解:
a12b26,ab1226454,12b26b1226454,
(121)b454122626390,b=30,被除数a=12b+26=360+26=386.
这题的后面部分是小学数学的典型问题之一一一“和倍”问题。
3
2.证明:
(1)当n€Z且n9qr(0r9)时,r只可能是0,1,8;
证:
把n按被9除的余数分类,即:
若n=3k,k€Z,则n327k3,r=0;
若n=3k+1,k€z,则n3(3k)33(3k)23(3k)19k(3k23k1)1,r=1;
若3|n,显然3|(n1)n(2n1);若n为3k+1,k€乙则n—1是3的倍数,得知
(n1)n(2n1)为3的倍数;若n为3k-1,k€Z,贝U2n-仁2(3k-1)-仁6k-3,2n-1是3的倍数.
综上所述,(n1)n(2n1)必是6的倍数,故命题得证。
⑶若n为非负整数,则133|(11n+2+122n+1).
证明:
利用11n+2+122n+1=121XI1n+12X144n=133氷1n+12人144n-11n)及例5的结论.⑷当m,n,l€N+时,血的值总是整数
m!
n!
丨!
证明:
(mnl)!
=(mnl)(mn丨1)L(n丨1)(n1)(n丨1)L(l1)l!
由k!
必整除k个连续整数知:
m!
|(mnl)(mn丨1)L(n丨1),
n!
|(n1)(n丨1)L(l1),从而由和的整除性即证得命题。
⑸当a,b€Z且a二b,n是双数时,ab|(anbn);
⑹当a,b€Z且a二b,n是单数时,ab|(anbn).
解:
利用例5结论:
若azb,贝Uab|(anbn).令b=—b*,即得。
或解:
a=(a+b)—b,(5)当n为双数时,由二项式展开
na
n
ba
nn
bbbn
n
n1
n1
n1
a
bn
abbL
1n
ab
b
证得。
(6)当n为单数时类似可得。
3.
已知a1,
a2,a3,a4,a5,
5
b€Z,且
i1
2ai
b,
说明这六个数不能都是奇数.
解:
:
右这六个数都是奇数,设
a2k
1,k
Z,i
1,2,3,4,5,贝y
5
5
5
5
22
ai(2K1)4ki(ki1)5,因为2|^(K1),所以8|4k/R1),
i1i1i1i1
222
8q5,qZ,而b(2k1)4k(k1)1,b8q
即等式左边被8除余5,而右边被8除余1,故不可能这六个数都是奇数。
4.能否在下式的各□内填入加号或减号,使下式成立;能的话给出一种填法,否则,说明理由。
1□2口3□4口5口6口7口8□9=10
不能,因为等式左边有单数个单数,它们的和差只能是奇数,而等式右边10为偶数。
或解:
无论各□内填入加号或减号,1□2口3口4□5□6口7□8□9+1+2+3+4+5+6+7+8+9总是
偶数,而1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,因此的结果1口2口3□4口5口6□7口8口9一定是奇数。
5.已知:
a,b,c均为奇数.证明axbxc0无有理根。
证:
若有有理根,记为—,p,q互质,代入方程有a(P)2b—c0
qqq
6•在黑板上写出三个整数,然后擦去一个,换成其他两数之和加1,继续这样操作下
去,最后得到三个数为35,47,83.问原来所写的三个数能否是2,4,6?
解:
不能.因为原来所写的三个数若是2,4,6,每次操作后剩下的三个数是两偶一奇.
7.将1-—99这99个自然数依次写成一排,得一多位数A=1234567891011…9798
99,求A除以2或5、4或25、8或125、3或9、11的余数分别是多少?
