湖南省高考数学试题与答案理科解析版.docx
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湖南省高考数学试题与答案理科解析版
2015年湖南省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析
一、选择题,共10小题,每小题5分,共50分
1.(5分)(2015?
湖南)已知=1+i(i为虚数单位),则复数z=()
A1+iB1﹣iC﹣1+iD﹣1﹣i
....
考点:
复数代数形式的乘除运算.
专题:
数系的扩充和复数.
分析:
由条件利用两个复数代数形式的乘除法法则,求得z的值.
解答:
解:
∵已知=1+i(i为虚数单位),
∴z===﹣1﹣i,
故选:
D.
点评:
本题主要考查两个复数代数形式的乘除法法则的应用,属于基础题.
2.(5分)(2015?
湖南)设A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A?
B”的()
A.充分不必要条件B.必要不充分条件
C.充要条件D.既不充分也不必要条件
考点:
必要条件、充分条件与充要条件的判断.
专题:
集合;简易逻辑.
分析:
直接利用两个集合的交集,判断两个集合的关系,判断充要条件即可.
解答:
解:
A、B是两个集合,则“A∩B=A”可得“A?
B”,
“A?
B”,可得“A∩B=A”.
所以A、B是两个集合,则“A∩B=A”是“A?
B”的充要条件.
故选:
C.
点评:
本题考查充要条件的判断与应用,集合的交集的求法,基本知识的应用.
3.(5分)(2015?
湖南)执行如图所示的程序框图,如果输入n=3,则输出的S=()
1
ABCD
....
考点:
程序框图.
分析:
列出循环过程中S与i的数值,满足判断框的条件即可结束循环.
解答:
解:
判断前i=1,n=3,s=0,
第1次循环,S=,i=2,
第2次循环,S=,i=3,
第3次循环,S=,i=4,
此时,i>n,满足判断框的条件,结束循环,输出结果:
S===
故选:
B
点评:
本题考查循环框图的应用,注意判断框的条件的应用,考查计算能力
4.(5分)(2015?
湖南)若变量x、y满足约束条件,则z=3x﹣y的最小值为()
A﹣7
B﹣1
C1
D2
.
.
.
.
考点:
简单线性规划.
专题:
不等式的解法及应用.
分析:
由约束条件作出可行域,由图得到最优解,求出最优解的坐标,数形结合得答案.
2
解答:
解:
由约束条件作出可行域如图,
由图可知,最优解为A,
联立,解得C(0,﹣1).由解得A(﹣2,1),由,
解得B(1,1)
∴z=3x﹣y的最小值为3×(﹣2)﹣1=﹣7.故选:
A.
点评:
本题考查了简单的线性规划,考查了数形结合的解题思想方法,是中档题.
易错点
是图形中的B点.
5.(5分)(2015?
湖南)设函数
f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),则f(x)是(
)
A.
奇函数,且在(
0,1)上是增函数B.
奇函数,且在(
0,1)上是减函数
C.
偶函数,且在(
0,1)上是增函数D.
偶函数,且在(
0,1)上是减函数
考
利用导数研究函数的单调性.
点:
专
导数的综合应用.
题:
分
求出好的定义域,判断函数的奇偶性,以及函数的单调性推出结果即可.
析:
解
解:
函数f(x)=ln(1+x)﹣ln(1﹣x),函数的定义域为(﹣1,1),
答:
函数f(﹣x)=ln(1﹣x)﹣ln(1+x)=﹣[ln(1+x)﹣ln(1﹣x)]=﹣f(x),所以函
数是奇函数.
排除C,D,正确结果在A,B,只需判断特殊值的大小,
即可推出选项,x=0时,f(0)
=0;
x=
时,f()=ln(1+
)﹣ln(1﹣)=ln3>1,显然f(0)<f(),函数是增函数,
所以B错误,A正确.
故选:
A.
3
点本题考查函数的奇偶性以及函数的单调性的判断与应用,考查计算能力.
评:
6.(5分)(2015?
湖南)已知(
﹣)5的展开式中含x
的项的系数为
30,则a=(
)
A
B﹣
C6
D﹣6
.
.
.
.
考点:
二项式定理的应用.
专题:
二项式定理.
分析:
根据所给的二项式,利用二项展开式的通项公式写出第
r+1项,整理成最简形式,令
x的指数为求得r,再代入系数求出结果.
解答:
解:
根据所给的二项式写出展开式的通项,
Tr+1==;
展开式中含x的项的系数为30,
∴,
∴r=1,并且,解得a=﹣6.
