12.
△ABC是边长为23的等边三角形,E、F分别在线段AB、AC上滑动,EF∥BC,沿EF把
△AEF折起,使点A翻折到点P的位置,连接PB、PC,则四棱锥P-BCFE的体积的最大值为
A.22B.3C.3D.2
第Ⅱ卷(非选择题共90分)
本卷包括必考题和选考题两部分,第13~21题为必考题,每个试题考生都必须作答,第
22、23题为选考题,考生根据要求作答.
二、填空题:
共4小题,每小题5分,共20分.将答案填在答题卡上.
13.已知函数f(x)=x2+ax的图象在点A(1,f
(1))处的切线与直线l:
x-3y+2=0垂直,
则实数a的值为.
14.在一个袋子中装有分别标注1、2、3、4、5的5个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之差的绝对值为2或4的概率是
.
15.已知a、b为正实数,直线x+y+1=0截圆(x-a)2+(y-b)2=4所得的弦长为
22,则ab的最大值为.
16.
在△ABC中,B、C的坐标分别为(-22,0),(22,0),且满足sinB-sinC=2sinA,O
→→2
为坐标原点,若点P的坐标为(4,0),则AO·AP的取值范围为.
三、解答题:
解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(本题满分12分)
已知数列{an}满足:
21·a1+22·a2+23·a3+…+2n·an=(n-1)·2n+1+2对一切
n∈N∗成立.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)
求数列{a
1
n·an+2
}的前n项和Sn.
18.
(本题满分12分)
如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD中,△ABD为等边三角形,△BCD是等腰三角形,且顶角∠BCD=120°,PC⊥BD,平面PBD⊥平面ABCD,M为PA中点.
(1)求证:
DM∥平面PBC;
(2)
若AB=23,PD⊥PB,求三棱锥P-BDM的体积.
19.(本题满分12分)
贫困人口全面脱贫是全面建成小康社会的标志性指
标.党的十九届四中全会提出“坚决打赢脱贫攻坚战,建立解决相对贫困的长效机制”对当前和下一个阶段的扶贫工作进行了前瞻性的部署,即2020年要通过精准扶贫全面消除绝对贫困,实现全面建成小康社会的奋斗目标.为了响应党的号召,某市对口某贫困乡镇开展扶贫工作.对某种农产品加工生产销售进行指导,经调查知,在一个
销售季度内,每售出一吨该产品获利5万元,未售出的商品,每吨亏损2万元.根据往年的销售经验,得到一个销售季度内市场需求量的频率分布直方图如图所示.设该厂在下个销售周期内生产210吨该产品,以x(单位:
吨,180≤x≤230)表示下一个销售周期市场的需求量,Y(单位:
万元)表示下一个销售周期市场的销售总利润,视x分布在各区间内的频率为相应的概率.
(1)求实数a的值;
(2)将Y表示成x的函数,并求出解析式;(3)估计销售利润不少于910万元的概率.
(3)
5
(本题满分12分)
已知椭圆C:
a2
+y2b2
=1(a>b>0)的离心率为5,右焦点为抛物线y2=4x的焦点F.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)
5
O为坐标原点,过O作两条射线,分别交椭圆于M、N两点,若OM、ON斜率之积为-4,
求证:
△MON的面积为定值.
20.(本题满分12分)
已知函数f(x)=eax-x(a∈R,e为自然对数的底数).
(1)若f(x)有两个零点,求实数a的取值范围;
(2)若f(x)有两个零点x1、x2,且x1x1·x2>e2.
请考生在22、23二题中任选一题作答.注意:
只能做所选定的题目.如果多做,则按所做第一个题目计分,做答时,请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑.
21.[选修4-4:
坐标系与参数方程](本题满分10分)
已知点A为圆C:
(x-1)2+y2=1上的动点,O为坐标原点,过P(0,4)作直线OA的垂线(当A、O重合时,直线OA约定为y轴),垂足为M,以O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.
(1)
求点M的轨迹的极坐标方程;
(2)直线l的极坐标方程为ρsin(θ+π)=4,连接OA并延长交l于B,求
22.
[选修4-5:
不等式选讲](本题满分10分)已知函数f(x)=x+1.
(1)
求不等式f(x)≤4-2x-3的解集;
(2)若正数m、n满足m+2n=mn,求证:
f(m)+f(-2n)≥8.
的最大值.