解:
由数的整除特征,2和5看末位,•••A除以2余1,A除以5余4;4和25看末两位,•••A除以4余3,A除以25余24;8和125看末三位,•A除以8余3,且除以125余24;3和9看各位数字的和,1+2+3+4+5+6+7+8+9=45,A所有数字的和等于450,•A除以3和9都余0,A除以11的余数利用定理1.4,计算奇数位数字之和一A的偶数位数字之和.奇数位数字之和1+3+5+7+9+(0+1+…+9)X9,偶数位数字之和2+4+6+8+(1+2+…+9)X10,两者之差为—40,原数除以11的余数就是—40除以11的余数:
4.
&四位数7x2y能同时被2,3,5整除,求这样的四位数.
解:
同时被2,5整除,个位为0,再考虑被3整除,有4个:
7020,7320,7620,7920.
9.从5,6,7,8,9这五个数字中选出四个不同的数字组成一个四位数,它能同时被3,5,7
整除,那么这些四位数中最大的一个是多少?
被5整除,个位必为5.5+6+7+8=26,5+6+7+9=27,5+6+8+9=28,5+7+8+9=29中唯27能被3整除,故选出的四个不同的数字是5,6,7,9,但不同排序有9765,9675,7965,7695,6975,6795,
从最大的开始试除,得9765=7X1395,那么要求的就是9765了。
10.
11.1至1001各数按以下的格式排列成表,像表中所示的那样用一个正方形框住其中
的9个数,要使9个数的和等于
(1)2001,⑵2529,⑶1989,能否办到?
如能办到,写出框里的最小数与最大数.如办不到,说明理由.
解:
设框里居中心的数为x,则9个数的和等于9x.
(1)9不能整除2001,•和等于2001办不到;
(2)9x=2529,x=281,是所在行第一个数,•和等于2529办不到;(3)9x=1989,x=221,和等于1989能办到,框里的最大数为x+8=229,最小数为x—8=213.
12.证明:
7(或11或13)|anan1La3a2aiO)的特征是:
7(或11或13)整除
Ianan1La3a2a1a0I
解答:
因为7X11X13=1001。
(谐“一千零一夜”)
•-anan-ia3a2a1a0=7X1X13X32S1a0+(anan-1…a3—a2a1a。
)1000.
附)广西师范大学赵继源主编的《初等数论》习题1—1中的部分题目
3.已知a,b,c中,有一个是2001,有一个是2002,有一个是2003,试判断
(a—1)Xb—2)Xc—3)的奇偶性,并说明理由.
6.24|62742,求
9.是否存在自然数a和b,使a2—b2=2002成立?
11.证明:
当n€Z时,6|n(n+1)(2n+1).
2
12.已知:
fxaxbxc,f(0),f(—1),f
(1),x均为整数.证明:
fx乙解答:
a—1,c—3中至少有一个是偶数.
3•偶数•因为a,b,c中,有三个奇数,所以
6•只需3162742
0,
5组解
0;
且8|62742,即3|(
2,4,
4;8;
7,
2;
9.
不存在.利用a2-
-b2=(a—b)(a+b),
而a—b,
),且8|,先考虑0,2,4,6,8,有
9,
6.
a+b的奇偶性相同.而2002=2XI001.
11.用数学归纳法或n(n+1)(2n+1)=n(n+1)(n+2)+(n—1)n(n+1),利用整除的基本性质(13).
12.由f(0),f(—1),f
(1),x均为整数可得c,a+b,a—b均为整数.进而知2a,2b为整数.分类讨论(k€Z):
x=2k时,由2a,2b为整数f(x)显然为整数;
x=2k+1时,f(2k+1)=4ak(k+1)+2bk+a+b+c,可知f(x)仍然为整数。
习题1-2
1.判断下列各数中哪些是质数?
109,2003,17357
2.求证:
对任意n€Z+,必有n个连续的自然数都是合数.
3.当n是什么整数时,n4+n2+1是质数?
4.求证:
当n€Z+时,4n3+6n2+4n+1是合数.
5.求a,使a,a+4,a+14都是质数.
6.已知两个质数p和q满足关系式3p+5q=31.求p/(3q+1)的值.