故选:
D.
点评:
本题考查二项式定理的应用,本题解题的关键是正确写出二项展开式的通项,在这种
题目中通项是解决二项展开式的特定项问题的工具.
7.(5分)(2015?
湖南)在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲
线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为()
附“若X﹣N=(μ,a2),则
P(μ﹣?
<X≤μ+?
)=0.6826.
p(μ﹣2?
<X≤μ+2?
)=0.9544.
A2386B2718C3413D4772
....
考点:
正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义.
专题:
计算题;概率与统计.
4
分析:
求出P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,即可得出结论.
解答:
解:
由题意P(0<X≤1)=×0.6826=0.3413,
∴落入阴影部分点的个数的估计值为10000×0.3413=3413,
故选:
C.
点评:
本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义,考查正态分布中两个量
μ和?
的应用,考查曲线的对称性,属于基础题.
2
2
上运动,且AB⊥BC,若点P的坐标
8.(5分)(2015?
湖南)已知A,B,C在圆x+y=1
为(2,0),则|
|的最大值为(
)
A6
B
7
C8
D
9
.
.
.
.
考点:
圆的切线方程.
专题:
计算题;直线与圆.
分析:
由题意,AC为直径,所以|
|=|2
+
|=|4+
|.B为(﹣1,0)时,|4+
|≤7,
即可得出结论.
解答:
解:
由题意,AC为直径,所以|
|=|2
+
|=|4+|.
所以B为(﹣1,0)时,|4+
|≤7.
所以|
|的最大值为7.
故选:
B.
点评:
本题考查向量知识的运用,考查学生分析解决问题的能力,比较基础.
9.(5分)(2015?
湖南)将函数
f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<
)个单位后得
到函数g(x)的图象.若对满足
|f(x1)﹣g(x2)|=2的x1、x2,有|x1﹣x2min
=,则φ=
|
(
)
A
B
C
D
.
.
.
.
考点:
函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换.
专题:
三角函数的图像与性质.
分析:
利用三角函数的最值,求出自变量
x1,x2的值,然后判断选项即可.
解答:
解:
因为将函数
f(x)=sin2x的周期为π,函数的图象向右平移
φ(0<φ<
)
个单位后得到函数
g(x)的图象.若对满足
|f(x1)﹣g(x2)|=2的可知,两个函
5
数的最大值与最小值的差为
2,有|x1﹣x2|min=,
不妨x1=,x2=
,即g(x)在x2=
,取得最小值,sin(2×﹣2φ)=
﹣1,此时φ=
,不合题意,
x1=,x2=,即g(x)在x2=,取得最大值,sin(2×﹣2φ)=1,此
时φ=,满足题意.
故选:
D.
点评:
本题考查三角函数的图象平移,函数的最值以及函数的周期的应用,考查分析问题解决问题的能力,是好题,题目新颖.有一定难度,选择题,可以回代验证的方法快速解答.
10.(5分)(2015?
湖南)某工件的三视图如图所示.现将该工件通过切削,加工成一个体
积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的
利用率为(材料利用率=)()
ABCD
....
考点:
简单空间图形的三视图.
专题:
创新题型;空间位置关系与距离;概率与统计.
分析:
根据三视图可判断其为圆锥,底面半径为1,高为2,求解体积.
利用几何体的性质得出此长方体底面边长为n的正方形,高为x,
利用轴截面的图形可判断得出n=(1﹣),0<x<2,求解体积式子,利用
导数求解即可,最后利用几何概率求解即.
6
解答:
解:
根据三视图可判断其为圆锥,
∵底面半径为1,高为2,
∴V=×2=
∵加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,
∴此长方体底面边长为n的正方形,高为x,
∴根据轴截面图得出:
=
,
解得;n=
(1﹣
),0<x<2,
∴长方体的体积Ω=2(1﹣
2
2
,
)x,Ω′=
x﹣4x+2
∵,Ω′=
x2﹣4x+2=0,x=
,x=2,
∴可判断(0,)单调递增,(,2)单调递减,
2
Ω最大值=2(1﹣)×=,
∴原工件材料的利用率为=×=,
故选:
A
点评:
本题很是新颖,知识点融合的很好,把立体几何,导数,概率都相应的考查了,综合性强,属于难题.
二、填空题,共5小题,每小题5分,共25分
11.(5分)(2015?
湖南)
(x﹣1)dx=0
.
考点:
定积分.
专题:
导数的概念及应用.