德阳市高中2017级“二诊”试题
数学参考答案与评分标准
(文史类)
一、选择题(每小题5分,共60分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
D
A
C
A
C
A
B
D
C
B
D
D
二、填空题(每小题5分,共20分)
13.-514.215.116.(12,+∞).
三、解答题
17.解:
(1)∵21·a1+22·a2+23·a3+…+2n·an=(n-1)·2n+1+2①
∴当n=1时,21·a1=2
∴a1=12分
当n≥2时,21·a1+22·a2+23·a3+…+2n-1·an-1=(n-2)·2n+2②
①-②得:
2n·an=n·2n
∴an=n
适合a1=1,故an=n6分
(2)a
1a+2=n(1+
=1(1n-n+12)
……………………………………8分
∴S=1⎡⎢1
-1)+(1
-1)+(1
-1)+…+(1-
+1)⎤⎥
2⎢⎣13
2435
n2⎥⎦
=1(1+1
-n+1
-+1)
221n2
n(3n+5)4(n+1)(n+2)
18.
(1)证明:
设AB中点为N,连接MN、DN
∵△ABD为等边三角形
∴DN⊥AB
∵DC=CB,∠DCB=120°
12分
∴∠CBD=30°
∴∠ABC=60°+30°=90°即CB⊥AB
∵DN⊥AB∴DN∥BC
∵BC⊂平面PBC,DN⊄平面PBC
∴DN∥平面PBC2分
∵MN为△PAB的中位线
∴MN∥PB
∵PB⊂平面PBC,MN⊄平面PBC
∴MN∥平面PBC4分
∵MN、DN为平面DMN内二相交直线
∴平面DMN∥平面PBC
∵DM⊂平面DMN
∴DM∥平面PBC6分
(2)解:
设BD中点为O,连接AO、CO
∵△ABD为等边三角形,△BCD是等腰三角形,且顶角∠BCD=120°
∴AO⊥BD,CO⊥BD∴A、C、O共线
∵PC⊥BD,BD⊥CO,PC∩CO=C,PC,CO⊂平面PCO
∴BD⊥平面PCO7分
∵PO⊂平面PCO∴BD⊥PO
∵平面PBD⊥平面ABCD,交线为BD,PO⊂平面PBD
∴PO⊥平面ABCD8分
∵AB=23∴AO=3
∵PD⊥PB,O为BD中点
∴PO=1BD=3………………………………………………………
10分
PBDMPABDABD
∴V-=1V-=1·1·S△·PO=1×1×AO×BD×PO=3.
223622
…………………………………………………………………………19.解:
(1)由(0.01+0.015+a+0.03+0.01)×10=1得:
12分
a=0.0354分
(2)当x≥210时,Y=210×5=10505分
当x<210时,Y=5x-(210-x)×2=7x-4207分
1050210≤x≤230
∴Y={7x-420180≤x<2108分
(3)当210≤x≤230时,Y=1050>9109分
由7x-420≥910得:
x≥19010分
P(x≥190)=1-0.01×10=0.911分
∴估计销售利润不少于910万元的概率为0.9.
20.解:
(1)抛物线y2=4x的焦点为F(1,0)
∴c=1
………………………
12分
∵e=5
c=5
a5
∴a=5,b=2
∴椭圆方程为x2
+y2
4
=13分
(2)当MN与x轴垂直时,设直线MN的方程为:
xx2
代入5
+y2
4
=1得:
M(t,25-t2),N(t,-2)
∴k·k=
5-t2
5·
=-4·5-t2
12t
t5t2
∴-4·5-t2=-4
解得:
t2=5
5
∴S△MON
t2
=1
2
5
t·4
2
=54分
当MN与x轴不垂直时,设M(x1,y1),N(x2,y2),MN的方程为y=kx+m
⎧⎪y=kx+m
⎪
由⎨x2
+y2
=1⇒(4+5k2)x2+10kmx+5m2-20=0
……………5分
⎪⎩54
由△>0⇒5k2+4>m2①
x1+x2
=-10km
4+5k2
x1·x2
=5m2-206分
∵k·k
=-4
∴y1·y2
=-4
∴5yy
+4xx
=0……7分
OMON5
x1x25
1212
即(5k2+4)x1·x2+5mk(x1+x2)+5m2=0
∴(5k2+4)·5m2-20+5mk·(-10km)+5m2=0
4+5k2
整理得:
2m2=5k2+4
代入①得:
m≠0
4+5k2
…………………………………………………9分
MN=1+k2(x1+x2)2-4x1·x2
=1+k2·
=4
O到MN的距离d=m
1+k2
………………………………
…………………………………………
10
分
11分
1
MON2
MNd
=25
=25
=5
m
4+5k2
m
2m2
综上:
S△MON=5为定值.………………………………………………
21.解:
(1)f(x)有两个零点⇔关于x的方程eax=x有两个相异实根由eax>0,知x>0
12
分
x
∴f(x)有两个零点⇔a=lnx有两个相异实根.