7.已知p>3,且p和2p+1都是质数,问4p+1是质数还是合数?
8.由超级计算机运算得到的结果(2859433—1)是一个质数,试问:
(2859433+1)是质数还是合数?
请说明理由.
9.已知:
质数p、q使得表达式(2p+1)/q及(2q-3)/p都是自然数,求p、q的值.
10.试证:
形如4n-1的数中包含有无穷多个质数
11.
(1)若n是合数,证明:
2n-1也是合数;
(2)有人认为下列各和数:
1+2+4,1+2+4+8,
1+2+4+8+16,…交替为质数与合数,你认为对吗?
12.已知:
质数p>5,且是质数,证明:
4p+1必是合数.
习题1-2解答
1.10911,109用质数试除到7,200345,2003用质数试除到37,可知两者是质数,
17357=17>1021是合数.试除时,用数的整除特征考虑:
2,3,5显然不能整除它,由上节第8题结论,357—17=340,340不能被7,11,13整除,再用17考虑,得分解式。
2.为作一般性证明,可如下构造n个连续自然数:
(n+1)!
+2,(n+1)!
+3,…,(n+1)!
+n+1显然它们每个都是合数.
3.利用n4+n2+1=n4+2n2+1—n2=(n2+n+1)(n2—n+1),知仅当n=±1时,n4+n2+1为质数.
4.利用4n3+6n2+4n+1=(2n+1)(2n2+2n+1),n€Z+,n》1,2n+1和2n2+2n+1皆为大于1的数.
5.a=3.思路:
分类讨论(k€Z):
•/a=3k+1时,a+14是3的倍数,a=3k+2时,a+4是3
的倍数。
•••必有a=3k,即a为3的倍数。
而a是质数,只有a=3时,三个数全是质数。
6.条件为一个不定方程,可知1 故1或1/8。 7.合数.利用质数p>3得p不是3的倍数,p=3k+1,3|2p+1,所以,p=3k+2,3|4p+1. 或解: 4p,4p+1,4p+2是三个连续整数,必有一个被3整除,由题设,只有3|4p+1. 8.合数.2859433不可能是3的倍数,连续三个自然数中必有一个是3的倍数.即(2859433+1)。 另一种解法: 由习题1—1第1题 (2)的结论,(2+1)|(2859433+1). 9.设£^丄h,2±2k,h、k必为奇数,並」4p24p24p2,得k4,而k q'pq2qkp3kp' 不能为3,故只有k=1,这样2q-3=p,代入h4q54,同时质数p、q大于3.所以,只 q 能有h=3,因而得q=5,p=7. 10.先证: 一切大于2的质数,不是形如4n+1就是形如4n—1的数;再证任意多个形如 4n+1的数,最后用数学归纳法验证. 若形如4n—1的质数只有有限个: p1,p2,…,pk。 令N=4p1p2…pk—1,N为形如4n—1的数,由假设N必为合数,且必有一个形如4n—1的质因数p(为什么? ),因此p为P1,P2,…,Pk中在某一个,于是,p|1,矛盾。 11. (1)n是合数,设n=st,2n-1=2st-1=(2s-1)[(2s)t-1+(2s)t-2+…+2+1: . 2)1+2+22+…+2-1=2n-1.当n=14,15时,214-1,215-1均为合数,•不对• 12.书后提示说取模为6分类讨论p,即设p=6q+r(r=0,1,2,3,4,5). 由质数p>5若p=6q,6q+2,6q+3或6q+4,p皆为合数,不可能.若p=6q+1, 则2p+仁12q+3也是合数,故在题设条件下,只有p=6q+5,此时4p+仁24q+21,是合数. 实际上,这题与第7题完全相同。 质数p>3质数p>5可用前面的方法简单求解。 习题1-3 1•求: (1)(21n+4,14n+3)(其中n€Z+); (2)(30,45,84),: 30,45,84];(3)(5767,4453). 2.求证: [an,bn]=[a,b]n(a,b,n€Z+). 3.自然数N=10x+y(x是非负整数,y是N的个位数字),求证: 13N的充要条件是13(x+4y). 4.