分析:
求出被积函数的原函数,代入上限和下限求值.
解答:
解:
(x﹣1)dx=(
﹣x)|
=0;
7
故答案为:
0.
点评:
本题考查了定积分的计算;关键是求出被积函数的原函数.
12.(5分)(2015?
湖南)在一次马拉松比赛中,35名运动员的成绩(单位:
分钟)的茎叶
图如图所示.若将运动员成绩由好到差编号为1﹣35号,再用系统抽样方法从中抽取7人,
则其中成绩在区间[139,151]上的运动员人数是
4.
考点:
茎叶图.
专题:
概率与统计.
分析:
根据茎叶图中的数据,结合系统抽样方法的特征,即可求出正确的结论.
解答:
解:
根据茎叶图中的数据,得;
成绩在区间[139,151]上的运动员人数是20,
用系统抽样方法从35人中抽取7人,
成绩在区间[139,151]上的运动员应抽取
7×=4(人).
故答案为:
4.
点评:
本题考查了茎叶图的应用问题,也考查了系统抽样方法的应用问题,是基础题目.
13.(5分)(2015?
湖南)设F是双曲线C:
﹣=1的一个焦点.若C上存在点P,使
线段PF的中点恰为其虚轴的一个端点,则C的离心率为.
考点:
双曲线的简单性质.
专题:
圆锥曲线的定义、性质与方程.
分析:
设F(c,0),P(m,n),(m<0),设PF的中点为M(0,b),即有m=﹣c,
n=2b,将中点M的坐标代入双曲线方程,结合离心率公式,计算即可得到.
解答:
解:
设F(c,0),P(m,n),(m<0),
设PF的中点为M(0,b),即有m=﹣c,n=2b,
将点(﹣c,2b)代入双曲线方程可得,
﹣=1,
可得e2==5,
解得e=.
故答案为:
.
8
点评:
本题考查双曲线的方程和性质,主要考查双曲线的离心率的求法,同时考查中点
坐标公式的运用,属于中档题.
14.(5分)(2015?
湖南)设Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,S3成等
n﹣1
.
差数列,则an=3
考点:
等差数列与等比数列的综合.
专题:
等差数列与等比数列.
分析:
利用已知条件列出方程求出公比,然后求解等比数列的通项公式.
解答:
解:
设等比数列的公比为
q,Sn为等比数列{an}的前n项和,若a1=1,且3S1,2S2,
S3成等差数列,
可得4S2=S3+3S1,a1=1,
2
即4(1+q)=1+q+q+3,q=3.
n﹣1
∴an=3.
故答案为:
3n﹣1.
点评:
本题考查等差数列以及等比数列的应用,基本知识的考查.
15.(5分)(2015?
湖南)已知函数f(x)=若存在实数b,使函数g(x)=f(x)
﹣b有两个零点,则a的取值范围是{a|a<0或a>1}.
考
函数的零点.
点:
专
计算题;创新题型;函数的性质及应用.
题:
分
由g(x)=f(x)﹣b有两个零点可得
f(x)=b有两个零点,即
y=f(x)与y=b
析:
的图象有两个交点,则函数在定义域内不能是单调函数,结合函数图象可求
a的
范围
解
解:
∵g(x)=f(x)﹣b有两个零点,
答:
∴f(x)=b有两个零点,即y=f(x)与y=b的图象有两个交点,
32
由x=x可得,x=0或x=1
①当a>1时,函数f(x)的图象如图所示,此时存在b,满足题意,故a>1满
足题意
9
②当a=1时,由于函数f(x)在定义域R上单调递增,故不符合题意
③当0<a<1时,函数f(x)单调递增,故不符合题意
④a=0时,f(x)单调递增,故不符合题意
⑤当a<0时,函数y=f(x)的图象如图所示,此时存在b使得,y=f(x)与y=b
有两个交点
综上可得,a<0或a>1
故答案为:
{a|a<0或a>1}
10
点本题考察了函数的零点问题,渗透了转化思想,数形结合、分类讨论的数学思想.
评:
三、简答题,共1小题,共75分,16、17、18为选修题,任选两小题作答,如果全做,则按前两题计分选修4-1:
几何证明选讲
16.(6分)(2015?
湖南)如图,在⊙O中,相较于点E的两弦AB,CD的中点分别是M,
N,直线MO与直线CD相较于点F,证明:
(1)∠MEN+∠NOM=180°
(2)FE?
FN=FM?
FO.
考点:
相似三角形的判定.
专题:
选作题;推理和证明.
