焦点三角形问题解析版.docx
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焦点三角形问题解析版
第一篇圆锥曲线
专题01焦点三角形问题
焦点三角形的边角关系如下:
三条边:
F1F2=2c
e=c
a
PF1+PF2=2aa2=b2+c2
三角形周长=2a+2c
三个角:
随着动点P的移动,三个角都在变化,可能为锐角,直角和钝角,这里我们只研究顶角∠P,
利用余弦定理,∠P又和三边a,b,c的大小有关系
1
三角形的面积:
S=ah
2
1
底为定值,面积最大时高最大
S=absinc
2
面积和三边长有关系
一、与焦点三角形边长有关的问题
焦点三角形中三边长涉及a,c,因此最直观的是可以根据三边关系求出离心率的值或取值范围,前提是三边之间存在可以转化的关系。
若单独分析三角形的两个腰长,则若能够构成三角形,则需满足a-c≤PF1≤a+c
x2+y2=
例1椭圆a2b21的右焦点为F,其右准线与x轴的交点为A,在椭圆上存在一点P,满足线段AP的
垂直平分线过点F,则椭圆的离心率的取值范围是.
x2y2
例2.已知F1,F2是椭圆a2+b2
点F2,
=1的左右焦点,若在其右准线上存在点P,使得线段PF1的中垂线过
则椭圆的离心率的取值范围是.
【解析】求离心率的范围问题,需要根据条件列出不等式,在含有动点的题目中,需要找出动态的量和常量之间的大小关系。
题目中:
PF2=F1F2=2c
因为点P在右准线上下移动,PF2虽然是常量,但由于不知道a,b,c的关系,因此还是相对的变量。
a2
本题的定值为F2H=c-c
在RTPHF2中,PF2>F2H,2c≥
a-cc
解得:
3
≤e<1
x22︒
例3.设F1,F2是双曲线4-y=1的左右焦点,点P在双曲线上,且满足∠F1PF2=90
,则∆PF1F2的面
积是.
方法一:
方法二:
此题目有更简单的做法,方法一只是为了巩固焦半径的知识,设PF1=x,PF2=y则有:
x-y=4,又因为x2+y2=20解得:
xy=2,因此面积等于1.
上面两题都是关于焦点三角形中两条腰长的问题,在焦点三角形中两腰长之和为2a,底边为2c,因此三边
之间暗含离心率的关系,因此在一些出现焦点三角形求离心率的问题中一般腰长和底边之间都存在一个可以互相转化的关系,通过这个关系可以求出离心率。
x2y2
例4已知F1,F2是双曲线a2-b2
=1的左右焦点,以F1F2为直径的圆与双曲线交于不同的四点,顺次连
接焦点和这四点恰好组成一个正六边形,求该双曲线的离心率.
【解析】如图所示,题目的关键在于给出的圆和正六边形,因为∠PF2F1
=300
1
所以,PF1=2F1F2=c,PF2=2F1F2=3c
所以,PF2-PF1=(
-1)c=2a
解得:
e=+1
x2y2
例5已知F1,F2是双曲线a2-b2
=1的左右焦点,P是准线上的一点,且PF1⊥PF2,|PF1|⋅|PF2|=4ab,
则双曲线的离心率为()
注意:
经常在直角三角形中考察离心率的值或者离心率的范围,所以直角三角形中存在的常用关系必须熟悉。
【解析】如图,题目的关键在于准线和垂直关系,注意∆PF1F2并不是焦点三角形,题目中出现了
|PF1|⋅|PF2|且存在RT∆,所以很容易想到面积相等即|PF1|⋅|PF2|=PD⋅F1F2,但是PD长度未知,在
直角三角形中依据相似存在如下等式PD2=ba2+c,因此代入|PF|⋅|PF|=PD⋅FF,整理得e=
c1212
二、与焦点三角形角度有关的问题
我们说过由于动点的位置导致三边之间发生变化进而引发角度的变化,以顶角为例很容易理解。
当点
P处于短轴的焦点处时,顶角最大,这个结论可以通过余弦定理来证明:
PF2+PF2-4c2
(PF+PF)2-2PF⋅PF
-4c2
2b2
2b2
cosθ=12=1212=-1≥-1
2PF⋅PF2PF⋅PFPF⋅PFa2
121212
利用均值不等式,当且仅当PF1=PF2时,等号成立(一正二定三相等)。
1
以上结论很重要,在求离心率的取值范围中经常用到,如动点P满足∠F1PF2为钝角,则可知当点P处于短轴的交点处时,此时的等腰三角形的顶角也一定为钝角,然后根据对称可知∠FPO>45︒,因此在小的直角三角形中,根据大角对大边可知b和c的关系,进而求出离心率的取值范围。
例1已知点P是椭圆
x2+y2=
43
1上的任一点,F1,F2是椭圆的两个焦点,求
∠F1PF2的最大值.
PF2+PF2-FF26
【解析】设∠F1PF2=θ,根据余弦定理得:
cosθ=1212=-1
PF1⋅PF2
≤(PF1+PF2)2=4
2
2PF1⋅PF2
PF1⋅PF2
当且仅当PF1=PF2时等号成立。
所以cosθ≥1,θ≤60︒
2
因此可以知道当点P处于题目中的P1位置时,角度最大。
x2y2︒
例2.已知F1,F2是椭圆a2+b2=1的左右焦点,P是椭圆上一点,∠F1PF2=90,求椭圆离心率的最小值
.
x2y2
例3.已知F1,F2分别是椭圆C:
a2+b2
=1的左右焦点,椭圆C上存在一点P,使吧∠F1PF2为钝角,则
椭圆C的离心率的取值范围是.