用割(尾)减法判断下列各数能否被31,41,51整除: 26691,1076537,1361241 5.有15位同学,每位同学都有编号,他们是1号到15号.1号同学写了一个自然数,2 号说这个数能被2整除”,3号说这个数能被3整除”••…依此下去,每位同学都说这个数能被他的编号整除.1号做了一一验证,只有编号连续的两位同学说的不对,其余同学都对. 问: (1)说得不对的两位同学的编号是什么数? (2)如果1号写的数是5位数,这个5 位数是多少? 6.请填出下面购物表格中□内的数字: 品名 数量 单价(元) 总价(元) 课桌 72 □.□□ □□□ 课椅 77 □.□□ 3□□.□□ 合计金额(兀) □□3口.55 7.狐狸和黄鼠狼进行跳跃比赛,狐狸每次跳412米,黄鼠狼每次跳234米,它们每秒钟 都只跳一次,比赛途中,从起点开始,每隔1238米设有一个陷阱,当它们之中有一个掉进陷阱时,另一个跳了多少米? 8.大雪后的一天,大亮和爸爸共同步测一个圆形花圃的周长,他俩的起点和走的方向完全 相同,大亮每步长54厘米,爸爸每步长72厘米.由于两人脚印有重合,所以雪地上只留 下60个脚印,求花圃的周长• 9.设a,b是自然数,a+b=33,: a,b: =90,求(a,b). 10.一公路由A经B至UC,已知A、B相距280米,B、C相距315米,现在路边植 树,要求相邻两树间的距离相等,并要求在B点、AB、BC的中点上都要植上一棵树,那 么两树间的距离最多有多少米? 11.一袋糖不足60块,如果把它平均分给几个孩子,则每人恰好分得6块;如果只分给这 几个孩子中的男孩,则每个男孩恰好分得10块•这几个孩子中有几个女孩? 12. 6倍,再过若干年就分别是 爷爷对小明说: 我现在的年龄是你的7倍,过几年是你的 13. 你的5倍、4倍、3倍、2倍.'你知道爷爷和小明现在的年龄吗? 4.31|26691,41|26691,51|26691;31|1076537,41|1076537,[7;31|1361241,41|1361241, 51|1361241. 以51为例,51'[2669151|(2669—1X5);又51|266451|(266—4X5);显然51|246。 51|136124151|(136124—1X5),又51|13611951|(13611—9X5),又51|1356651|(1356— 6X5),又51|132651|(132—6X5),而51|102。 5. (1)这两个连续的编号的倍数应该大于15,否则编号是它们的倍数的同学说的也不对; 而且是这两个连续的编号的质因数的次数应该高于比它小的数,否则编号是它们的质因数的 同学中至少也有一个说的也不对。 因此只能是8,9. (2)60060;因为1号写的数是2到15除8,9之外的整数的公倍数,也就是3,4,5, 7,11,13的公倍数,3,4,5,7,11,13两两互质,它们的最小公倍数60060就是5位数。 6.72=8X9,8,9互质,故总价必为8,9的倍数,可推得为元,因而知课桌的单价为元;课 椅的总价为3□口.79元,由77=7X11推得另两个数字,即课椅总价为元,再得课椅单价 为元;合计金额为元. 7.4500,1237549500,2750,1237524750,24750较小,2475027509.黄鼠狼 在第9跳掉进陷阱,此时狐狸跳了X9=40.5米. 216216’ 8. [54,72]=216,每216厘米有脚印1 5472 9.此题应该先讨论a+b,[a,口与(a,b)的关系。 令(a,b)d,adt「bdt? 1,x,y使xtiyt? 1,x(tit? )(yx)t21, (t1t2,t2)1.同理(t1t2,t1)1.(t1t2,t1t2)(t1t2,t1)1(定理1.21),(dt1dt2,dt1t2)d(定理1.14).即,a,b(ab,a,b). (33,90)=3,所以(a,b)=3. 10.因为AB、BC的中点上都要植上一棵树,315-2=因此应考虑1400和1575的最大公约 数175。 