令G(x)=lnx,则G′(x)=1-lnx
…………………………2分
xx2
由G′(x)>0得:
0x>e
∴G(x)在(0,e)单调递增,在(e,+∞)单调递减
∴G(x)max=G(e)=1e
……………………………………………………3分
又∵G
(1)=0∴当01时,G(x)>0
当x→+∞时,G(x)→04分
∴f(x)有两个零点时,实数a的取值范围为(0,1e)5分
{eax1=x1
{ax
=lnx
(2)由题意得
ax2
∴x1>0,x2>0∴
11
ax=lnx
∴a(x1+x2)=lnx1+lnx2①
a(x2-x1)=lnx2-lnx1
∵x1lnx2-lnx1
x2-x1
……………………………………………………………6分
要证:
x1·x2>e2,只需证lnx1+lnx2>2
lnx-lnx
⎛x2
+1⎫x
①:
lnx+lnx=a(x+x)=2
1·(x
+x)=çx1
÷
·ln2
由知12
12x2-x1
ç
12çx
çx
÷
÷x
-1÷
∵01
⎝1⎭
令t=x2,t>1
t-1
∴只需证(t+1)·lnt>27分
t-1
∵t>1∴t+1>0
t+1
∴只需证:
lnt>2(t-1)
…………………………………………………8分
t+1
令F(t)=lnt-2(t-1)(t>1)
…………………………………………9分
∴F′(t)=1
-4=(t-1)2>0
………………………………
10
分
t(t+1)2t(t+1)2
∴F(t)在(1,+∞)递增
t+1
∴F(t)>F
(1)=0∴lnt>2(t-1)
………………………………
11
分
即lnx1+lnx2>2,即x1·x2>e2.………………………………………
12
分
22.解:
(1)设M的极坐标为(ρ,θ),在△OPM中,有ρ=4sinθ
∴点M的轨迹的极坐标方程为ρ=4sinθ4分
(2)设射线OA:
θ=α,α∈(-π,π),圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ
2
由{ρ=2cosθ得:
OA=ρ
⎧⎪ρsin(θ+π)=4
2
=2cosα5分
4
由⎪3
得:
OB
=ρ2
=π
………………………6分
⎪⎩θ=α
∴
=2cosα
sin(α+3)
4
sin(α+π
=1cosα·sin(α+π)
2
=1cosα(sinαcosπ
3
+cosαsinπ)
233
=1sinαcosα+3cos2α
44
=1sin2α+3(cos2α+1)
88
=1sin(2α+π)+3
…………………………………………8分
438
∵α∈(-π,π)∴-2π<2α+π<4π
22333
∴当2α+π=π,即α=π时,(OA)=2+39分
3212
OBmax8
∴的最大值为2+3..
…………………………………………
10分
-(+--x1)(2x3)≤4
23.解:
(1)f(x)≤4-2x-3等价于{x<-1或
⎧⎪-1≤x≤3
⎧⎪x>3
⎪
⎨
⎪2或⎨2
⎪⎩(x+1)-(2x-3)≤4
⎪
⎧⎪x<-1
由得:
⎨x≥-2⇒x∈Ø
⎪⎩(x+1)+(2x-3)≤4
⎩⎪3
⎪
⎧⎪-1≤x≤33
由得:
⎨
⎪⎩x≥0
⎪
⎧⎪x>3
2⇒0≤x≤2
3
由得:
⎨2⇒2⎪⎩x≤2
∴原不等式的解集为{x0≤x≤2}5分
(2)∵m>0,n>0,m+2n=mn
∴m+2n=1(m·2n)≤1
×(m+2n)2
224
当且仅当{
∴m+2n≥87分
m=2n
m+2n=mn
即{m=4时取等号
∴f(m)+f(-2n)=m+1+
-2n+1
≥m+2n
≥8………9分
2
当且仅当-2n+1≤0即n≥1
时取等号
∴f(m)+f(-2n)≥8.
…………………………………………………
10分