分析:
(1)证明O,M,E,N四点共圆,即可证明∠MEN+∠NOM=180°
(2)证明△FEM∽△FON,即可证明FE?
FN=FM?
FO.
解答:
证明:
(1)∵N为CD的中点,
∴ON⊥CD,
∵M为AB的中点,
∴OM⊥AB,
在四边形OMEN中,∴∠OME+∠ONE=90°+90°=180°,
∴O,M,E,N四点共圆,
∴∠MEN+∠NOM=180°
(2)在△FEM与△FON中,∠F=∠F,∠FME=∠FNO=90°,
∴△FEM∽△FON,
∴=
∴FE?
FN=FM?
FO.
点评:
本题考查垂径定理,考查三角形相似的判定与应用,考查学生分析解决问题的能
力,比较基础.
选修4-4:
坐标系与方程
17.(6分)(2015?
湖南)已知直线l:
(t为参数).以坐标原点为极点,x轴
的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C的坐标方程为ρ=2cosθ.
(1)将曲线C的极坐标方程化为直坐标方程;
(2)设点M的直角坐标为(5,),直线l与曲线C的交点为A,B,求|MA|?
|MB|的值.
11
考点:
参数方程化成普通方程;简单曲线的极坐标方程.
专题:
选作题;坐标系和参数方程.
2
分析:
(1)曲线的极坐标方程即ρ=2ρcosθ,根据极坐标和直角坐标的互化公式得
22
x+y=2x,即得它的直角坐标方程;
(2)直线l的方程化为普通方程,利用切割线定理可得结论.
解答:
2
2
2
x﹣1)
解:
(1)∵ρ=2cosθ,∴ρ=2ρcosθ,∴x
+y=2x,故它的直角坐标方程为(
2
2
+y=1;
(2)直线l:
(t为参数),普通方程为,(5,)在
直线l上,
过点M作圆的切线,切点为
2
2
T,则|MT|=(5﹣1)+3﹣1=18,
由切割线定理,可得
2
.
|MT|=|MA|?
|MB|=18
点评:
本题主要考查把极坐标方程化为直角坐标方程的方法,属于基础题.
选修4-5:
不等式选讲
18.(2015?
湖南)设a>0,b>0,且a+b=
+
.证明:
(ⅰ)a+b≥2;
2
2
不可能同时成立.
(ⅱ)a
+a<2与b+b<2
考点:
不等式的证明.
专题:
不等式的解法及应用.
分析:
(ⅰ)由a>0,b>0,结合条件可得
ab=1,再由基本不等式,即可得证;
(ⅱ)运用反证法证明.假设
2
2
a>0,
a
+a<2与b+b<2可能同时成立.结合条件
b>0,以及二次不等式的解法,可得
0<a<1,且0<b<1,这与ab=1矛盾,即可
得证.
解答:
证明:
(ⅰ)由a>0,b>0,
则a+b=+=
,
由于a+b>0,则ab=1,
即有a+b≥2=2,
当且仅当a=b取得等号.
则a+b≥2;
(ⅱ)假设
2
2
a
+a<2与b+b<2可能同时成立.
2
0<a<1,
由a+a<2及a>0,可得
2
及b>0,可得
0<b<1,
由b+b<2
这与ab=1矛盾.
22
a+a<2与b+b<2不可能同时成立.
点评:
本题考查不等式的证明,主要考查基本不等式的运用和反证法证明不等式的方法,属于中档题.
12
19.(2015?
湖南)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,a=btanA,且B为钝角.
(Ⅰ)证明:
B﹣A=;
(Ⅱ)求sinA+sinC的取值范围.
考点:
正弦定理.
专题:
解三角形.
分析:
(Ⅰ)由题意和正弦定理可得
sinB=cosA,由角的范围和诱导公式可得;
(Ⅱ)由题意可得
A∈(0,
),可得0<sinA<
,化简可得sinA+sinC=﹣
2
,由二次函数区间的最值可得.
2(sinA﹣)+
解答:
解:
(Ⅰ)由a=btanA和正弦定理可得
=
=
,
∴sinB=cosA,即sinB=sin(
+A)
又B为钝角,∴
+A∈(
,π),
∴B=+A,∴B﹣A=
;
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
C=π﹣(A+B)=π﹣(A+
+A)=﹣2A>0,
∴A∈(0,
),∴sinA+sinC=sinA+sin(
﹣2A)
2
=sinA+cos2A=sinA+1﹣2sinA
=﹣2(sinA
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