最后答案: 两树间的距离最多有17.5米. 11.2个. 12.设小明x岁,则爷爷7x岁,7x+h=6(x+h),x=5h;7x+k=5(x+k),x=2k;7x+i=4(x+i),x=i; 7x+j=2(x+j),5x=j;知小明年龄是2,5的倍数。 因此小明10岁,爷爷70岁.习题1-4 1.把下列各数分解质因数: 2001,26840,111111 2.将85,87,102,111,124,148,154,230,341,354,413,667分成两组(每组6个 数),怎么分才能使每组各数的乘积相等? 3.要使下面四个数的乘积的最后4个数字都是0,括号中最小应填什么自然数? 975>935>972X(). 4.用分解质因数法求: (1)(4712,4978,5890); (2)[4712,4978,5890]. 5.若2836,4582,5164,6522四个数被同一个自然数相除,所得余数相同,求除数和余数各是多少? 以内仅有10个正约数的自然数有几个? 并一一求出. 7.求: (1)%(180); (2)&(180);(3)&1(180). 8.已知[A,B]=42,[B,C]=66,(A,C)=3,求A,B,C. 9.一个自然数有21个正约数,而另一个自然数有10个正约数,这两个数的标准分解式中 仅含有不大于3的质因数,且这两个数的最大公约数是18,求此两数是多少? 10.小明有一个三层书架,他的书的五分之一放在第一层,七分之几(这个几记不清了)放在第二层,而第三层有书303本,问小明共有书多少本? 11.某班同学(50人左右)在王老师带领下去植树,学生恰好能分成人数相等的3组,如果 老师与学生每人种树的棵数一样多,共种了884棵,那么每人种多少棵树? 12.少年宫游乐厅内悬挂着200个彩色灯泡,这200个灯泡按1耀200编号,它们的亮暗规 则是: 第1秒: 全部灯泡变亮;第2秒: 凡编号为2的倍数的灯泡由亮变暗;第3秒: 凡编号为3的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态,即亮的变暗,暗的变亮.一般地,第n秒凡 编号为n的倍数的灯泡改变原来的亮暗状态。 这样继续下去,每4分钟一个周期,问第200秒时,明亮的灯泡有多少个? 习题1-4解答 1.2001=32>3>29,26840=23>5>11>61,111111=3>7>11>13>37. 2.—组为: 85,111,124,154,354,667;另一组为: 87.102,148,230,341,413. 3.20.四个数分解质因数后一共应该有且且只有4个2与4个5,需补充2个2与1个5。 4. (1)38, (2)3086360. 5.除数为l或2时,余数为0;除数为97时,余数为23;除数为194时,余数为120. 49 6.有5个,10=2>5=1X10因此所求的数应该为ab或C后者即令c=2也已经超出200,因 此分别令a==3;a==5;a==7;a=3,b=2;a==11;得48,80,112,162,176. 7. (1)18. (2)546(3)180'. 8.因为B|B,C,B|A,B,所以B是66,42的公约数,因而B是6的约数。 又 因为B,C66 2311, A,B42237,所以7|A,11|C,从而设 A21327,B 2132 C 213211,由AC3,知2 21,且1 1。 因为 若B不含2的话,由 B,C 66, AB42,A,C就必须同时含 2,与A,C 3矛盾。 •••A2137,B232,C21311,「2,11,0,而且i与i不能同时为1. 于是21和0时,各有11,10;10,10;10,11三种情况,共得6组 解,分别为: 9.576和162 本。 解: 由题目可知小明的书的册数是35的倍数,设为35k,可列出方程28k—5xk=(28— 5x)k=303=
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