【解析】在椭圆中,焦点三角形顶角最大时点B位于短轴的交点处,∠F1PF2
1
为钝角,所以∠FBO>45︒,
所以在RT∆F1BO中,大角对小角,所以F1O>OB即c>b
解得 x2 例4.设A,B是椭圆 3 y2 +=1长轴的两个端点,若C上存在点M满足∠AMB=1200,则m的取值范围 m 是. 【解析】焦点位置不确定,分情况讨论即可: (1)当焦点在x轴上时,此时m<3 利用焦点三角形中的性质,当动点在图中D点位置时,∠ADB最大,若存在∠AMB=120︒ ∠ADB≥120︒ 此时∠ADO≥60︒,AO=a=≥ ODb 解出: 0 (2)当焦点在y轴上时做法相同,过程省略。 注意: 当顶角∠F1PF2为直角时,有以下两个常用的公式: 12 (1)|PF||PF|=2b2 (2)S=b2 三、与焦点三角形面积有关的问题 在椭圆或双曲线中,焦点三角形的底为定值,另外两条边的长度和角度是变量,所以,只要能求出另外两边的长就可以求出面积。 在椭圆中S=b2tanθ,在双曲线中S=b2cotθ,公式证明如下: 22 1 S=2PF1⋅PF2sinθ,根据余弦定理得: PF2+PF2-4c2(PF+PF)2-2PF⋅PF-4c2 4b2-2PF⋅PF cosθ=12=1212= 12 2PF1⋅PF2 2PF1⋅PF2 2PF1⋅PF2 2b2 所以PF1⋅PF2=1+cosθ 2 S=sinθ⋅=b 21+cosθ ⋅sinθ=b2⋅ 1+cosθ θθ 2sincos 22 θ =b2 ⋅tanθ 2 1+2cos2-1 2 既然在焦点三角形中给出顶角,我们可以直接利用公式求面积,但是如果给出底角,如何求面积呢? 证明过程和上面差不多。 既然在焦点三角形中给出顶角,我们可以直接利用公式求面积,但是如果给出底角,如何求面积呢? 证明过程和上面差不多。 设∠PF1F2=α,求焦点三角形F1PF2 ⎧PF1+PF2=2a ⎪b2 证明: ⎨ PF2+4c2-PF2,可解出PF1= ⎪cosα=12 a-ccosα ⎩2PF1⋅2c 1 cb2sinα 2esinα 12 所以: S∆FPF =2⋅2c⋅PF1sinα=a-ccosα=b ⋅ 1-ecosα 注意: 既然在焦点三角形中给出了顶角,我们可以直接用公式求面积 2y2 例1P为双曲线x-12=1上的一点,F1,F2是双曲线的左右焦点,若|PF1|: |PF2|=3: 2,则∆PF1F2面积为. 【解析】题目中没有给出角度,故不能套公式,因为 |PF1|: |PF2|=3: 2,且|PF1|-|PF2|=2 PF1=6,PF2=4,F1F2=2 1212 恰好满足: PF2+PF2=FF2 焦点三角形为直角三角形,故面积S=12 注意: 求出焦点三角形的三边即可,再利用余弦定理求出角度即可求面积,但是在求角度之前需先看看此 三角形是不是一特殊三角形。 x2+y2=∆ 例2.过椭圆a2b21中心的直线与椭圆交于A,B两点,右焦点为F2(c,0),则 ABF2的最大面积为 . 四、焦点三角形中与距离最值有关的问题 注意在三角函数与解析几何中最值问题的一个很重要的用法: (1)三角形两边之和大于第三边,当三点在一条线上时取得最小值; (2)两边之差小于第三边。 焦点三角形中的最值问题一般是距离之和的最值,且存在定点,故可以用三角形中的不等式来求; 另外注意当出现动点和一个焦点的连线时,我们一般还需要考虑动点和另外一个焦点的连线,组成焦点三角形来求, 2 例1.点P是双曲线x2-y 3 =1右支上的动点,F2为双曲线的右焦点,A(3,1),求|PA|+|PF2|的最小值. 注意: 此问题属于圆锥曲线中与动点有关的最值问题,后面会专门讲到,在求距离之和类的最值问题中经常用到三角形两边之和大于第三边,等号取到时,则无法构成三角形。 【解析】 PF1-PF2=2a,所以PF2=PF1-2,求|PA|+|PF2|的最小值 即求PA+PF1-2的最小值,很显然,当A,P,F1三点共线时取得最小是,最小值为AF1=26-2 x2 例2: 已知双曲线 22 -=1和椭圆 y2 +=1有公共的焦点,P是椭圆和双曲线的一个交点,求 pqmn |PF1|⋅|PF2| 注意: 椭圆和双曲线共焦点的问题很多,共焦点,则c相同,如果出现焦点三角形,则根据定义写出,然后共c即可。 【解析】椭圆双曲线共焦点,则c相同,m-n=a+b,∆PF1F2是焦点三角形,则 ⎧⎪PF1+PF2=2 ⎨ ⎪⎩PF1-PF2=2 ,求|PF1|⋅|PF2|,则两式平方相减即可得|PF1|⋅|PF2|=m-p 小结: (1)当出现圆锥曲线上一个动点和一个焦点的连线时,一般需要考虑动点和第二个焦点。 (2)在椭圆中需要注意两个最值,一是注意动点和两个焦点组成的三角形面积的最值问题,二是注意焦点三角形的顶角问题。
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- 焦点 三角形 问题 解析